Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur Bruno Koobus Franck Nicoud

Organisation du module Date Horaire Intervenant Lieu Séance 12/03/09 9h-12h F. Nicoud Bat. 16 TD 02 Cours 1 19/03/09 Bat. 18 TD 02 Cours 2 23/03/09 Bat. 9 TD 33 Cours 3 25/03/09 8h-11h B. Koobus Bat. 9 TD 32 Cours 4 30/03/09 Cours 5 02/04/09 15h-18h Bat. 6 A préciser Cours 6

Trois familles de méthodes Éléments finis (B. Koobus) Volume finis (non abordés dans ce module) Méthodes aux différences finies (F. Nicoud) MD "Calcul Scientifique"

Eléments finis en quelques mots A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP sous la forme Les fonctions forment une base de l’espace de dimension N dans lequel on cherche à approximer la ‘vraie’ solution f par fh. Les coefficients fi sont déterminés en imposant à fh d’être la meilleure approximation de f dans l’espace de dimension N choisi. MD "Calcul Scientifique"

Éléments finis en quelques mots Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du maillage, nulle partout ailleurs 1 Nulle Linéaire MD "Calcul Scientifique"

Éléments finis en quelques mots On cherche à résoudre E(f)=0 Avec l’approximation on commet une erreur E(fh) La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme N équations, N inconnues … MD "Calcul Scientifique"

Volumes finis en quelques mots Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit MD "Calcul Scientifique"

Volumes finis en quelques mots Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Différences finies Contrairement aux éléments et volumes finis, cette technique n’est pas adaptée aux maillages non cartésiens Mais elle est très intuitive En 1D, les trois méthodes sont équivalentes Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux différentes méthodes MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Différences finies L’idée est de remplacer les dérivées partielles aux points de maillage par des développement de Taylor Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit fi=f(xi) MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" DERIVEES PREMIERES MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dérivées premières Développement de Taylor au nœud i: Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dérivées premières Si les nœuds sont régulièrement espacés MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dérivées premières Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par Erreur d’approximation est Schéma centré d’ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dérivées premières On peut manipuler les développements limités pour obtenir d’autres approximations de la dérivée première MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Maillage non uniforme Développement de Taylor au nœud i: MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Maillage non uniforme Développement de Taylor au nœud i: MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Ordres plus élevés Maillage régulier En conservant plus de termes dans les développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Formules décentrées ordre 1 aval ordre 1 amont ordre 2 aval ordre 2 amont MD "Calcul Scientifique"

Comparaison des schémas Problème modèle 1D: Eq. de convection Conditions limites et initiale: MD "Calcul Scientifique"

Exemple de résolution analytique Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini MD "Calcul Scientifique"

Exemple de résolution analytique Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique … MD "Calcul Scientifique"

Exemple de résolution analytique Effet de la diffusion MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Test numérique Équation semi-discrète On calcule les fi entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas amont ordre 1 MD "Calcul Scientifique" centré ordre 2

MD "Calcul Scientifique" Test numérique 400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds amont ordre 1 centré ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

Ordre 2 centré / Ordre 1 amont Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2) Ordre 2 centré « exact » avec 400 points Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit Ordre 2 meilleur que ordre 1 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Test numérique 400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds aval ordre 1 centré ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

Ordre 2 centré / Ordre 1 aval Ordre 1 aval ne permet pas d’obtenir de solution « acceptable » à t=5 L’amplitude obtenue est très grande Le signal n’est pas la forme d’une Gaussienne MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Test numérique 400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds centré ordre 4 centré ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

Ordre 2 centré / Ordre 4 centré Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici Ordre 2 centré « exact » avec 400 points Ordre 4 meilleur que ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Test numérique 400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds amont ordre 2 centré ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

Ordre 2 centré / Ordre 2 amont Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière Ordre 2 amont amortit plus le signal L’ordre ne dit pas tout sur un schéma … MD "Calcul Scientifique"

