David Rolland, formateur en mathématiques GRANDEUR ET mesures David Rolland, formateur en mathématiques

Plan du cours I- Vos connaissances II- Généralités sur les grandeurs III. Mesurer une grandeur IV- Longueurs et distances dans le plan V- Aires dans le plan VI. Angles VII. Les durées VIII. Quelques éléments de didactique

I. Vos connaissances 1. Faites-vous une différence entre les expressions «longueur d’un ruban» et «mesure d’un ruban» ? Si oui, laquelle ? 2. Faites-vous une différence entre les mots « aire » et « surface » ? Si oui, laquelle ? 3. Quelles sont les grandeurs étudiées à l’école primaire ? 4. Quelle définition donneriez-vous du « mètre » ? 5. Comment définiriez-vous le périmètre d’une figure ? 6. « Plus l’aire d’une figure augmente, plus son périmètre augmente ». Cette phrase est-elle vraie ou fausse ?  7. Si on multiplie les dimensions d’un rectangle par 5, par combien est multipliée son aire ?  8. Si on multiplie par 3 les dimensions d’un pavé, par combien est multiplié son volume ?  9. Convertir en heures, minutes, secondes : 7 h 47 min 12 s + 5 h 54 min 49 s puis 2,56 h.

II. Généralités sur les grandeurs. Nous avons tellement l’habitude de mesurer des longueurs, calculer des aires, exprimer des durées en heures, minutes et secondes, que nous avons du mal à penser ces grandeurs autrement qu’en termes de nombres, autrement dit que de manière quantifiée. Des expressions comme « calculer le périmètre d’un rectangle ou d’un cercle », « appliquer une formule pour trouver l’aire d’un disque ou d’un triangle » signalent des liens profonds, une parenté très forte entre la notion de grandeur et celle de nombre. En effet, ces expressions évoquent la possibilité de calculs avec des grandeurs alors que classiquement les opérations s’effectuent entre nombres.

Or une grandeur n’est pas un nombre Une grandeur est une qualité commune à certaines catégories d’objets : - la longueur pour les lignes ; - les aires pour les surfaces ; - l’angle pour les secteurs du plan ; - le volume pour les solides ; - la masse pour les objets matériels ; - la durée pour les événements…

Cette qualité doit avoir deux propriétés particulières : Cette qualité doit avoir deux propriétés particulières : - elle doit permettre de classer les objets en catégories disjointes - elle doit permettre d’ordonner les objets de manière transitive. Pour expliquer ces deux propriétés, prenons l’exemple des lignes.

La longueur possède ces deux propriétés La longueur possède ces deux propriétés. Cela a du sens de dire que deux lignes ont la même longueur et chaque catégorie de lignes contient toutes les lignes ayant la même longueur. Cela a aussi du sens de dire qu’une ligne est plus longue qu’une autre. D’autre part, si une ligne L1 est plus longue qu’une ligne L2, elle-même plus longue qu’une ligne L3, alors L1 est plus longue que L3, c’est la propriété de transitivité.

En effet, considérons la qualité pour une ligne d’être brisée ou non. Toutes les qualités que l’on peut attribuer aux objets n’ont pas de telles propriétés. En effet, considérons la qualité pour une ligne d’être brisée ou non. On peut constituer deux catégories de lignes : celles des lignes brisées et celles des lignes non brisées. En revanche, cette qualité ne permet pas d’ordonner les lignes.

Une grandeur peut avoir une troisième propriété, elle peut être additive ou sommable. Prenons des exemples.

L’idée de somme de deux longueurs (deux aires, deux masses, deux volumes) est assez naturelle, il suffit de mettre deux lignes bout à bout(de juxtaposer deux surfaces, deux objets, deux solides). La somme des longueurs (des deux aires, des deux masses, des deux volumes) est la longueur (l’aire, la masse, le volume) de la réunion des deux lignes (deux surfaces, deux objets, deux solides). Il n’est donc pas nécessaire de passer par les nombres ni de passer par les mesures pour donner du sens à des expressions comme ajouter deux grandeurs sommables.

