NOMBRES DIVISIBLES PAR 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ou 11 Découverte Junior – Gérard Villemin Par Clément (9 ans) – Août 2011 NOMBRES DIVISIBLES PAR 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ou 11 Comment savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre. Arithmétique Junior – Chapitre 6

DIVISIBILITÉS faciles Divisible par 1 Tous les nombres sont divisibles par 1. Divisible par 10 Tous les nombres terminés par 0 sont divisibles par 10. Divisible par 5 Tous les nombres terminés par 0 ou 5 sont divisibles par 5. Tous les nombres dont le dernier chiffre est divisible par 5, est divisible par 5. Divisible par 2 Tous les nombres terminés par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont divisibles par 2. Tous les nombres dont le dernier chiffre est divisible par 2, est divisible par 2. Divisible par 3 Si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre est divisible par 3. Divisible par 6 Si un nombre est divisible à la fois par 2 et par3, il est divisible par 6. Divisible par 9 Si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre est divisible par 9.

DIVISIBILITÉS plus difficiles Divisible par 4 Si le nombre formé avec les deux derniers chiffres est divisible par 4, le nombre est divisible par 4. Divisible par 8 Si le nombre formé avec les trois derniers chiffres est divisible par 8, le nombre est divisible par 8. Divisible par 11 On prend un chiffre sur deux et on les ajoute (P); on ajoute ceux qui restent (I). Si la différence (P – I) est divisible par 11, le nombre est divisible par 11. Divisible par 7 Il n’y a pas de règle facile pour savoir si un nombre est divisible par 7. Divisible par 0 On ne peut pas diviser par 0. Aucun nombre n’est divisible par 0. Amusements

Par 3 SOMME des CHIFFRES Nombres de 3 en 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 Somme des chiffres Un nombre est divisible par 3 si, quand j’ajoute tous les chiffres, je trouve 0, 3, 6 ou 9. Si on trouve 12, 15 … on additionne: 1 + 2 = 3 ou 1 + 5 = 6 …

Par 3 Exemples 12345 78945 1+2+3+4+5 = 15 et 1+5 = 6 7+8+9+4+5 =33 et 3+3 = 6 12245 9874563211 5 1 Nous allons voir que le calcul peut être simplifié. Inutile de faire toutes les additions. Chaque fois que nous trouvons 3, 6 ou 9 nous pouvons les éliminer.

Et aussi, les sommes qui valent 3, 6 ou 9 Par 3 Calcul en retirant les 0, 3, 6, 9 Et aussi, les sommes qui valent 3, 6 ou 9 694785210354698 78 8 4785 8 8 694785210354698 4785 54 8 478521 54 8 Non divisible

Par 3 124621759826198757895 134621759826198757895 Méthode pratique 121759826198757895 On part de la gauche. On ajoute les deux premiers chiffres. On élimine les 0, 3, 6, 9. On prend les deux chiffres suivants jusqu’à la fin. 1759826198757895 859826198757895 49826198757895 26198757895 Exemple: 1+2 = 3; je l’élimine. 6+4 = 10, et 1+0 = 1; je pose 1 en tête de la ligne. 1+2= 3; je l’élimine. Etc. 8757895 57895 895 En fait ,ce nombre est égal au produit: 5 x 19 x 3375124871 x 388669471 4 Non divisible par 3

Par 4 Méthode de calcul Divisible par 4 Si le nombre fait avec les deux derniers chiffres est divisible par 4, le nombre est divisible par 4. Parmi tous les multiples de 4 jusqu’à 100, ceux dont la dizaine (d) est paire se terminent par 0, 4 ou 8; et ceux dont la dizaine est impaire se terminent par 2 ou 6. Divisible par 4, nouvelle règle Un nombre est divisible par 4 si: Sa dizaine est paire et il se termine par 0, 4 ou 8 ou Sa dizaine est impaire et il se termine par 2 ou 6.