Consistance/convergence/stabilité Tous les schémas testés sont consistants (ordre strictement supérieur à 0) Presque tous sont stables (solution bornée), à part le schéma aval d’ordre 1 Le théorème d’équivalence de Lax permet alors d’assurer que mis à part le schéma aval d’ordre 1, tous les schémas testés sont convergents MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" ANALYSE SPECTRALE MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale Cas d’une fonction harmonique Schéma centré d’ordre 2 L’erreur commise est MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Signification de kDx Sinusoïde de période L décrite avec N points Dx = L / N, k = 2p/L donc kDx = 2p / N (exact) MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale Tout se passe comme si on résolvait l’équation Les différentes longueurs d’onde ne se déplacent pas à la même vitesse centré ordre 2 exact MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale Équation effective SCHEMA Centré ordre 2 Amont ordre 1 Amont ordre 2 Centré ordre 4 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale MD "Calcul Scientifique"

Lien avec l’ordre du schéma Dans la limite kDx → 0, la vitesse de propagation tend vers U0 La vitesse avec laquelle l’erreur tend vers zéro dépend de l’ordre du schéma Au voisinage de 0, Re(E(kDx)) = 1+O((kDx)n), avec n l’ordre du schéma Au voisinage de 0, Im(E(kDx)) = O((kDx)n), avec n l’ordre du schéma Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(kDx)) = 0 Les schémas stables sont tels que: Im(E(kDx)) ≤ 0 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dispersion La vitesse de propagation effective n’est égale à la vitesse théorique que dans la limite kDx → 0 Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général Que se passe-t-il lorsque l’on convecte ? MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Déformation du signal On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique éventuellement) La solution théorique après t s de simulation est Numériquement le mode devient La solution numérique est donc MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" DERIVEES SECONDES MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dérivées secondes Maillage régulier On utilise le fait que En appliquant l’opérateur à MD "Calcul Scientifique"

La dérivée seconde approximée de cette fonction Problème de localité Si les nœuds sont régulièrement espacés La dérivée seconde approximée de cette fonction est nulle !! MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Dérivées secondes Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor MD "Calcul Scientifique"

Problème de localité Si les nœuds sont régulièrement espacés La dérivée seconde approximée de cette fonction est non nulle, mais pas infinie … MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale Cas d’une fonction harmonique Schéma centré d’ordre 2 à 2D L’erreur commise est MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale Schéma centré d’ordre 2 à 4D L’erreur commise est MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Analyse spectrale Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique MD "Calcul Scientifique"

Interprétation volumes finis Si les nœuds sont régulièrement espacés Utile pour les coefficients de diffusivité variables MD "Calcul Scientifique"

Retour sur le schéma amont ordre 1 Rappel: ce schéma introduit beaucoup de dissipation par comparaison avec le centré d’ordre 2 En effet: Utiliser ce schéma revient donc à résoudre avec un schéma centré d’ordre 2 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Laplacien MD "Calcul Scientifique"

Another consequence of dispersion In practical computations, the solution may be polluted by high frequency numerical perturbations In practice, the numerical perturbations are not single harmonics Consider a simple wave packet : 2p/K x 2p/k December, 2007 VKI Lecture

Group velocity Solve the 1D convection equation numerically, viz. With k<<K: Group velocity December, 2007 VKI Lecture

Group velocity SCHEME 2nd order centered 4th order centered 2nd Wiggles can propagate upstream ! The more accurate the scheme, the largest the group velocity, the smallest the dissipation of artificial waves … 4th December, 2007 VKI Lecture

Numerical test t=2 t=4 2nd order 4th order 2nd order 4th order x x x x Smooth wave Wave packet December, 2007 VKI Lecture

Numerical test 1D convection equation (D=0) Initial and boundary conditions: Zero order extrapolation December, 2007 VKI Lecture

Numerical test t=3 t=12 t=21 t=6 t=15 t=24 t=9 t=18 t=27 December, 2007 VKI Lecture

INTEGRATION TEMPORELLE MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Schéma en temps La solution est évaluée en une succession de temps discrets Le pas de temps Dt est le plus souvent constant Itération n: passer de tn à tn+1 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Différences finies Même démarche que pour les dérivées en espace: développements de Taylor en temps Euler explicite: Euler implicite: MD "Calcul Scientifique"

Equation semi-discrète Problème aux valeurs initiales: Algorithme exact Comment estimer l’intégrale de K ? MD "Calcul Scientifique"

Intégrations classiques en temps Crank-Nicolson: Adams-Bashforth Runge-Kutta d’ordre p MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Intégration en temps Méthode à un pas: Méthode d’ordre p si: MD "Calcul Scientifique"