Toutes les grandeurs n’ont pas cette propriété. Examinons un contre-exemple, celui de la température. Considérons deux récipients remplis de liquides, à des températures variées.

Cela a du sens de dire que deux liquides ont la même température ou qu’un liquide a une température supérieure à celle de l’autre liquide. Toutefois, la température n’est pas sommable. En effet, si on mélange deux liquides ayant des températures différentes, le mélange a une température comprise entre les deux températures. La température est donc une grandeur d’une autre nature que la longueur, l’aire, la masse, le volume ou la durée qui sont des grandeurs sommables.

III. Mesurer une grandeur. Les grandeurs que l’on qualifie de mesurables possèdent les propriétés évoquées ci-dessus. Pour mesurer une grandeur G, on choisit une unité u, c’est-à-dire la grandeur d’un étalon U de référence.

Si la grandeur est sommable, ajouter deux, trois, quatre unités, etc Si la grandeur est sommable, ajouter deux, trois, quatre unités, etc., cela a du sens. On peut même définir les multiples de u, c’est-à-dire les grandeurs 2u, 3u, plus généralement nu comme étant respectivement égales à u+u, u+u+u, u+u+u+…+u, somme dans laquelle u est répétée n fois.

Mesurer une grandeur revient à comparer G avec les multiples successifs de u. Il se peut que G soit égale à un multiple particulier de u, on écrit alors G = n u , ou que G soit comprise entre deux multiples successifs de u, on écrit alors nu<G< (n+1)u. On a un encadrement de G que l’on peut affiner en choisissant une autre unité u’, inférieure à u

Remarques : Si la grandeur n’était pas sommable, parler des multiples de l’unité ou écrire des égalités ou inégalités comme ci-dessus n’auraient pas de sens. Dans la pratique, la mesure conduit à une mesure exacte ou à un encadrement, cela dépend des unités dont on dispose.

IV.Longueurs et distances dans le plan. 1/ Généralités La longueur est une grandeur attribuée aux lignes. Ces lignes peuvent être composées de segments ou de courbes. La longueur d’une ligne fermée s’appelle son périmètre. Pour un cercle, on dit indifféremment : périmètre d’un cercle, longueur d’un cercle ou circonférence d’un cercle.

Supposons que l’on ait choisi une longueur de référence u Supposons que l’on ait choisi une longueur de référence u. La mesure l de la longueur L d’une ligne avec l’unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans L. On dit que « la mesure de L avec l’unité u est égale à l », on dit aussi « la mesure de L est égale à l u ». Ce nombre peut être entier, décimal ou même non décimal.

2/ Pratique des mesures : a/ Unités : Voici la liste des unités du système métrique :

Kilomètre km 1000 m 103 m hectomètre hm 100 m 102 m décamètre dam 10 m 10 1 m mètre m 1 m 1 m décimètre dm 0,1 m 10-1 m centimètre cm 0,01 m 10-2 m millimètre mm 0,001 m 10-3 m micromètre (micron) μm (μ) 0,000 001 m 10-6 m nanomètre nm 0,000 000 001 10-9 m picomètre pm 0,000 000 000 001 m 10-12 m

Chaque unité, du kilomètre au millimètre, est 10 fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau. Remarque : Il peut être utile de connaître une unité utilisée en astronomie : l’année lumière (a.l.) qui équivaut à la distance parcourue par la lumière en une année, soit environ 9,46x1012 km.

b/ Changement d’unités. Quand on change d’unités pour mesurer une longueur, ce n’est pas la longueur qui change mais sa mesure. Ainsi on peut parfaitement écrire : 30 cm = 0,3 m = 3 dm = 300 mm.

c/ Comment trouver la mesure de la longueur d’un segment ? On peut si l’on dispose d’une figure à l’échelle mesurer la longueur de ce segment à l’aide d’une règle graduée. On obtient alors une valeur approchée de la mesure. Cette valeur est approchée pour au moins deux raisons : - imprécision des graduations - inexactitude possible de la figure. On peut utiliser une méthode plus mathématique à l’aide de théorèmes connus, comme celui de Pythagore.

d/ Comment trouver la mesure de la longueur d’une ligne courbe ? La tâche est plus délicate. Dans la pratique, on utilise un instrument, par exemple un curvimètre ou un mètre souple.

