La numération Approche didactique Hélène Zucchetta IUFM Lyon Marie Paule Dussuc IUFM Bourg

Evaluation CE1 2010 Ecris les nombres dictés: (huit cent trente – quatre-vingt-six – sept cents – cent sept – deux cent quatre-vingt-douze – six cent soixante) Notre écrit des nombres n’est pas un encodage de l’oral, notre système de numération est double : ce qu’on dit ne se transcrit pas selon les mêmes lois et réciproquement. Extrait de Grand N 73, force est de constater l’existence de difficultés persistantes en lien direct avec la numération, du C.P au CM 2, malgré les invariables révisions annuelles faisant suite aux apprentissages réalisés au cours du Cycle 2 : oubli du zéro terminal ou intermédiaire, difficultés à mettre en relation l’écriture chiffrée des nombres ayant une désignation orale irrégulière ( 70 à 99 ) lors d’activités de transcodage du type dictée de nombres, difficultés liées à l’utilisation des grands nombres (coder/décoder), difficultés retrouvées également dans la mise en œuvre des techniques opératoires. La liste n’est pas exhaustive. Face à ce constat, l’hypothèse est faite que nombre des difficultés rencontrées par les élèves en cycle 3 pourraient être le fruit d’une incompréhension ou d’une compréhension partielle des principes de construction de notre numération. Ainsi, un apprentissage raté ou incomplet concernant le fonctionnement de notre système décimal pourrait être la cause des difficultés de nombreux élèves dès l’école primaire et par la suite au collège.

3 100 50 4 pour « trois cent cinquante-quatre ». « Il faut se demander si on ne s’est pas toujours trompé en leur apprenant que « cent » c'est 100, « cinquante » c'est 50...alors ce sont eux qui ont raison d’écrire : 3 100 50 4 pour « trois cent cinquante-quatre ».  Ils ont raison …car ils cherchent une cohérence entre deux façons d’écrire la même façon de dire ». Stella Baruk Compte pour petits et grands page 13

Stella Baruk - Comptes pour petits et grands - Magnard « Les mots numéraux sont les seuls mots de la langue à avoir deux écritures, mais c'est celle qui traduit la langue parlée, les mots entendus, qui est première. Il faut donc construire la logique numérique à partir de la langue. Mettre en cohérence le lu, le su, le vu, l'entendu. »  Stella Baruk

QU’ENTEND-ON PAR NUMÉRATION ? Ce qui concerne les désignations orales ou écrites des nombres (entiers) Dans différentes civilisations, on a trouvé le moyen de désigner et de coder de plus en plus de nombres mais pas tous les nombres. Il faudra attendre l’invention de la numération de position pour trouver une réponse satisfaisante au problème de l’écriture des nombres Mais il y a aussi des représentations analogiques…

Représentation analogique Stanislas Dehaene (1992) Représentation analogique Oral Écrit en chiffres Le triple code 34 Trente-quatre

Quelques difficultés importantes Unité, dizaine, centaine… n'évoquent que des rangs… et non des valeurs Dizaine, centaine sont associés à des objets (barre, plaque) et non à des groupements d'unités Transcodage oral - écrit Les obstacles sont difficiles à franchir. L'on a donc intérêt à ce que les apprentissages soient bien réels et résultent d’une véritable compréhension et non d’un automatisme vide de sens, sinon les bases de la numération ne seront jamais établies et le réapprentissage ou la remédiation s'avéreront nécessaires en cycle 3. 34

Une approche globale et essentiellement orale des nombres ; Dans l’apprentissage de la désignation des nombres au CP, on peut distinguer 3 phases : Une approche globale et essentiellement orale des nombres ; Une prise de conscience des régularités de la suite numérique écrite, aspect algorithmique ; Un travail sur la compréhension des groupements et des échanges. * séparer numération écrite et numération orale, mais assurer le passage de l'une à l'autre. La compréhension du système écrit reste primordiale, elle est difficile, la compréhension de certaines anomalies du système oral n'étant réalisée qu'au cours du CE1   * notre système positionnel à base dix doit s'analyser de deux façons différentes - point de vue échanges-groupements (nombre quantité) - point de vue algorithmique (nombre repère) Ces deux points de vue sont à traiter au CP et à poursuivre au CE1.

Les aspects de la numération (valable pour les deux systèmes) 1) Approche globale Maternelle et début du CP Les nombres sont utilisés d'abord et surtout oralement Début de l'apprentissage des écritures chiffrées en GS pour les premiers nombres. Mais le système de numération (organisation des nombres dans une suite chiffrée obéissant à des règles, liées aux groupements par dix) n'est pas travaillé. Pour nommer les nombres, nécessité de connaitre la suite numérique et que celle-ci soit stable, il faut de l’entrainement et cela peut se faire avec des jeux. Difficultés avec des irrégularités dans la numération orale, et des mots-nombres non connus, il faut aller jusqu’à 30 en GS pour déjà voir apparaître une certaine régularité (si on se contente d’aller jusqu’à 20, cela donne l’impression d’avoir un mot nouveau à apprendre pour chaque nombre). 9

Les aspects de la numération 2) Approche algorithmique Il s'agit d'abord comprendre comment sont organisées les suites orales et écrites, de faire comprendre les régularités du système : ex après vingt-huit, vient vingt-neuf et après 28 vient 29. On étudie l’aspect ordinal du nombre et non l’aspect cardinal. La compréhension de ses règles permet de trouver le prédécesseur et le successeur d’un nombre, sans que la quantité représentée ne soit convoquée. Régularités de la numération écrite ; mettre en évidence la manière dont fonctionne la numération écrite sans forcément donner du sens dans un premier temps à la signification de la position de chacun des chiffres, Les élèves doivent prendre conscience qu’ils peuvent écrire aussi loin que l’on veut la suite écrite des nombres avec seulement dix chiffres (symboles) Différentes activités jeux à pratiquer dans la classe On peut savoir écrire un nombre sans savoir le dire, pour dire il faut des mots nouveaux (Trente-neuf puis trente-dix), compter de dix en dix fait apparaître les mots nouveaux et les irrégularités des soixante-dix etc.