Augmentation de l’ordre Il suffit de prendre un développement de Taylor plus grand … Et de définir comme MD "Calcul Scientifique"

Passage pratique à l’ordre 2 Plutôt que d’estimer des dérivées d’ordre élevées, il est préférable de mieux choisir les endroits où on évalue K On part de Par identification jusqu’à l’ordre 1 inclus MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Runge-Kutta d’ordre 2 Schéma à deux « étapes » (A1=0, A2=1): MD "Calcul Scientifique"

Passage pratique à l’ordre p On part de Par identification on obtient les coefficients qui permettent d’obtenir l’ordre p MD "Calcul Scientifique"

Passage pratique à l’ordre p Nombre de coefficients à fixer: Système non-linéaire sous déterminé MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Runge-Kutta ordre 4 Problème aux valeurs initiales: MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" ANALYSE SPECTRALE MD "Calcul Scientifique"

Facteur d’amplification Forme de la solution Comment l’amplitude d’une perturbation de nombre d’onde k évolue-t-elle en temps ? MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Stabilité Von Neumann On s’intéresse désormais à l’équation complètement discrétisée, y compris pour le terme temporel signal amorti exact instabilité MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 1 Convection pure: Schéma centré ordre 2 en espace Euler explicite en temps MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 1 - suite Pour une perturbation du type Ce schéma est (inconditionnellement) instable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 2 Décentré amont d’ordre 1 en espace Euler explicite en temps Ce schéma est (conditionnellement) stable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 3 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta d’ordre 2 en temps Ce schéma est inconditionnellement instable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 3 - suite Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta d’ordre 2 en temps Ce schéma est inconditionnellement instable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 4 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta d’ordre 3 en temps Ce schéma est conditionnellement stable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 5 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta d’ordre 4 en temps Ce schéma est conditionnellement stable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 6 Diffusion pure: Schéma centré ordre 2 en espace Euler explicite en temps MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Exemple 6 - suite Pour une perturbation du type Ce schéma est conditionnellement stable MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Zone de stabilité Dans le cas général d’une équation linéaire On définit l’opérateur associé à K Le schéma induit une équation du type MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Zone de stabilité On trace la courbe dans le plan complexe RK1 RK2 RK3 RK4 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Zone de stabilité Le schéma complet est stable ssi la trajectoire de est contenue dans la zone de stabilité Convection pure RK4 RK3 RK2 Diffusion pure RK1 MD "Calcul Scientifique"

MD "Calcul Scientifique" Effet de l’ordre Convection pure ordre 2 RK4 Convection pure ordre 4 RK3 RK2 RK1 Convection pure ordre 6 MD "Calcul Scientifique"

Stabilizing computations December, 2007 VKI Lecture

Non linear stability Ensuring the linear stability is sometimes not enough, especially when performing LES or DNS of turbulent flows Recall the budget of TKE in isotropic turbulence So in the inviscid limit, in absence of external forcing, the TKE should be conserved Most of the numerical schemes do not meet this property December, 2007 VKI Lecture

A 1D model example Consider the 1D Burgers equation in a L-periodic domain Multiply by u, integrate over space: December, 2007 VKI Lecture

Numerical test Solve the Burgers equation in a 1D periodic domain with random initialization Use a small time step to minimize the error due to time integration (RK4) Plot TKE versus time for different schemes Upwind biased Centered, divergence form Centered, advective form December, 2007 VKI Lecture

Numerical test div adv Upwind biased upwind Divergence form iteration Advective form upwind iteration Expected behavior December, 2007 VKI Lecture

Numerical test 1/3adv+2/3div div adv upwind Centered, hybrid form: iteration Expected behavior obtained by mixing adv and div December, 2007 VKI Lecture

Explanation Divergence form Advective form For 2 x Divergence form + Advective form, the sum is zero … December, 2007 VKI Lecture

Generalization to Navier-Stokes The same strategy can be applied to Navier-Stokes, The convection term are then discretized under the skew-symmetric form Conservative mixed scheme (Divergence form unstable) CFL <Ko-K>/<Ko> LxL periodic domain Random initial velocity Error in TKE at time L/Ko1/2 Dt3 behavior December, 2007 VKI Lecture