En l’absence d’un tel instrument, on peut tracer une ligne brisée dont les sommets sont sur la ligne courbe. En mesurant la ligne brisée on obtient une approximation de la mesure de la ligne courbe. Intuitivement, il paraît clair que plus les points choisis sont resserrés, plus l’erreur commise est réduite.

e/ Remarques sur la distinction entre valeur exacte et valeur approchée d’une mesure. Pour exprimer le résultat d’une mesure physique, il est préférable d’utiliser le symbole ≈ signifiant « à peu près égal à » ou de fournir un encadrement. Par exemple, si en mesurant un segment de longueur L avec une règle graduée au demi-millimètre, on trouve 3,2 cm, on écrira L ≈ 3,2 cm ou mieux, puisque la précision est connue : 3,15 cm < L < 3,25 cm.

Quand les calculs permettent d’obtenir la mesure exacte d’une longueur, en supposant exactes les données de l’énoncé, on donne cette valeur exacte comme réponse et on donne une valeur approchée si l’énoncé le demande en tronquant ou en arrondissant convenablement le développement décimal de la valeur exacte fournie par les calculs. Exemple : L = 2 π cm valeur arrondie de L à 0,1 près : L ≈ 6,3 cm.

3/ Formules : a/ rappel de quelques mesures obtenues en utilisant le théorème de Pythagore : Mesure de la diagonale d’un carré de côté mesurant a  : avec la même unité. Mesure de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté mesurant a : avec la même unité. b/ Mesure du périmètre d’un polygone : somme des mesures des longueurs des côtés. c/ Mesure du périmètre d’un cercle de rayon R : 2πR

4/ Notion de distance  : a/ Distance de deux points A et B La distance entre deux points A et B est la mesure de la longueur du segment [AB]. On la note  d(A,B) ou AB.

Propriété Si l’on considère toutes les lignes de l’espace dont les extrémités sont A et B, elles ont toutes une longueur supérieure ou égale à AB.

On a en particulier ce que l’on appelle l’inégalité triangulaire : AB ≤ AC + CB quels que soient les 3 points A,B et C. L’inégalité est stricte sauf si A, B et C sont alignés et C entre A et B. En langage courant, on dit : « la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre ».

b/ Distance d’un point M à une droite (D) Par un point M extérieur à une droite (D), on peut mener une seule droite (D’) perpendiculaire à la droite (D). Soit H le point d’intersection de (D) et de (D’). On appelle « distance de M à (D) » la mesure de la longueur [MH].

NB : si le point M est sur (D), alors H=M, la distance de M à (D) est nulle. En langage courant, on dit que « MH est le plus court chemin du point M à la droite (D) ».

c/ Distance d’un point M à ensemble de points Voici quatre figures : Dans chaque figure, F est une région délimitée par une ligne fermée. N est un point quelconque de cette ligne et M est un point fixe extérieur à F.

La mesure de la longueur de [MN] dépend de la position de N sur la ligne bordant F. La valeur minimale de cette mesure quand N se déplace est ce qu’on appelle la « distance de M à F ». Les figures ci-dessous montrent où doit être placé le point N pour que la mesure de MN soit minimale. Sur les trois premières figures à partir de la gauche, il n’y a qu’une seule possibilité, c’est le point H. Sur la quatrième, il y a les deux possibilités H1 et H2.

c/ Distance de deux droites distinctes parallèles Sur cette figure, on a deux droites fixes (D) et (D’) et deux points M de (D) et N de (D’). La mesure de la longueur du segment [MN] dépend de la position de M et N. La valeur minimale de cette mesure est ce que l’on appelle la distance de (D) et (D’).

La distance de deux droites s’obtient en traçant une perpendiculaire commune (D’’) à ces deux droites. La mesure du segment porté par (D’’), délimité par (D) et (D’) donne la valeur de cette distance (sur la figure : H1M1 ou H2M2).

