Quelques calculs de probabilités

Expérience aléatoire à une étape ( exemple : 1 tirage )

Calcul de la probabilité d’un événement La probabilité d’un événement se calcule comme suit : nombre de cas favorables P(événement) = nombre de cas possibles Exemple : Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »? nombre de cas favorables 13 1 P(cœur) = = = nombre de cas possibles 52 4 On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur. 4 1 P( choisir une carte de cœur ) =

Remarque Comme il y a toujours moins de cas favorables que de cas possibles, la probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1. nombre de cas favorables P(événement) = nombre de cas possibles Exemple : Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »? nombre de cas favorables P(cœur) = nombre de cas possibles 52 13 = 4 1 Remarque : Une probabilité peut être exprimée sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage. 4 1 = 0,25 = 25 %

Problème On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité « d’obtenir une somme de 7 ». Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 + Nombre de cas possibles : 6 X 6 = 36 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 Nombre de cas favorables : 6 P (obtenir une somme de 7) : nombre de cas favorables nombre de cas possibles 6 36 = 1 6 = 1 6 P (obtenir une somme de 7) :

Expérience aléatoire à plusieurs étapes ( exemple : 2 tirages )

Lorsqu’une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il faut savoir si une étape a une influence sur l’étape suivante. Si la 1ère étape n’a pas d’influence sur la 2e étape, les évènements sont indépendants un de l’autre. Si la 1ère étape a une influence sur la 2e étape, les évènements sont dépendants un de l’autre. Les tirages avec remise et sans remise en sont des exemples. Si les tirages se font avec remise, alors les évènements n’ont pas d’influence les uns envers les autres; ce sont des évènements indépendants. Si les tirages se font sans remise, alors les évènements ont une influence les uns envers les autres; ce sont des évènements dépendants.

Deux événements peuvent être indépendants C’est-à-dire que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre. Exemple On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne? Comme on remet la boule dans l’urne, le deuxième tirage ne sera pas influencé par le premier tirage. C’est ce qu’on appelle un tirage avec remise.

Deux événements peuvent être dépendants C’est-à-dire que la réalisation de l’un influence la probabilité de réalisation de l’autre. Exemple On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que l’on ne remet pas la boule obtenue au premier tirage. C’est ce qu’on appelle un tirage sans remise.

Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leur probabilité en utilisant un arbre de probabilités.

Arbre de dénombrement et arbre de probabilités L’arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats d’une expérience aléatoire. Exemple On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité d’obtenir 2 fois « pile ». Arbre de dénombrement 1er lancer 2e lancer résultats P , P P P F P , F pièce F F , P P F F , F

L’arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats d’une expérience aléatoire. 1er lancer 2e lancer Arbre de dénombrement P , P P , F F , P F , F pièce P F résultats 1 résultat 4 résultats = 1 4 P( P , F ) =

Il y a une chance sur deux d’obtenir pile. L’arbre de probabilités est obtenu en inscrivant sur un arbre de dénombrement la probabilité de chaque résultat. 1er lancer 2e lancer probabilités 1 4 P 1 2 P 1 2 1 4 1 2 F pièce Il y a une chance sur deux d’obtenir pile. F 1 2 1 4 P 1 2 F 1 2 1 4 Pour obtenir la probabilité, on multiplie ensemble les nombres sur chacune des branches. 1 4 P( P , F ) = L’arbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat.

Arbres de probabilités pièce 1er lancer 2e lancer P F 1 2 4 probabilités A : obtenir pile B : obtenir face La probabilité d’obtenir « pile » suivie de « face » se calcule comme suit : P( pile suivie de face ) = P(A) X P(B) = 1 2 1 2 1 4 X =

Probabilité de deux évènements indépendants Exemple On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. L’arbre de probabilités (avec remise) 1ère pige 2e pige probabilités R 3/10 X 3/10 = 9/100 3/10 R 3/10 7/10 B 3/10 X 7/10 = 21/100 7/10 7/10 X 3/10 = 21/100 R 3/10 B 7/10 B 7/10 X 7/10 = 49/100 Avec la formule: 3 10 7 10 21 100 P( rouge suivie bleue ) = P(R) X P(B) = X =

Exemple On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Quelle est la probabilité de tirer 1 bille rouge suivie d’une bille bleue ? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. L’arbre de probabilités (sans remise) 1ère pige 2e pige probabilités Il ne reste que 9 boules dans l’urne R 3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15 2/9 et 2 boules rouges. R 7/9 B 3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30 3/10 7/10 7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30 3/9 R B 6/9 B 7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15 3 10 7 9 21 90 7 30 P( rouge suivie bleue ) = X = =

L’arbre de probabilités (sans remise) 1ère pige 2e pige probabilités R 3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15 2/9 R 7/9 B 3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30 3/10 7/10 7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30 3/9 R B 6/9 B 7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15 Avec la formule: P(R) X P(B R) Ici, il faut lire la probabilité de l’évènement B sachant l’évènement R. Dans l’exemple, la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge. P(R) X P(B R) 3 10 7 9 21 90 7 30 X = =

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de l’événement « tirer successivement 2 billes rouges » se note : - s’il y a remise de la bille dans l’urne (avec remise) : les 2 évènements sont indépendants un de l’autre. P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) X P(Rouge) = 10 3 10 3 100 9 X = - s’il n’y a pas de remise de la bille dans l’urne (sans remise) : le 2e évènement est dépendant du premier. P(Rouge suivie de Rouge) = P(R) X P(R R) 10 3 9 2 90 6 15 1 X = = On n’a pas remis la première bille dans l’urne.

Problème Lors d’une expérience aléatoire, on lance successivementune pièce de monnaie et un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir pile suivie du nombre 4 ? A : obtenir pile B : obtenir le nombre 4 Ici, le premier tirage n’a aucune influence sur le deuxième tirage. 1 2 1 6 P ( obtenir pile ) = P ( obtenir 4 ) = Les 2 évènements sont indépendants l’un de l’autre. P ( P , 4 ) = P(A) X P(B) 1 2 1 6 1 12 X =

Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements indépendants se calcule par : P(A) X P(B) Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements dépendants se calcule par : P(A) X P(B I A)