Etienne Bertaud du Chazaud Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire Etienne Bertaud du Chazaud Lundi 20 décembre 2004 PHASE

Position du problème Les aérogels Guide d’onde 1D Corde vibrante auto-similaire

Les structures auto-similaires… Objets Mathématiques Objets Physiques

Les fractales de masse Tapis de Sierpinski Aérogel de silice ×1/3 D = Log(8)/Log(3) ≈ 1,89 Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4 Aérogel de silice D ≈ 2,4

Les fractales de surface ×1/3 Île de von Koch  D = Log(4)/Log(3) ≈ 1,26 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4 Côte bretonne D ≈ 1,22

Vibrations of Fractal Drums Sapoval et al., Physical Review Letters 67-21, 1991 Milieu de propagation homogène Les limites correspondent à une fractale de surface Pose photographique (1s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina

Density of state on fractals : fractons Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43, 1982 Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle Des modes phonons et fractons sont observés Modes étendus Modes localisés r(w) est la densité d’état, c’est à dire le nombre de modes propres compris dans la bande dw à la fréquence w.

Alippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992 Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor composite Alippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992 Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor d’ordre 4 Céramique piézo-électrique Résine époxy Modes étendus dans la structure Modes localisés dans la structure

Création et étude d’une structure mécanique à 1D Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN Création et étude d’une structure mécanique à 1D Création et étude d’une structure mécanique à 2D L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

Création et étude d’une structure mécanique à 1D Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN Création et étude d’une structure mécanique à 1D Création et étude d’une structure mécanique à 2D L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

Etude numérique de la corde chargée Modèle mécanique discret Cantor ordre 3 (D ≈ 0,63) Système continu p diffuseurs ; y Modèle mécanique discret de N masses Solution du problème aux valeurs propres

Représentation de quelques modes propres étendus d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2,45 mode 5 – w/w0 = 2,46 mode 27 – w/w0 = 24,30

Représentation de quelques modes propres localisés d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2,45 mode 21 – w/w0 = 13,41 mode 23 – w/w0 = 16,90

A propos de la localisation… y(x) Log(|y(x)|) Localisation forte (décroissance exponentielle)

Représentation de l’ensemble des modes propres d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2,45 w/w0

Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – b = 2,45 Ordre 3 – mode 5 – w/w0=2,46 DOS intégrée d’une structure non chargée de masse identique Ordre 3 – mode 21 – w/w0=13,41 Ordre 3 – mode 27 – w/w0=24,30 Ordre 3 – mode 23 – w/w0=16,90

Ratio de participation Structure d’ordre 3 – b = 2,45 Vibration d’une corde entière (2/3) Vibration d’un tiers de corde (2/9) Vibration de deux neuvième de corde (4/27) Mode 21

Caractère auto-similaire de la densité d’état intégrée Structure d’ordre 5 – b = 1,86 ×3 ×3

Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement b Structure d’ordre 3 b = 1,09 b = 0,52 b = 0,06 b = 0 b → +∞ b = 1,09 b = 0,52 b = 0,06 b = 0 b → +∞

Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement b Structure d’ordre 3 Rôle de la masse des diffuseurs Rapport b de chargement

Dans la corde vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 1D] La localisation est observée. Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. Le rôle du rapport de chargement est connu. Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de b), déterminer la dimension fractale D du modèle, l’ordre de pré-fractalité n à partir des courbes.

Création et étude d’une structure mécanique à 1D Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN Création et étude d’une structure mécanique à 1D Création et étude d’une structure mécanique à 2D L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

Etude numérique de la structure 2D Principe de construction du système auto-similaire Surcharges ordre 3 (p diffuseurs) Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3

Modèle mécanique discret (détermination des modes propres) (yij→yn et n=f(i,j)) Solution du problème aux valeurs propres

Modes propres et Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – b = 8,9 Ordre 3 Ordre 0

A propos de la localisation… Tracé de Log(|z(x,y)|) le long de la médiane Localisation forte (décroissance exponentielle)

Ratio de participation Structure d’ordre 3 – b = 8,9 Vibration d’une membrane de côté l (4/9) Vibration d’une membrane de côté l/3 (2/27)

Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 wp représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée wt représente la fréquence au-delà de laquelle l’onde n’est plus bloquée

Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3

Carte de la localisation Structure d’ordre 3 wmin,b- - wmax,b++

Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 b = 0,27

Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2

Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 b = 0,27

Etude expérimentale d’une membrane d’ordre 2

Dans la membrane vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 2D] La localisation est observée. Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. Le rôle du rapport de chargement est connu. Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières.

Création et étude d’une structure mécanique à 1D Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN Création et étude d’une structure mécanique à 1D Création et étude d’une structure mécanique à 2D L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

Fractales déterministes ou permutées : Influence de l’arrangement des sous-parties

Densité d’état intégrée et ratio de participation pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – b = 2,45 Localisation principale Localisation secondaire

Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – b = 2,45 Localisation principale w/w0=13,41 Localisation secondaire w/w0=16,90

Densité d’état intégrée pour différents arrangements Cas de la membrane – a = 8,9 A 2D

Ratio de participation pour différents arrangements Cas de la membrane – b = 8,9

Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la membrane – b = 8,9

Les fractales de masse présentent-elles un comportement vibratoire particulier ? Conclusions et perspectives Conclusions Localisation à 2D comme à 1D. « Cross-over » dans la densité d’état intégrée. Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats. L’évolution de la zone de localisation avec la masse est connue. Le système n’est pas trop sensible aux permutations Perspectives Design de filtre. Etude d’une structure 2D rigide. Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3D ?