2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges. Comment calculer des champs électriques en utilisant des techniques d’intégration simples? Dans plusieurs situations , les champs électriques sont produits par des tiges, des sphères , des anneaux ou des plans chargés. Notre tâche va consister à calculer le champ électrique autour de ces objets en différents points de l’espace? Pour quelles raisons devons-nous calculer ces champs? Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques.

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques. Comment allons-nous faire ? Nous allons procéder par sommation, autrement dit , par calcul intégral. En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral?

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral? Parce que chaque objet peut-être décomposé en petites parties et que chaque petite partie produit un petit champ électrique. De façon simple, l’intégration consiste à faire la sommation sur un très grand nombre de petits termes dE dE dq

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Calculons le champ électrique à une distance « d= 10 cm » de l’extrémité droite d’une tige de 10 cm de longueur uniformément chargée de 5,0 mC. Forme des lignes de champ autour de la tige. d

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Commençons par calculer le champ comme si toute la charge était concentrée au centre 5,0 mC E1 ,15 m Nous aurions alors le champ produit par une charge ponctuelle approximatif

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En divisant la tige en deux 2,5 mC 2,5 mC a b E2 ,125 m ,175 m Nous aurions alors le champ produit par deux charges ponctuelles approximatif

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En divisant la tige en cinq 1,0 mC a b c d e E5 Nous aurions alors le champ produit par cinq charges ponctuelles approximatif En divisant en 50 approximatif Pour avoir une valeur exacte ….???

2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) La valeur exacte du champ résultant sera la somme infinie , autrement dit, l’intégrale des champs de chacune des petites charges « dq » placées à différentes valeurs de « x » dq dE x Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par :

dq dE x Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par : Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira :

dq dE x Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira : Pour trouver la solution, nous utiliserons une technique d’intégration Mais avant que manque-t-il?

Q L dq dx d ’où dq = l dx dq dE dE dE x Il faut transformer les dq en dx puisque c ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx Où la densité linéique de charge est l C/m ( lambda) On peut écrire Étant donné que la tige est chargée uniformément, on procède de la façon suivante, Q L dq dx On obtient d ’où dq = l dx dx élément de longueur

Reconsidérons la tige ayant une longueur de 10,0 cm et portant une charge de 5,0 mC répartie uniformément sur toute sa longueur. On demande de déterminer le champ électrique résultant à 15,0 cm du centre de la tige ou à 10 cm de l’extrémité droite. Situation dq x dE 0,10 0,15 Problème : Je cherche la valeur de E à 10 cm de l’extrémité droite

Solution possible: J’utilise l’intégrale et l’expression du champ d’une charge ponctuelle. Pour un élément de charge dq, nous aurons dq x dE 0,10 Quelle sera la variable d ’intégration ?

dq x dE 0,10 C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer l’intégrale. Il faut la même variable partout pour utiliser les techniques d’intégration

dq x dE 0,10 C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer l’intégrale. Nous pouvons procéder maintenant et utiliser les techniques d’intégration

0,10 dq x dE x est la variable de position Il nous reste à placer les bornes d’intégration

+ + + + + + + + + + E On obtient Avec les chiffres Finalement

Résultat probable : D’après mes calculs, le champ électrique à 15 cm du centre de la tige est donné par : Justification : Nous avons procédé par intégration, à partir du champ produit par une charge ponctuelle. E 0,15 La force électrique qui s’exercerait sur une charge q placée à cet endroit sera donnée par :