V.Aires dans le plan. 1/ Généralités L’aire est une grandeur attribuée aux surfaces (régions) du plan. Toute surface occupe une étendue ; cette étendue est ce que l’on appelle « l’aire ». Les mots « aire » et « superficie » sont synonymes en mathématiques. Dans le plan, les seules surfaces que nous allons considérer seront composées d’une ou d’un nombre fini de régions délimitées chacune par un nombre fini de lignes fermées.

Mesure d’une aire : Supposons que l’on ait choisi une aire de référence u. La mesure a de l’aire A d’une surface avec l’unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans A. On dit « la mesure de A avec l’unité u est égale à a.u » ou « la mesure de A est égale à au ». On écrit : mesu A= a ou plus simplement   A = au. Ce nombre peut être entier, décimal ou non décimal.

Les contenus mathématiques de ce paragraphe mettent en relation trois notions différentes : La surface (objet géométrique) L’aire (grandeur) La mesure (nombre). Vous devez faire attention dans les expressions et les notations utilisées de ne pas confondre ces trois notions.

En particulier, il vaudrait mieux ne pas utiliser le mot « surface » quand on veut parler « d’aire ». Il faudrait aussi éviter de dire ou d’écrire que les deux surfaces sont égales sous le prétexte qu’elles ont la même aire.

Exemples : Les aires de ces trois figures sont toutes égales à 4 cm2, mais les trois surfaces ne sont pas égales entre elle, elles ne sont même pas superposables.

2/ Pratique des mesures a/ Unités : Voici la liste des unités les plus usitées du système métrique. Kilomètre carré km2 1 000 000 m 106 m Hectomètre carré hm2 10 000 m 104 m Décamètre carré dam2 100 m 10 2 m Mètre carré m2 1 m 1 m Décimètre carré dm2 0,01 m 10-2 m Centimètre carré cm2 0,000 1 m 10-4 m Millimètre carré mm2 0,000 001 m 10-6 m

Chaque unité est cent fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau. Les unités d’aires du système international sont construites comme produit de deux longueurs. Ainsi : 1 décamètre2 = (1 décamètre)2 = (10 mètres)2 = 102 mètres2 = 100 mètres2. La puissance deux (« au carré ») affecte aussi le préfixe déca qui ne signifie plus 10 mais 102. On dit souvent qu’un cm2 c’est un carré de un cm de côté. Cette phrase est maladroite. Elle laisse à penser que l’unité d’aire, ici le cm2, est une surface de forme carrée. Il vaut mieux dire « un cm2, c’est l’aire d’un carré de un cm de côté » de ne pas oublié que qu’un cm2, c’est aussi l’aire des diverses surfaces dessinées ci-après.

Il peut être utile de connaître les unités du système agraire (dont la connaissance n’est pas exigible à l’école primaire, même si elles peuvent être utilisées).

b/ Changement d’unités : Quand on change d’unités pour mesurer une aire, ce n’est pas l’aire qui change mais sa mesure. Ainsi, on peut parfaitement écrire : 30 cm2 = 0,003 m2 = 0,3 dm2 = 3 000 mm2. Plus l’unité choisie est petite, plus le nombre qui exprime la mesure augmente, mais l’aire ne change pas.

c/ Comment trouver la mesure de l’aire d’une surface ? Pour certaines surfaces, il existe des formules. Pour les surfaces planes quelconques, il est souvent commode de les décomposer en surfaces plus simples pour lesquelles il existe une formule de calcul. On peut aussi procéder par soustraction. Exemple :

La décomposition de l’octogone en cinq carrés et quatre triangles isocèles rectangles permet d’en calculer l’aire : Mescm² (aire de l’octogone) = 5 + 4 x 0,5. L’aire de l’octogone est de 7 cm².

3/ Formules d’aires pour des surfaces planes a/ Tableau des formules :

Les Points A1, A2, A3, A4 sont tous sur la droite D parallèle à (BC) Les Points A1, A2, A3, A4 sont tous sur la droite D parallèle à (BC). Ils sont tous à la même distance de la droite (BC). Donc les hauteurs issues de A1, A2, A3, A4 dans les triangles A1BC, A2BC, A3BC, A4BC ont la même mesure. Comme ces triangles ont une base commune [BC], les triangles A1BC, A2BC, A3BC, A4BC ont la même aire.

