Les PROBABILITÉS conditionnelles Mathématiques CST Les PROBABILITÉS conditionnelles

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Définitions de base Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat dépend du hasard (ne peut être prédit avec certitude). Univers des possibles : Ensemble formé de tous les résultats possibles d’une expérience. Symbole :  (« oméga ») Ex. #1 : On lance un dé.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ex. #2 : On lance un dé suivi d’une pièce de monnaie.  = { (1, P) , (1, F) , (2, P), (2, F) , … , (6, P) , (6, F) }

TYPES de probabilités Probabilité THÉORIQUE : Établie à la suite d’un raisonnement, sans avoir besoin d’en faire l’expérience. Nombre de résultats favorables Probabilité THÉORIQUE = Nombre de résultats possibles Ex. : On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 ? 1 PT(4) = 6

TYPES de probabilités Loi des grands nombres Probabilité FRÉQUENTIELLE : (ou EXPÉRIMENTALE) Obtenue suite à la répétition d’une expérience. Nombre de fois qu’un résultat s’est produit Probabilité FRÉQUENTIELLE = Nombre d’expériences réalisées Ex. : On lance un dé à 6 reprises. On obtient le nombre « 1 » à 2 reprises. Quelle est la probabilité fréquentielle d’obtenir 1 suite à cette expérience ? 2 PF(1) = 6 Loi des grands nombres Lorsque l’expérience est effectuée un très grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité théorique. Ex. : On lance une pièce de monnaie. Après 5 expériences : 3 piles et 2 faces PF (pile) = 3 / 5 = 0,6 Après 20 expériences : 9 piles et 11 faces PF (pile) = 9 / 20 = 0,45 Après 100 expériences : 52 piles et 48 faces PF (pile) = 52 / 100 = 0,52

TYPES de probabilités Probabilité SUBJECTIVE : Reflète l’avis d’une personne sur la probabilité qu’un événement se produise. Elle fait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions. Il est impossible de calculer une probabilité subjective ou d’en faire l’expérience. Ex. : Les probabilités que les Canadiens de Montréal gagnent la coupe Stanley sont bonnes cette année !

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Résultats simples La probabilité d’un résultat « r » est : P(r) = p avec p  [ 0, 1 ] Si : P(r) = 0 Événement impossible P(r) = 1 Événement certain Nombre de chances d’obtenir le résultat souhaité P(r) = Nombre de résultats possibles de 

Ex. #1 : On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 ? ≈ 0,17 6 Ex. #2 : Dans un jeu de 52 cartes, on pige 1 carte. Quelle est la probabilité d’obtenir un cœur ou une dame de pique ? 13 1 14 P( ou D) = + = ≈ 0,27 52 52 52 Ex. #3 : Dans un jeu de 52 cartes, on pige 2 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir un cœur et une dame de pique (avec remise) ? 13 1 13 P( et D) = x = ≈ 0,0048 52 52 2704

Chances POUR et chances CONTRES Nombre de chances de succès Chances POUR = Nombre de chances d’échec Nombre de chances d’échec Chances CONTRE = Nombre de chances de succès Ex. #1 : Denis et Paul essaient de deviner le poids des gens (à 5 lbs près). Denis a deviné juste 12 fois et s’est trompé 8 fois. Paul a deviné juste 5 fois et s’est trompé 15 fois. Quelles sont les « chances pour » que Denis devine juste pour la prochaine personne ? 12 Chances POUR = 8 Quelles sont les « chances contre » que Paul se trompe pour la prochaine personne ? 15 Chances CONTRE = 5

Ex. #2 : Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1 Ex. #2 : Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1. Quelle somme recevra-t-il si on mise 20 $ et que ce cheval gagne la course ? p 8 x Chances CONTRE = = g 1 20 $ x = 160 $ Note : Aux courses, la cote indique les « chances contres » Réponse : On recevra 180 $, car on nous remet notre mise. Ex. #3 : Une équipe est favorite à 12 contre 7 pour l’emporter. Paul gage 10 $ que l’équipe va perdre. Combien recevra-t-il si l’équipe perd ? g 12 x Chances POUR = = x = 17,14 $ p 7 10 $ Réponse : Paul recevra 27,14$, car on lui remet sa mise.

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Résultats composés Se produit lors d’une expérience à plusieurs étapes (2 lancers de dé, tirer 3 cartes, etc.). La probabilité d’un résultat composé est égale au produit des probabilités de chacune de ses composantes. Mot clé : ET Attention aux tirages AVEC remise et SANS remise !

VERTES, on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la Ex. : Dans un sac qui contient 5 boules ROUGES, 3 boules BLEUES et 2 boules VERTES, on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la probabilité de piger 2 boules BLEUES ? 1er TIRAGE 2e TIRAGE ROUGE 5 4 20 P( R , R ) = x = ≈ 0,22 4 / 9 10 9 90 ROUGE BLEUE 3 / 9 5 3 15 P( R , B ) = x = ≈ 0,17 10 9 90 2 / 9 5 2 10 P( R , V ) = x = ≈ 0,11 5 / 10 VERTE 10 9 90 ROUGE 3 5 15 P( B , R ) = x = ≈ 0,17 5 / 9 10 9 90 BLEUE 3 / 10 BLEUE 2 / 9 3 2 6 Départ P( B , B ) = x = ≈ 0,067 10 9 90 2 / 9 3 2 6 P( B , V ) = x = ≈ 0,067 VERTE 10 9 90 2 / 10 ROUGE 2 5 10 P( V , R ) = x = ≈ 0,11 5 / 9 10 9 90 3 / 9 BLEUE 2 3 6 P( V , B ) = x = ≈ 0,067 VERTE 10 9 90 1 / 9 2 1 2 P( V , V ) = x = ≈ 0,022 VERTE 10 9 90

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Diagramme de Venn Sert à visualiser les relations entre les événements. Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :  = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.

