Invariants of Metric Spaces Yashar Memarian 11 janvier 2008, Journée des doctorants,Orsay

Directeur de THESE:MISHA GROMOV 1-La Concentration topologique et l’invariant WAIST A-Concentration et Isoperimetrie B-Almgren-Morse theorie et Min-Max C-WAIST d’un MM-Espace 2-Min-Max cohomologique

Concentration et Isoperimetrie (Levy-Milman): Toute fonction 1-Lipshitz sur la sphère Sn se concentre autour d’un seul point mf(la moyenne de levy): µ{xε Sn І І f(x)-mf І ≥ ε} < wn(ε)= ∫εп/2(cost)n-1dt/∫0п/2(cost)n-1dt Ce theoreme est prouvé a l’aide l’inegalité isoperimetrique spherique(des inegalités en codimension 1)

VolAε /VolV≥VolA’ε/VolSn (Levy-Gromov): Soit V une varietée Riemanienne compacte de dimension n verifiant Ricc V ≥Ricc Sn=n-1. Soit A une partie mesurable de V et A’c Sn une boule dans Sn de même volume relatif(VolA/VolV=VolA’/VolSn) Alors pour tout ε≥0 on a: VolAε /VolV≥VolA’ε/VolSn Les varietes Riemanienne compacte a courbure de Ricci≥n-1 sont aussi concentrée que la sphere Sn.

Almgren-Morse théorie et Min-Max (Almgren-Gromov): Soit f une application lisse generique de Sn→Rk (k<n) alors il existe un point zε Rk tel que: HausM(n-k)(f-1(z))≥Vol Sn-k M.Gromov introduit la notion du volume des applications et prouve: (Gromov): Inf Sup HausM(f-1(z))=VolSn-k fεc∞ zεP un e.m de dim k

Remarques: Ce théorème est un principe de Min-Max sur les mesures des fibres des applications lisses. L’inégalité d’Almgren(le cas ≥ du théorème de Gromov) est la première inégalité de type isoperimetrique en codimension≥1 dans la littérature D’où l’introduction de la notion de concentration topologique et la formulation en terme d’un invariant métrique des MM espace par M.Gromov

Waist des MM-espace Soit X=(X,d,µ) un MM-espace ,étant donné un espace topologique Z on écrit wst(X→Z,ε)≥w(ε) si pour toute application continue f:X→Z il existe un point zεZ tel que la fibre f-1(z)C X vérifie: µ( f-1(z)+ε)≥w(ε) pour tout ε>0

Exemples 1-Waist de la sphere canonique Sn: (Gromov): wst(Sn →ІRk,ε)≥Vol(Sn-k+ε) Pour tout ε>0 Cette inegalité est optimale. Ce thereme est une generalisation du theoreme d’Almgren a la Paul levy. Ce theoreme est une generalisation de la concentration des fonctions d’où la concentration topologique de Sn Le cas ε=0 est verifié que pour les applications lisses(Almgren-gromov) mais pour les applications continues ca reste un probleme ouvert.

2-Waist des convexes munies d’une mesure Log-Concave: (Gromov): Soit X un convexe dans ІRn munie d’une mesure Log-Concave alors: Wst(X→ІRk,ε)≥wst.(Gak,ε)=∫B(0,ε) gk(x)dx cette inegalité est optimale.

Bien que ces résultats sont très intéressants en soi mais leur démonstration a aussi une très grande importance.La preuve n’utilise en aucun cas les principes variationnelles et elle a une nature topologique: une généralisation très forte du théorème de Borsuk-Ulam.

Min-Max cohomologique Formulation de Guth: Z(k,n) est l’espace des k-cycles dans la boule unité(a coefficient Z/2Z) F:X→Z(k,n) une application continue d’un complexe simplicial,αεH*(Z(k,n),Z/2Z),on dit que F détecte α si F*(α)≠0 alors on note ІF(α) l’ensemble de toutes les familles de cycle qui détecte α et le volume Min-Max de la classe α: V(α)= Inf Sup Volume(c) FεІF(α) cεF Ainsi on peut définir une volume Min-Max pour chaque classe de cohomologie et les cycles définit par les fibres des applications est un exemple d’une classe de cohomologie parmi une infinités d’autres.

Ce que j’ai fais et ce que je devrai faire 1-La comprehension des preuves des theoremes de waist de Gromov et appliquer les arguments des preuves a d’autres espaces(v.r avec borne sur les courbures,les spheres unités des espaces de banach uniformement convexe…) 2-comparer l’invariant waist avec d’autres invariants metriques(widths,FillRad,FillVol,PackWidths,obsdiam,…) 3-remplacer le voulme par Volume+ε et essayer de faire marcher les arguments de Guth pour le Min-Max a la paul levy 4-que peut on dire si on prend des coefficients Z,Z/pZ? 5-Que se passe t-il si on remplace la boule par d’autres espaces? 6-Peut on gagner quelque chose en utilisant la theorie du spectre non-lineaire?

Pierre Pansu,Misha Gromov Ludwig van beethoven Remerciements: Pierre Pansu,Misha Gromov Ludwig van beethoven