V.Angles dans le plan. L’angle est une grandeur attribuée aux secteurs du plan, régions délimitées par deux demi-droites de même origine.

La notion d’angle correspond à l’idée intuitive d’ouverture La notion d’angle correspond à l’idée intuitive d’ouverture. Sur la figure, les secteurs, numérotés dans l’ordre croissant sont de plus en plus ouverts, les angles associés à ces secteurs sont de plus en plus grands.

Mesure d’un angle : Supposons que l’on ait choisi un angle de référence u. La mesure a de l’angle A d’un secteur avec l’unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans A. On écrit : mesu A = a ou plus simplement A = au . Quand l’unité est le degré (°), on dit que la mesure de A est égale à a° ou que A est égal à a° . On écrit : A = a°. Ce nombre peut être entier, décimal ou non. Il est compris entre 0° et 360°.

L’unité utilisée est le degré ; son abréviation est ° L’unité utilisée est le degré ; son abréviation est °. Pour les angles dont la mesure en degrés n’est pas un nombre entier, on peut utiliser deux notations : La notation décimale, par exemple 23,6° La notation sexagésimale, par exemple 23°12’43 ‘’, qui se lit 23 degrés 12 minutes 43 secondes. On a les égalités suivantes : 1° = 60’= 3 600’’ et 1’ = 60’’.

Il existe d’autres unités. Le grade (abréviation gr). Certains rapporteurs sont gradués en grades. Un angle droit mesure 100 gr. Le radian (abréviation rd), que l’on utilise dès la seconde du lycée (le degré étant abandonné au profit du radian).

Soit un cercle de centre O et de rayon R, deux points A et B de ce cercle tels que la longueur de l’arc soit égale à R. Par définition, l’angle mesure 1 rd.

VI.Les durées . 1/ Comparaison et mesure des durées a/ Généralités : La durée est une grandeur attribuée aux phénomènes, aux événements qui se découlent dans notre vie, dans notre environnement.

Pour comparer les durées de deux phénomènes, il y a deux cas théoriquement simples : Si les deux phénomènes débutent en même temps, le plus long est celui qui s’achèvent en deuxième ; Si les deux phénomènes s’achèvent en même temps, le plus long est celui qui a débuté en premier. Dans les autres cas, on compare le plus souvent leurs mesures.

Pour cela, il faut disposer d’un étalon de durée, c’est-à-dire, d’un phénomène qui se déroule toujours avec la même durée et qui puisse se reproduire indéfiniment. Ce phénomène peut être naturel – la rotation de la terre autour de son axe, la révolution de la terre autour du soleil – ou artificiel, créé par l’homme, comme par exemple les oscillations d’un pendule entretenue par des poids dans une horloge.

Les anciens (Babyloniens, Hébreux, Grecs, Egyptiens, Musulmans…) dont les connaissances en astronomie étaient parfois assez développées, ont pour la plupart défini les unités de durées à partir de l’observation de phénomènes comme le passage du soleil dans le plan méridien d’un lieu, les phases de la lune, les équinoxes du printemps, phénomènes qui se reproduisent à intervalles réguliers respectivement d’un jour, d’un mois (en fait 29,5 jours) et d’un an.

Malheureusement à cause du caractère elliptique de l’orbite terrestre, de l’inclinaison de son axe par rapport au plan de son orbite, du fait aussi que la direction de cet axe varie un peu au cours des siècles, les périodes des phénomènes observés ne sont pas rigoureusement constantes. L’unité de base pour la mesure des durées, la seconde, est actuellement définie à partir de phénomènes se passant au niveau des électrons de l’atome de césium.

b/ Les unités : Voici la liste des unités communément utilisées. Semaine 7 jours = 168 h = 604 800 s Jour j 24 h =86 400 s heure h 3600 s minute mn 60 s seconde s milliseconde ms 0,001 s = 10-3 s microseconde μs 0,000 001 s = 10-6 s nanoseconde ns 0,000 000 001 s = 10-9 s picoseconde ps 0,000 000 000 001 s = 10-12 s On remarque qu’en dessous de la seconde, la logique est décimale alors qu’au dessus, les équivalences obéissent à un principe sexagésimal jusqu’à l’heure.

