Coalescence et grandes structures combinatoires Philippe Chassaing Institut ELIE CARTAN Nancy Rouen, 6 Juin 2002

Graphe aléatoire

Tailles des composantes Erdös & Rényi, 1960-61 …….. Janson, Luczak, Knuth & Pittel, 1993 Aldous, 1997 La suite converge vers la suite des longueurs des excursions de au dessus de son minimum courant OK pour la loi limite à t fixé ! Quid de la loi du processus en t ? Coalescent multiplicatif ?

Fragmentation d ’un arbre Aldous & Pitman 1999 Coalescent additif !!

Coalescence des blocs ? Quid ? Parking Coalescence des blocs ? Quid ?

Excursion & coalescence f : excursion Brownienne normalisée Bertoin 2000 Coalescence et fragmentation des excursions quand a varie Coalescent additif d ’Aldous & Pitman

Equations de coagulation Marian von Smoluchowski, 1916 x entier Cas particulier

Processus de Marcus Lushnikov A chaque couple de particules (i,j), de tailles respectives x et y, on associe une variable aléatoire Ti,j de loi donnée par: La première coalescence a lieu à l ’instant : et concerne le couple de particules (I,J) défini par Introduit par M&L pour approcher numériquement les solutions des équations de Smoluchowski Résultats de convergence par Jeon, Norris, Fournier, Deaconu, Tanré, Wagner, etc ...

Lien Parking—Smoluchowski: le bloc marqué (tagged particle)

Le bloc marqué Parking ~ Smoluchowski additif ?

Parking = Marcus-Lushnikov Pour chaque objet (véhicule) x, la pulsion de parking (!!!) se produit au bout d ’un temps Tx aléatoire exponentiel de moyenne 1. Les Tx sont indépendants ... Date du kème événement: T(k) Changement de temps ? Probabilité d ’agglomérer un bloc de taille x à un bloc de taille y lorsque restent exactement r blocs Parking = Marcus-Lushnikov

Lien Parking—excursion: hachage & coût de construction Coût de recherche = ? = déplacement total

Flajolet, Viola & Poblete, Knuth, Déplacement total Espérance m places, n objets 1999 Variance Flajolet, Viola & Poblete, Knuth, Cas épars Cas plein

Polynomes de Kreweras

Aire sous l ’excursion Brownienne : r Polynomes de Kreweras Getoor Sharpe 1979, Shepp 1982, Louchard 1984, Biane-Yor 1987, Groeneboom 1989, Takács 1991

Aire sous l ’excursion Brownienne : r déjà étudiée comme étant limite du cheminement total dans un arbre au hasard (Takac 1995) Flajolet, Viola & Poblete, 1999

Lien Parking—excursion: le bloc marqué La largeur d ’une excursion de Tae est distribué comme (??) Le premier terme du coalescent additif standard est distribué comme (Aldous, Pitman, 2000)

Lien Parking—excursion: le profil

Profils successifs cf. Bertoin 2000

Le modèle limite places vides

Convergence signifie "unift pour (a,t)  [0,A]  [0,1], A arbitraire") Chassaing & Louchard 2000 signifie "unift pour (a,t)  [0,A]  [0,1], A arbitraire")

Lien arbres—parking Schutzenberger, Foata-Riordan, Françon, Kreweras ... 1960-80

Fragmentation de l ’arbre ≈ agrégation des blocs

Hachage et graphes connexes Nombre de graphes connexes à n sommets et n+k-1 arètes

Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre: Élagage (bis) Chassaing & Marchand 2002 Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre:

Hachage et processus empiriques

Largeur et hauteur des arbres

Applications à l ’algorithmique