Les aspects de la numération Aspect groupement/échange Les représentations analogiques sont souvent appuyées sur un matériel utilisé en classe qui permet de visualiser et d’utiliser les groupements et de matérialiser les échanges entre groupements (Aspect cardinal) Les tâches proposées aux élèves : Nombre écrit en chiffres  Quantité réalisée avec le matériel Quantité réalisée avec le matériel  Nombre écrit en chiffres Le passage par la numération orale est souvent un outil de résolution pour l’élève qui reste implicite.

Aspects groupements / échanges Les objectifs Comprendre le rôle des groupements (dizaines, centaines, …) pour dénombrer des quantités Comprendre ce que sont les dizaines, centaines, … Dizaine = 10 unités Centaine = 100 unités Comprendre les règles d’échange entre groupements  Centaine = 10 dizaines Millier = 10 centaines = 100 dizaines Comprendre la signification des chiffres suivant leur position (rang) dans l’écriture d’un nombre Savoir décomposer un nombre de diverses façons selon les puissances de dix Savoir retrouver l'écriture chiffrée d'un nombre à partir d'une décomposition selon les puissances de 10 mais le groupement échange par dix reste aussi peu naturel. Il est introduit par une contrainte de matériel.

Les unités sont présentes Les unités sont visibles Les matériels Les unités sont présentes Les unités sont visibles La valeur est donnée La valeur est symbolisée La position exprime la valeur Les différents matériels de numération D’après Bernadette Guéritte-Hess « le nombre et la numération »; éd. Isoscel Les « uns » qui demeurent Les « uns » qui s’échangent, mais restent visibles Les « uns » qui disparaissent mais laissent une trace symbolique Les « uns » qui disparaissent et se transforme en un autre « un » en changeant de couleur ou de forme Les « uns » qui parlent selon leur position

Des situations proposées par les manuels Numération Des situations proposées par les manuels

Exemples de manuels J’apprends les maths CP

Dizaines et unités (j’apprends les maths CP)

J’apprends les maths CE1 Centaines Dizaines Unités J’apprends les maths CE1

J’apprends les maths CE1 Centaines Dizaines Unités J’apprends les maths CE1

Thevenet CP Dizaines et unités Coder dans des tableaux de numération suffit-il à comprendre ?

Thevenet CP Dizaines et unités La réussite à ces exercices garantit-elle la compréhension du système de position ?

Euromaths CP

« Le nombre au cycle 2 », Ressources pour la classe, CNDP « Numération : des passages incontournables Les situations d’échange pour travailler l’écriture chiffrée du nombre Les situations de groupements : Pour les CP, il s’agira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 60 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers d’objets… Les situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Il s’agit d’amener les élèves à lire dans l’écriture d’un nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués.

Comprendre que grouper permet de dénombrer Les fourmillions (ERMEL CP) ou Combien de buchettes ? (DVD Enseigner les mathématiques au cycle 2) Un problème est posé: Dénombrer une très grande collection : plusieurs centaines voire plus de 1000 objets Émergence des questions Mise en place des procédures de groupements récursifs par dix Etude des différents « paquets » Production d’écritures et conclusion Montrer la vidéo (extraits)

Aspect groupements les fourmillions Codage du nombre d’éléments de la collection 2357 Production d’écritures : lien addition numération 3 sacs de cent, 2 boîtes de mille, 7 pailles, 5 paquets de dix 300 + 2000 + 7 + 50 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 +7

Donner du sens au « 0 »

Comprendre la signification des chiffres dans l’écriture du nombre Capmaths CP Problème : demander juste ce qu’il faut de « boutons » pour réparer le grand ziglotron(boutons vendus à l’unité ou par bandes de dix)

La valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture du nombre  ziglotron disponible, demande libre (peut être orale)  ziglotron disponible, mais 4 contraintes : - commande écrite - pas plus de 9 boutons isolés - le marchand donne ce qui est commandé  ziglotron non disponible (seul l’enseignant le possède), nombre de boutons inscrit sur le bon de commande. Le grand Ziglotron Cap math CP 45

Principaux types de situations d'apprentissage de la numération les régularités de la suite écrite (l'algorithme qui régit la suite des écritures chiffrées) château les échanges pour distinguer valeur et quantité maison la signification des chiffres en fonction de leur position : codage et décodage d'une quantité carrelages le passage de la numération orale à la numération écrite et réciproquement jeu des étiquettes l'utilisation des écritures chiffrées pour comparer des nombres la structuration arithmétique de la suite des nombres et l'utilisation des écritures chiffrées pour calculer erreurs additions