Au-delà du jour de la semaine qui sont des multiples fixes de la seconde, on a coutume d’utiliser le mois, l’année, le siècle comme autres unités, mais celles-ci sont variables. Les mois à 31 jours sont janvier, mars, mai, juillet, août, octobre et décembre. Ceux à 30 jours sont avril, juin, septembre et novembre. Le mois de février compte 29 jours ou 28 selon que l’année est bissextile ou non. Sont bissextiles les années des centenaires multiples de 400, donc 2000, 2400, 2800 mais pas 1900, 2100, 2200. Parmi les années autres que celles de ces centenaires, sont bissextiles les années multiples de 4, donc 1996, 2004, 2008 mais pas 2002,2003,2005.

VII/ qUELQUES ELEments de DIDACTIQUE SUR LES MESURES VII/ qUELQUES ELEments de DIDACTIQUE SUR LES MESURES 1/ Les Contenus enseignés De façon générale, le maître doit aider les élèves à percevoir les différences qu’il y a entre « un objet », « une grandeur » et « une mesure ». Les difficultés à comprendre que l’on peut associer plusieurs grandeurs à un même objet sont une des principales sources d’erreurs chez les élèves.

L’élève doit aussi être capable de mettre en place des procédures de comparaisons de grandeurs sans faire appel aux nombres. Enfin, il doit comprendre que la notion de mesure intervient lorsque les procédures de comparaisons précédentes deviennent insuffisantes pour comparer des grandeurs (il peut être impossible par exemple de comparer l’aire d’un carré et celle d’un disque en les superposant).

En conséquence, dès l’école maternelle, les programmes demandent d’aborder la notion de grandeur au travers des activités de classement, de rangements d’objets ou à travers des activités de repérage d’événements dans le temps. Ces premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n’intervienne.

Au cycle 2 sont introduites les notions de mesures de longueur, de masses, de durées. Au cycle 3 sont abordées les mesures d’aires et de capacité. Attention : le m3, ses multiples et ses sous-multiples ne sont pas au programme de l’école primaire. Dans ce cycle, le travail sur les mesures permet de renforcer les connaissances sur les décimaux.

Le vocabulaire des grandeurs Le maître doit exercer une certaine vigilance sur le langage utilisé pour évoquer les grandeurs. Le mot grandeur n’a pas à être utilisé en classe : il est remplacé par longueur, masse, aire, etc. selon le contexte. Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. Citons hauteur d’un monument, d’un arbre (attention la hauteur du soleil est un angle); altitude d’un sommet, d’un avion en vol; dénivelé d’une route; profondeur d’une piscine; taille d’une personne; tour de cou; distance entre deux lieux; largeur d’un fleuve; périmètre d’un polygone; circonférence d’un cercle. Il est important pour l’élève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en mathématiques longueur.

Certains mots désignant des unités de longueur (mètre, décimètre, décamètre) sont aussi utilises pour nommer un outil de mesure : mètre ruban, mètre de couturière, double-décimètre de l’élève, décamètre d’arpenteur. Le mot aire doit être différencié de ses homonymes : l’air que nous respirons, l’air qu’on fredonne, l’aire géographique (apparentée à une surface), l’ère (l’époque). Dans le domaine des volumes, le terme contenance désigne un volume intérieur, les deux termes contenance et volume peuvent être utilisés, tout en soulignant leur différence avec le volume du son (qui évoque son intensité), le volume posé sur l’étagère (le livre)… A l’école primaire, le mot masse est considéré comme synonyme de poids, comme dans le langage courant.

Différenciation aire/périmètre D’abord identifier les grandeurs et les différencier de la mesure. Objet Grandeur Mesure Figures Aire Lignes Longueur

Découpage/recollement Le parallélogramme a la même « étendue » que le rectangle :

Différencier deux grandeurs Un rectangle mesure 24 carreaux : 6 4 Peut-on trouver un autre rectangle qui ait la même aire ?

