Permutations, arrangements et combinaisons

Le dénombrement s’intéresse à étudier et à dénombrer divers types de groupements que l’on peut faire à partir d’un ensemble. Il est né des jeux de hasard et s’est fortement développé sous l’influence du calcul des probabilités. Parmi les différents types de dénombrement, nous en étudierons trois: - les permutations; - les arrangements; - les combinaisons.

Permutation Une permutation est une disposition ordonnée (avec ordre) des éléments d’un ensemble. Exemple : Combien y a-t-il de façons différentes de disposer les lettres suivantes ? A, B, C, D. Ceci est un premier résultat, donc une première permutation. A, B, C, D, B, A, C, D, C, A, B, D, D, A, B, C, Ceci est un deuxième résultat, donc une deuxième permutation. A, B, D, C, B, A, D, C, C, A, D, B, D, A, C, B, L’ordre est important ! A, C, B, D, B, C, A, D, C, B, A, D, D, B, A, C, A, C, D, B, B, C, D, A, C, B, D, A, D, B, C, A, A, D, B, C, B, D, A, C, C, D, A, B, D, C, A, B, A, D, C, B, B, D, C, A, C, D, B, A, D, C, B, A, Il y a 24 dispositions différentes ou 24 permutations.

Arrangement Un arrangement est une disposition ordonnée (avec ordre) d’une partie ( un sous-ensemble ) d’un ensemble. Exemple: Combien y a-t-il de façons différentes de disposer 2 lettres parmi l’ensemble suivant ? A, B, C, D. Ceci est un premier résultat, donc un premier arrangement. A, B, B, A, C, A, D, A, Ceci est un deuxième résultat, donc un deuxième arrangement. A, C, B, C, C, B, D, B, L’ordre est important ! A, D, B, D, C, D, D, C, Il y a 12 dispositions différentes ou 12 arrangements. Remarque : Les arrangements sont donc les permutations d’une partie d’un ensemble.

Combinaison Une combinaison est une disposition non ordonnée (sans ordre) d’une partie ( un sous-ensemble ) d’un ensemble. Exemple : Dans le nombre d’arrangements précédents: A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, On doit enlever les résultats qui contiennent les mêmes lettres car l’ordre n’a pas d’importance. A, B et B, A sont « une même combinaison » car l’ordre n’est pas important. On doit donc éliminer les résultats identiques. Il y a donc 6 combinaisons possibles. Remarques : - Les combinaisons ne tiennent pas compte des permutations. - Les combinaisons sont donc des arrangements restreints ( sans tenir compte de l’ordre ).

Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble Pour déterminer le nombre de permutations d’un ensemble, il s’agit de suivre le raisonnement ci-dessous. Exemple : Dans l’ensemble suivant : A, B, C, D. 1ère lettre 2e lettre 3e lettre 4e lettre 4 X 3 X 2 X 1 = 24 permutations Pour la première lettre, il y a 4 possibilités; pour la deuxième lettre, il reste 3 possibilités, car la première lettre est déjà utilisée; pour la troisième lettre, il reste 2 possibilités, car les deux premières lettres sont déjà utilisées; pour la quatrième lettre, il reste 1 possibilité, car les 3 premières lettres sont déjà utilisées; On multiplie ensemble les résultats.

Il y a donc 24 dispositions différentes de placer les lettres A, B, C, D. Ce qui correspond à : A, B, C, D, A, B, D, C, A, C, B, D, A, C, D, B, A, D, B, C, A, D, C, B, B, A, C, D, B, A, D, C, B, C, A, D, B, C, D, A, B, D, A, C, B, D, C, A, C, A, B, D, C, A, D, B, C, B, A, D, C, B, D, A, C, D, A, B, C, D, B, A, D, A, B, C, D, A, C, B, D, B, A, C, D, B, C, A, D, C, A, B, D, C, B, A,

Attention Dans l’ensemble suivant : A, B, C, D. Le nombre de permutations se compte comme suit : 1ère lettre 2e lettre 3e lettre 4e lettre 4 3 2 1 X = 24 permutations car une même lettre ne revient pas ( tirage sans remise ). S’il y avait remise, les permutations se calculeraient comme suit : 1ère lettre 2e lettre 3e lettre 4e lettre 4 X = 256 permutations Remarque : Les permutations se calculent le plus souvent sans remise.

Déterminer le nombre d’arrangements Pour déterminer le nombre d’arrangements d’un sous ensemble, il s’agit de suivre le raisonnement ci-dessous. Exemple : Combien y a-t-il de façons différentes de disposer 2 lettres parmi l’ensemble suivant : A, B, C, D. Ici, nous n’avons que 2 lettres à placer à la fois, donc 1ère lettre 2e lettre 4 X 3 = 12 arrangements Pour la première lettre, il y a 4 possibilités; pour la deuxième lettre, il reste 3 possibilités, car la première lettre est déjà utilisée. On multiplie ensemble les résultats.

