CHAPITRE 1 L’OPTIMISATION Mathématiques CST CHAPITRE 1 L’OPTIMISATION

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Rappel sur les inéquations A) Traduction Exemple # 1 : À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties de hockey de plus que de parties de football. À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties de hockey de plus que de parties de football. Variables x : Nombre de parties de hockey y : Nombre de parties de football Inéquation x ≥ y + 5

Exemple # 2 : À chaque année, Sébastien joue au plus le double de parties de hockey que de parties de football. À chaque année, Sébastien joue au plus le double de parties de hockey que de parties de football. Variables x : Nombre de parties de hockey y : Nombre de parties de football Inéquation x ≤ 2y Exemple # 3 : Chez HMV, je dispose de 150 $ pour acheter des CD de musique à 10 $ chacun et des DVD de film à 18 $ chacun. Chez HMV, je dispose de 150 $ pour acheter des CD de musique à 10 $ chacun et des DVD de film à 18 $ chacun. Variables x : Nombre de CD de musique y : Nombre de DVD de film Inéquation 10x + 18y ≤ 150

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Rappel sur les inéquations B) Représentation graphique Exemple # 1 : Représenter graphiquement -2y  4x + 6 .

Donc le point (-2, -7) fait partie de l’ensemble-solutions. Exemple # 1 : Représenter graphiquement l’ensemble-solutions de -2y ≥ 4x + 6 . y  -2x – 3 Pour vérifier de quel côté de la droite doit-on hachurer, prenons un point quelconque et vérifions-le dans l’inéquation. 1 Avec le point (-2, -7) : y = -2x – 3 y  -2x – 3 -7  -2(-2) – 3 -7  4 – 3 -7  1 VRAI Ensemble-solutions de y  -2x – 3 Donc le point (-2, -7) fait partie de l’ensemble-solutions. (-2, -7)

Donc le point (4, 3) ne fait pas partie de l’ensemble-solutions. Exemple # 2 : Représenter graphiquement l’ensemble-solutions de y  x + 3 . Pour vérifier de quel côté de la droite doit-on hachurer, prenons un point quelconque et vérifions-le dans l’inéquation. 1 Ensemble-solutions de y  x + 3 Avec le point (4, 3) : y  x + 3 (4, 3) 3  4 + 3 3  7 FAUX y = x + 3 Donc le point (4, 3) ne fait pas partie de l’ensemble-solutions.

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Rappel sur les inéquations B) Représentation graphique En RÉSUMÉ…  ou  ----------> Droite frontière pointillée  ou  ----------> Droite frontière pleine y  ou y  ----------> Ensemble-solutions au-dessus de la droite frontière y  ou y  ----------> Ensemble-solutions en-dessous de la droite frontière

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Polygone de contraintes Exemple # 1 : Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus d’instruments à cordes que d’instruments à vent. De plus, il y a au plus 30 musiciens. Tracer le polygone de contraintes de cette situation. Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus d’instruments à cordes que d’instruments à vent. De plus, il y a au plus 30 musiciens.  Variables x : Nombre d’instruments à cordes y : Nombre d’instruments à vent  Contraintes x ≥ 2y x + y ≤ 30 x ≥ 0 Contraintes de non-négativité y ≥ 0

 Polygone de contraintes  Variables x : Nombre d’instruments à cordes y : Nombre d’instruments à vent  Contraintes x ≥ 2y x + y ≤ 30  Polygone de contraintes x ≥ 0 y ≥ 0 5  Isoler y x 2 x 2 y ≤ y ≤ y ≤ 30 – x y ≤ 30 – x x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0