Exercice Trouver une figure dont l’aire est plus petite que le rectangle et le périmètre plus grand Trouver une figure dont l’aire est plus grande et qui ait le même périmètre. Trouver une figure dont l’aire est plus grande et le périmètre plus petit.

2. Les difficultés des élèves   a/ Difficultés à concevoir certaines grandeurs Décrivons quelques activités pour lesquelles les élèves de l’école élémentaire ou du début de collège manifestent souvent des hésitations ou des erreurs de jugement.

Activité n°1

Deux baguettes de même longueur sont présentées à un enfant, comme l’indique la figure 1a. il est invité à dire si une baguette est plus longue que l’autre. En général, l’enfant répond que non. La même question lui est reposée ensuite après que les baguettes aient été placées, sous ses yeux, dans la disposition représentée sue la figure 1b. Beaucoup d’enfants (GS, CP) donnent alors une réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si la longueur d’une baguette au moins avait été modifiée, comme si elle ne s’était pas conservée entre les deux moments de l’expérience.

Activité n°2 Figure 2a Figure 2b Figure 2c

Deux ficelles de même longueur sont présentées à un enfant, comme l’indique la figure 2a. Il est invité à dire si une ficelle est plus longue que l’autre. En général, il convient facilement que non. La même question lui est reposée ensuite après que l’une des ficelles ait été froissée (figure 2b) ou enroulée (figure 2c) sous ses yeux. Beaucoup d’enfants (GS, CP) donnent alors une réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si la longueur d’une ficelle au moins avait été modifiée, comme si elle ne s’était pas conservée entre les deux moments de l’expérience.

Ces deux expériences rappellent les expériences décrites et analysés par J. Piaget dans « la Géométrie spontanée de l’enfant » (PUF, 1948). Pour lui, la « conservation » de la longueur n’est en général atteinte qu’aux alentours de 6 ans et demi.

Activité n°3 Il s’agit de l’exercice n°14 de l’évaluation nationale de début CE2 (septembre 1991). Entoure le chien qui suivra le chemin le plus court pour arriver à l’os

En voici les résultats nationaux : Réponse juste (chien de gauche entouré) ……………………………………………………..… 58,9 % Chien de droite entouré …………………………………………..…………… 23,1 % Autres réponses…..……………………….… 16,9 % Absence de réponse ……….……………… 1,1 %

Les élèves se laissent influencer par ce qu’ils voient – le chien de droite est « à vol d’oiseau » plus près de l’os que le chien de gauche – mais en répondant ainsi ils ne prennent pas en compte la longueur des chemins.

Activité n°4 Il s’agit de l’exercice n°15 du livret d’évaluation à l’entrée en 6e (1997). Le côté de la maille du réseau quadrillé mesure 1 cm.

67% des élèves pensent que l’aire du carré est plus grande que celle de la croix, la réponse exacte est apportée par une majorité d’élèves mais pas par la totalité. 22% des élèves seulement pensent que le périmètre du carré est égal à celui de la croix. 56% pensent que le périmètre du carré est plus grand que celui de la croix. Les élèves semblent raisonner, à propos des périmètres, comme ils le font pour les aires. Or il leur serait facile de compter les segments unités le long de chaque contour pour contrôler leur réponse. Ils ne le font pas parce qu’ils sont sûrs de leur jugement.

Activité n°5 Il s’agit de l’exercice de G-S Close (in Children’s understanding of angle at the primary/ secondary transfer age, 1982) Les élèves sont invités à se prononcer sur l’éventuelle égalité d’angles regroupés par paires ; dans six cas les angles sont bien égaux, dans deux cas la somme des mesures vaut 360°.

Il n’y a que : 39% de réussite pour la paire {(c) , (d)] et 44% de réussite pour la paire {(g) , (h)] . Pour des élèves de 6e, le taux de réussite de cette activité est d’environ 40%. Pour plus de la moitié d’entre eux, tout se passe comme s’ils pensaient que plus les côtés d’un angle sont longs, plus l’angle est grand.