Il y a donc 12 dispositions différentes de placer deux lettres. Ce qui correspond à : A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C,

Attention Dans cet exemple, le nombre d’arrangements se compte comme suit : 1ère lettre 2e lettre 4 3 X = 12 arrangements car une même lettre ne revient pas ( tirage sans remise ). S’il y avait remise, le nombre d’arrangements se calculerait comme suit : 1ère lettre 2e lettre 4 X = 16 arrangements Remarque : Les arrangements se calculent le plus souvent sans remise.

Déterminer le nombre de combinaisons Pour déterminer le nombre de combinaisons. Il faut enlever aux arrangements ceux qui se répètent car l’ordre n’a pas d’importance. A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, Pour ce faire : On calcule, en premier, le nombre total d’arrangements; dans l’exemple précédent : 4 X 3 = 12 arrangements; on calcule, en deuxième, les arrangements pour un seul résultat ; comme il y a 2 lettres à placer : 1ère lettre 2e lettre 2 X 1 = 2 arrangements Pour un résultat de 2 lettres, il y a 2 manières différentes de les disposer.

Déterminer le nombre de combinaisons Pour déterminer le nombre de combinaisons. Il faut enlever aux arrangements ceux qui se répètent car l’ordre n’a pas d’importance. A, B, A, C, A, D, B, A, B, C, B, D, C, A, C, B, C, D, D, A, D, B, D, C, On divise alors le nombre total d’arrangements par le nombre d’arrangements pour un résultat. Nombre de combinaisons : nombre total d’arrangements nombre d’arrangements pour un résultat 12 2 = 6 combinaisons

Problème Un comité a 5 postes à combler : un président, un vice-président, un secrétaire, un trésorier et un conseiller ; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? Ici, lorsqu’une personne occupe en poste, elle ne peut en occuper un autre ( donc sans remise ). Président Vice-président Secrétaire Trésorier Conseiller 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 Il y a 120 possibilités différentes ou 120 permutations possibles.

Problème Un deuxième comité a 3 postes à combler : un président, un secrétaire et un trésorier; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? Ici, il n’existe que 3 postes à combler pour 5 personnes; de plus, lorsqu’une personne occupe un poste, elle ne peut en occuper un autre (donc sans remise ). Président Secrétaire Trésorier 5 X 4 X 3 = 60 Il y a 60 possibilités différentes de combler 3 postes à partir de 5 personnes ou 60 arrangements.

Remarque : À la lecture d’un problème, il faut comprendre si on travaille avec tout l’ensemble ( permutations ) ou avec une partie de l’ensemble ( arrangements ). Un comité a 5 postes à combler, un président, un vice-président, un secrétaire, un trésorier et un conseiller ; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? PERMUTATIONS Un deuxième comité a besoin de combler le poste de président de vice-président et de secrétaire; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de façons différentes de distribuer les postes ? ARRANGEMENTS

Problème Un deuxième comité a 3 postes à combler : un président, un secrétaire et un trésorier; 5 personnes donnent leur nom. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? 1ère étape : On calcule le nombre total d’arrangements : 60 arrangements 2e étape : Calculer le nombre d’arrangements pour un résultat; Président Secrétaire Trésorier 3 X 2 X 1 = 6 arrangements Pour un résultat de 3 postes, il y a 6 manières différentes de les disposer. 3e étape : { ( P, S, T ) , ( P, T, S ) ( S, P, T ) ( S, T, P ) ( T, P, S ) ( T, S, P ) } Combinaisons : nombre total d’arrangements ( 60 ) nombre d’arrangements pour un résultat ( 6 ) = 10 combinaisons Remarque : À la lecture d’un problème, il faut comprendre si l’ordre a de l’importance ( arrangements ) ou si l’ordre n’a pas d’importance ( combinaisons ).

Problème À la loto 649, le billet gagnant comporte 6 numéros sur un total de 49 numéros. Chaque numéro est inscrit sur une boule placée dans un seul boulier; lorsqu’une boule est tirée, elle ne peut pas revenir. C’est donc un tirage sans remise. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? 1) Calculer le nombre total d’arrangements : 49 X 48 X 47 X 46 X 45 X 44 ; car on ne tire que 6 numéros; 2) Calculer le nombre d’arrangements pour un résultat : 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 ; pour un résultat.

3) Nombre de combinaisons : nombre d’arrangements pour un résultat nombre total d’arrangements 49 X 48 X 47 X 46 X 45 X 44 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = Avec la calculatrice : ( 49 X 48 X 47 X 46 X 45 X 44 ) ÷ ( 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 ) = 13 983 816 Il y a donc 13 983 816 combinaisons possibles. Quelle est la probabilité de gagner ? Une combinaison gagnante sur 13 983 816 combinaisons possibles. 13 983 816 1