Nombre de chaînes de longueur r Terminale ES Spécialité GRAPHES Nombre de chaînes de longueur r Démonstration du théorème

Définitions : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. 1 2 3 4 Une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. Chaîne (1-2-3-2-4) La longueur d’une chaîne est le nombre d’arêtes qui la composent. Longueur de la chaîne (1-2-3-2-4) : 4

Théorème : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. 1 2 3 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Nombre de chaînes de longueur 2 reliant 2 à 2 :

Démonstration : OK pour le 1er rang La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. 1 2 3 OK pour le 1er rang 4 Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que aij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Pour r = 1, aij (1) = aij est le nombre d’arêtes reliant i à j, c’est donc le nombre de chaînes de longueur 1 reliant i à j.

Démonstration : La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. i Pour r = 3 1 2 3 h 4 j Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que aij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion d’une chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et d’une arête reliant h à j.

Démonstration : ahj aih (r) La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. h h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. i Pour r = 3 1 ahj S’il y a au moins une arête entre h et j et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. aih (r) 2 3 Et donc le nombre d’arêtes de longueur r+1 entre i et j est : 4 j ai1 (r) a1j + ai2 (r) a2j + ai3 (r) a3j + … + ain (r) anj Soit A la matrice associée à un graphe. Le terme (i,j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Montrons par récurrence sur r que aij (r) est le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. Supposons la propriété vraie au rang r. Une chaîne de longueur r+1 est la réunion d’une chaîne de longueur r reliant i à un sommet quelconque h et d’une arête reliant h à j.

ai1 (r) a1j + ai2 (r) a2j + ai3 (r) a3j + … + ain (r) anj

Démonstration : ahj aih (r) OK pour le rang r+1 La matrice associée à un graphe d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n × n, où le terme à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d’arêtes reliant i et j. Notons aij le terme général de A et aij (r) le terme général de Ar. h h peut prendre la valeur 1, 2, 3, 4, …, n. i 1 ahj S’il y a au moins une arête entre h et j et au moins une chaîne de longueur r entre i et h. aih (r) 2 3 Et donc le nombre d’arêtes de longueur r+1 entre i et j est : 4 j ai1 (r) a1j + ai2 (r) a2j + ai3 (r) a3j + … + ain (r) anj Ceci est le terme de rang (i,j) de la matrice Ar x A. C’est-à-dire le terme (i,j) de la matrice Ar+1. On a donc montré que aij (r+1) est le nombre de chaînes de longueur r+1 reliant i à j. OK pour le rang r+1 La propriété vraie au rang r+1.

Conclusion : Pour tout entier r non nul, le terme (i,j) de la matrice Ar donne le nombre de chaînes de longueur r reliant i à j. FIN