Activité n°6 Les trois questions suivantes ont été posés par G Activité n°6 Les trois questions suivantes ont été posés par G. Vergnaud et son équipe de chercheurs à des élèves du collège. Question I1 : volume de l’aquarium Matériel : l’élève a devant lui une boîte en carton (« l’aquarium ») de 39 cm de longueur, 17 cm de hauteur, 20 cm de largeur. Il dispose d’un mètre ruban. Consigne : « Est-ce-que tu peux me dire la quantité d’eau qu’on peut mettre dans cet aquarium en le remplissant complètement ? »

Question I2 : volume de la pièce Matériel : la pièce où se déroule l’expérience. Consigne : « Est-ce-que tu peux estimer le volume de cette pièce ? » Question I4 : calcul du nombre de cubes (1cm d’arête) nécessaires pour construire un parallélépipède rectangle dont les arêtes mesurent 4 cm, 3 cm et 2 cm. Matériel : une centaine de cubes emboîtables de 1 cm d’arête. Consigne : « Combien faut-il que je te donne de cubes pour construire une boîte pleine (comme une boîte de sucres) de 3 cm de large, 4 cm de long et 2 cm de haut ? » Remarque : la question I4 n’a été posée qu’aux élèves ayant échoué aux questions I1 et I2.

Questions I1 I2 I4 44 % 48 % 54 % Taux de réussite globale (6e, 5e, 4e, 3e) 44 % 48 % 54 % Les réussites sont obtenues grâce au produit des trois dimensions. Les erreurs consistent souvent à ajouter les trois dimensions, ou à ajouter deux et à multiplier le résultat par la troisième.

Toutes ces activités montrent que les élèves : Se laissent influencer par des aspects perceptifs de la situation (ce qu’ils voient les pousse à une fausse interprétation de la tâche ou les abuse). Ou confondent certaines grandeurs voisines : longueur d’une ligne / distance des extrémités ; aire / périmètre ; grandeur d’un angle et longueur des côtés dessinés. Ou mettent difficilement en relation les grandeurs entre elles.

Les difficultés persistantes au collège à propos des volumes ont conduit les auteurs des programmes de 2002 à limiter, à l’école élémentaire, l’étude des volumes à celles des contenances ou capacités.

b/ D’autres difficultés sont d’ordre pratique : Lecture de la graduation d’une règle ou d’un verre doseur Mauvais positionnement de l’origine des graduations

C/ Malgré l’emploi souvent intensif des tableaux de conversion, les erreurs ou les maladresses, à propos des unités sont fréquentes  Oubli d’indiquer les unités dans les réponses aux problèmes   Oubli de convertir les mesures dans la même unité avant de calculer dans un problème (d’où des réponses invraisemblables)

La confusion entre unités, fréquente à propos du poids et de la taille chez les jeunes élèves, se poursuit au cycle 3, entre celles de longueur et d’aire, entre les cL et les cm3, etc. (d’où l’abandon des unités issues du m3) Seul le litre, ses multiples et ses sous-multiples sont au programme de l’école primaire.

La représentation des unités par des élèves est souvent stéréotypée : un cm² est presque toujours imaginé par les élèves comme un carré de un cm de côté ; on peut faire l’hypothèse qu’un telle « définition » va faire obstacle pour comprendre ce que représente l’aire d’une surface qui ne peut visiblement pas être recouverte de tels carrés Difficulté à comprendre que si l’on change d’unités, c’est la mesure qui change et non la grandeur qui change

Méconnaissance de quelques ordres de grandeur de référence (hauteur d’une maison, d’un immeuble, d’un arbre…) Difficultés sur les durées (elles ne s’expriment pas dans le système décimal)

Bibliographie - Préparer l’épreuve de mathématiques, vol. 3 « approche pédagogique », CNED, 2004 - Cours de mathématiques 2009 de M. Bourguet, formateur à l’IUFM de la Polynésie française. - Children’s understanding of angle at the primary/ secondary transfer age, G-S Close,1982) - La Géométrie spontanée de l’enfant, J. Piaget, PUF, 1948. - Documents d’application des programmes, CNDP, 2002 - Livret d’évaluation nationale à l’entrée en 6e (1997). - Livret d’ évaluation nationale de début CE2 (1991).

Fin David Rolland, PIUFM Mathématiques