Par 5 et 10 Méthode de calcul Divisible par 10 Tous les nombres terminés par 0 sont divisibles par 10. Dans ce tableau seuls 20, 30 et 40 sont exactement divisibles par 10. Les autres nombres ont des chiffres après la virgule: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. En fait tous les chiffres de 1 à 9. Divisible par 5 Tous les nombres terminés par 0 ou 5 sont divisibles par 5. Tous les nombres dont le dernier chiffre est divisible par 5, est divisible par 5. Dans ce tableau les nombres 20, 25, 30, 35 et 40 sont exactement divisibles par 5. Les autres nombres ont des chiffres après la virgule: 2, 4, 6 ou 8. En fait tous les chiffres pairs de 2 à 8.

Par 2 et 6 Méthode de calcul Divisible par 2 Tous les nombres terminés par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont divisibles par 2. Tous les nombres dont le dernier chiffre est divisible par 2, est divisible par 2. Dans ce tableau un nombre sur deux est exactement divisibles par 2. Ce sont les nombres pairs. Les autres sont impairs: ils donnent une demi-part en plus (0,5). Divisible par 6 Si un nombre est divisible à la fois par 2 et par 3, il est divisible par 6. Dans ce tableau les nombres 24, 30 et 36 sont exactement divisibles par 6. Les autres donnent des nombres derrières la virgule: Soit 0,5 pour les nombres divisibles par 3, mais pas par 6, Soit 0,333… ou 0, 666… des chiffres derrière la virgule, toujours les mêmes, sans fin.

Par 9 Méthode de calcul 312989 312989 3128 32 5 Divisible par 9 Si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre est divisible par 9. Exemple 312989 312989 3128 Dans ce tableau seuls 27 et 36 sont exactement divisibles par 9. Les autres nombres ont des chiffres après la virgule, des chiffres identiques qui se répètent sans fin. 32 5 Non divisible

Par 8 Méthode de calcul 168 196 146 21 84 42 / 49 98 / 73 168 = 21 x 8 Divisible par 8 Si le nombre fait avec les trois derniers chiffres est divisible par 8, le nombre est divisible par 8. Mais, cette règle nécessite un calcul un peu long. En souvenant que 8 = 2 x 2 x 2, la meilleure méthode pour diviser par 8, c’est de diviser par 2 trois fois de suite. 168 196 146 21 84 42 / 49 98 / 73 168 = 21 x 8 Pas divisible Pas divisible

Par 11 Méthode de calcul 19 68 83 01 16 2 3 5 I = 5 P = 5 P – I = 0 Divisible par 11 On prend un chiffre sur deux et on les ajoute (P); on ajoute ceux qui restent (I). Si la différence (P – I) est divisible par 11, le nombre est divisible par 11. 2 3 5 I = 5 P = 5 P – I = 0 qui est divisible par 11 19 68 83 01 16 27 – 16 = 11 On fait: somme des rouges – somme des noirs On marque un chiffre sur deux en rouge La différence est divisible par 11, ce nombre est divisible par 11.

J’observe la division par 7 Divisible par 7 Il n’y a pas de règle facile pour savoir si un nombre est divisible par 7. Quand on divise un nombre par 7, les nombres derrière la virgule se répètent par bloc de six chiffres. 142857 De plus, ce sont les mêmes chiffres pour tous les nombres, pas au même endroit, mais les chiffres se répètent en se suivant de la même façon. 428571 571428 …

Par 0 J’essaie de comprendre 1/n augmente sans cesse, jusqu’à l’infini Divisible par 0 On ne peut pas diviser par 0. Aucun nombre n’est divisible par 0. 1/n augmente sans cesse, jusqu’à l’infini n de plus en plus petit, qui s’approche de 0

Amusements avec quelques nombres Ce n’est pas un nombre pair; il n’est pas divisible par 2. La somme des chiffres est égale à 3; il est divisible par 3. 111 111 = 3 x 37 La somme des chiffres de rang pair est égale à celle de rang impair: ce nombre est divisible par 11. 1111 111 1 = 11 x 101 Nombre divisible par 2: 144 /2 = 72 Divisible par 2: 72/2 = 36 Divisible par 2: 36/2 = 18 Divisible par 2: 18/2 = 9 Divisible par 3: 9/3 = 3 144 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3 = 12 x 12 = 12² Nombre divisible par 2: 60 /2 = 30 Divisible par 2: 30/2 = 15 Divisible par 3: 15/3 = 5 60 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 3 x 4 x 5 60 est divisible par: 2, 3, 4 , 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30 FIN