 Polygone de contraintes Exemple # 2 : Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au chocolat et aux carottes. Disposant d’un maximum de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le gâteau aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat. Il doit faire au moins 12 gâteaux, dont au moins 7 au chocolat et au moins 2 aux carottes. Trace le polygone de contraintes de cette situation. Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au chocolat et aux carottes. Disposant d’un maximum de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le gâteau aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat. Il doit faire au moins 12 gâteaux, dont au moins 7 au chocolat et au moins 2 aux carottes. Trace le polygone de contraintes de cette situation.  Variables x : Nombre de gâteaux au chocolat y : Nombre de gâteaux aux carottes  Contraintes  Isoler y  Polygone de contraintes x 2 x 2 x + 2y ≤ 18 y ≤ 9 – y ≤ 9 – 1 2 x + y ≥ 12 x ≥ 7 y ≥ 12 – x y ≥ 12 – x y ≥ 2 x ≥ 7 x ≥ 7 x ≥ 0 y ≥ 2 y ≥ 2 y ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Fonction à optimiser Exemple : Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ? Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ?  Variables  Fonction à optimiser x : Nombre de chaises fabriquées P = 15x + 25y Règle qui traduit le but visé par une fonction. But : maximiser y : Nombre de tables fabriquées

 Polygone de contraintes Exemple : Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ? Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ?  Variables  Fonction à optimiser x : Nombre de chaises fabriquées P = 15x + 25y y : Nombre de tables fabriquées But : maximiser  Contraintes  Isoler y  Polygone de contraintes y ≥ 20 y ≥ 20 y ≥ 20 20 x ≥ 80 x ≥ 80 x ≥ 80 x 4 x 4 x ≥ 4y y ≤ y ≤ x + y ≤ 200 x ≥ 0 y ≤ 200 – x y ≤ 200 – x y ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Recherche de la solution optimale  Polygone de contraintes  Coordonnées des sommets 20 A : y = 20 A (80, 20) x = 80 B : y = 200 – x (1) (1) = (2) : (3) dans (1) : y = x 4 (2) 200 – x = x 4 y = 200 – 160 y = 40 200 = 5x 4 B B (160, 40) A C 160 = x (3) C : y = 20 (1) (1) = (2) : y = 200 – x (2) 200 – x = 20 C (180, 20) - x = - 180 x = 180

 Tableau-solutions  Solution Sommets P = 15x + 25y Profits 1700 $ B (160, 40) P = 15(160) + 25(40) 3400 $ Maximum C (180, 20) P = 15(180) + 25(20) 3200 $  Solution Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit fabriquer 160 chaises et 40 tables.

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Structure d’un problème d’optimisation complet  Variables  Polygone de contraintes  Fonction à optimiser  Coordonnées des sommets  Contraintes  Tableau-solutions  Isoler y  Solution

 Variables  Fonction à optimiser Exemple : Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour l’impression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour l’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour l’impression. L’entreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail. Combien d’articles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ? Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour l’impression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour l’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour l’impression. L’entreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail. Combien d’articles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ?  Variables x : Nombre de foulards produits par semaine y : Nombre de chandails produits par semaine  Fonction à optimiser P = 20x + 4y But : maximiser

 Contraintes  Isoler y Exemple : Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour l’impression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour l’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour l’impression. L’entreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail. Combien d’articles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ?  Contraintes  Isoler y x ≥ 20 x ≥ 20 x ≤ 80 x ≤ 80 22 personnes x 40 heures = 880 heures y ≥ 100 y ≥ 100 y ≤ 250 y ≤ 250 8x + 2y ≤ 880 y ≤ 440 – 4x 8 personnes x 40 heures = 320 heures 4x + 0,25y ≤ 320 y ≤ 1280 – 16x x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0

 Polygone de contraintes  Isoler y y ≥ 100 y ≤ 250 x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 20 x ≤ 80 y ≤ 440 – 4x y ≤ 1280 – 16x  Polygone de contraintes 100 10  Isoler y x ≥ 20 x ≤ 80 y ≥ 100 y ≤ 250 y ≤ 440 – 4x y ≤ 1280 – 16x x ≥ 0 y ≥ 0

 Coordonnées des sommets  Polygone de contraintes 100 10  Polygone de contraintes A : x = 20 A (20, 250) y = 250 B : y = 250 (1) (1) = (2) : y = 440 – 4x (2) 250 = 440 – 4x 47,5 = x B (47,5 , 250) A B C C : y = 440 – 4x (1) (1) = (2) : E D y = 1280 – 16x (2) 440 – 4x = 1280 – 16x 12x = 840 x = 70 (3) C (70, 160) (3) dans (1) : y = 440 – 4(70) y = 160 D : y = 1280 – 16x (1) (1) = (2) : y = 100 (2) 1280 – 16x = 100 x = 73,75 D (73,75 , 100) E : y = 100 E (20, 100) x = 20

 Tableau-solutions  Solution Sommets P = 20x + 4y Profits 1400 $ B (47,5, 250) P = 20(47,5) + 4(250) 1950 $ C (70, 160) P = 20(70) + 4(160) 2040 $ Maximum D (73,75, 100) P = 20(73,75) + 4(100) 1875 $ E (20, 100) P = 20(20) + 4(100) 800 $  Solution Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit vendre 70 foulards et 160 chandails.

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Test formatif #1 Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ?

 Polygone de contraintes Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ?  Variables 2 pts 2 pts  Fonction à optimiser x : Nombre de voyages en train par jour R = 90x + 60y y : Nombre de voyages en autobus par jour But : maximiser  Contraintes 4 pts  Isoler y 2 pts  Polygone de contraintes x + y ≤ 30 y ≤ 30 – x y ≤ 30 – x 3 2 2x 3 2x 3 x ≥ 1,5y y ≤ y ≤ 8 pts x ≤ 20 x ≥ 0 x ≤ 20 x ≤ 20 y ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0

 Coordonnées des sommets Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ?  Coordonnées des sommets 4 pts (démarches incomplètes) A : y = 2x / 3 A (0, 0) x = 0  Polygone de contraintes B : y = 2x / 3 B (18, 12) y = 30 – x 3 2 C : x = 20 C (20, 10) y = 30 – x D : x = 20 D (20, 0) y = 0 B C D A

 Tableau-solutions  Solution Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ?  Tableau-solutions 2 pts Sommets R = 90x + 60y Revenus A (0, 0) R = 90(0) + 60(0) 0 $ B (18, 12) R = 90(18) + 60(12) 2340 $ C (20, 10) R = 90(20) + 60(10) 2400 $ Maximum D (20, 0) R = 90(20) + 60(0) 1800 $  Solution 1 pt Pour maximiser ses revenus, la ville doit effectuer 20 voyages en train et 10 voyages en autobus.

Mathématiques CST - OPTIMISATION - Test formatif #2 Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ?

 Polygone de contraintes Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ?  Fonction à optimiser 2 pts  Variables 2 pts R = 16x + 12y x : Nombre d’inscriptions au cours débutant But : maximiser y : Nombre d’inscriptions au cours avancé  Polygone de contraintes  Contraintes 4 pts  Isoler y 2 pts 2 x + y ≤ 12 y ≤ 12 – x y ≤ 12 – x 8 pts y ≤ 2x y ≤ 2x y ≤ 2x 1x + 2,5y ≤ 18 y ≤ -0,4x + 7,2 y ≤ -0,4x + 7,2 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0

 Coordonnées des sommets Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ?  Coordonnées des sommets 4 pts (démarches incomplètes) A : x = 0  Polygone de contraintes A (0, 0) y = 0 2 B : y = 2x B (3, 6) y = -0,4x + 7,2 C : y = 12 – x C (8, 4) y = -0,4x + 7,2 B C D : y = 12 – x D (12, 0) y = 0 D A

 Tableau-solutions  Solution Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ?  Tableau-solutions 2 pts Sommets R = 16x + 12y Revenus A (0, 0) R = 16(0) + 12(0) 0 $ B (3, 6) R = 16(3) + 12(6) 120 $ C (8, 4) R = 16(8) + 12(4) 176 $ D (12, 0) R = 16(12) + 12(0) 192 $ Maximum  Solution 1 pt Pour maximiser ses revenus, il faut 12 inscriptions au cours débutant et aucune inscription au cours avancé.