On commence par la partie commune aux trois ensembles Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :  = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.  (200) A B On commence par la partie commune aux trois ensembles 20 C

Ensuite, les parties communes à deux ensembles… Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :  = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.  (200) A B 10 Ensuite, les parties communes à deux ensembles… 20 C

Ensuite, les parties communes à deux ensembles… Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :  = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.  (200) A B 10 Ensuite, les parties communes à deux ensembles… 20 40 C

Ensuite, les parties communes à deux ensembles… Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :  = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.  (200) A B 10 Ensuite, les parties communes à deux ensembles… 20 40 C

Finalement, les ensemble seuls… Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a 120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement, il y a 10 élèves inscrits à autre chose. On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :  = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option. A = Élèves inscrits en Art. B = Élèves inscrits en Bio. C = Élèves inscrits en Chimie.  (200) A B 10 30 30 Finalement, les ensemble seuls… 20 40 60 10 C

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Événements DÉFINITION : Sous-ensemble de l’univers des possibles () d’une expérience aléatoire. Ex. : On lance un dé. Événement A = Obtenir un nombre pair Événement B = Obtenir un nombre premier Événement C = Obtenir un nombre plus petit ou égal à 5.

Événements COMPLÉMENTAIRES Lors d’un événement A, ce sont tous les éléments qui ne sont pas dans l’événements A. Ex. : On choisit un numéro parmi les nombres 1 à 20. Événement A = Obtenir un multiple de 4. A = {4, 8, 12, 16, 20} A’ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19} 5 1 P(A) = = ≈ 0,25 20 4 15 3 P(A’) = = ≈ 0,75 20 4 On peut donc calculer la probabilité d’un événement complémentaire avec la relation suivante : P(A’) = 1 – P(A)

Événements DISJOINTS (ou incompatibles) Lorsque deux événements A et B ne peuvent avoir des éléments en commun. Ex. : On interroge 100 personnes sur leur lieu de naissance.  = Le lieu de naissance de personnes nées dans un hôpital. A = Les personnes nées en Suisse. B = Les personnes nées en France. Des 100 personnes, 10 dit être nées en Suisse, 50 en France et 40 dans un autre pays.  (100) A B 10 50 40 Quelle est la probabilité qu’une personne soit née en Suisse ou en France ? 10 50 60 P(A U B) = + = 100 100 100

Événements DISJOINTS (ou incompatibles) Pour le calcul des probabilités, on obtient donc : P(A U B) = P(A) + P(B)

Événements COMPATIBLES Lorsque deux événements A et B peuvent avoir des éléments en commun. Ex. : On interroge 100 personnes sur les pays qu’ils ont visités en Europe durant leur voyage.  = Les personnes qui ont voyagé en Europe. A = Les personnes qui ont visité la Suisse. B = Les personnes qui ont visité la France. Des 100 personnes, 40 ont visité uniquement la Suisse, 30 ont visité uniquement la France, 10 ont visité les deux pays et 20 ont visité d’autres pays.  (100) A B 40 10 30 20 Quelle est la probabilité qu’une personne ait visité la Suisse ou la France ? 50 40 10 80 P(A U B) = + – = 100 100 100 100

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Événements COMPATIBLES Pour le calcul des probabilités, on obtient donc : P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Espérance mathématique DÉFINITION : C’est le gain (ou la perte) moyen qu’on espère obtenir si on répète une expérience un grand nombre de fois. Méthode de calcul :  On multiplie chacun des gains ou des pertes possibles par leur probabilité  On fait la somme de tous les produits

2 $ 10 $ 5 $ 20 $ Ex. #1 : On fait tourner la roue suivante : Quelle est l’espérance mathématique de cette situation ? 1 1 1 1 1 EM = (10 $) + (20 $) + (5 $) + (2 $) + (2 $) 4 4 6 6 6 10 20 5 2 2 EM = + + + + 4 4 6 6 6 EM = 2,5 + 5 + 0,83 + 0,33 + 0,33 EM = 9 Conclusion : En moyenne, on devrait recevoir 9 $ à chaque tour.

2 $ 10 $ 5 $ 20 $ Ex. #1 : On fait tourner la roue suivante : b) Maintenant, on paie 7 $ pour jouer à ce jeu. Êtes-vous intéressé à jouer ? EM = 9 – 7 EM = 2 Conclusion : On ne risque toujours rien de jouer à ce jeu, on devrait même recevoir 2 $ à chaque tour. ATTENTION : Lorsque le joueur paie pour jouer et qu’on ne spécifie pas qu’on lui remet sa mise s’il gagne, alors on doit soustraire cette mise de son gain. Si on lui remet sa mise s’il gagne, alors le gain reste entier ; c’est comme s’il n’avait pas payé pour jouer.

Ex. #2 : La probabilité de gagner 10 $ est de 0,05, la probabilité de gagner 5 $ est de 0,2 et la probabilité de perdre 5 $ est de 0,75. Quelle est l’espérance de gain de ce jeu ? EM = 0,05 (10 $) + 0,2 (5 $) + 0,75 (- 5 $) EM = - 2,25 Conclusion : En moyenne, on devrait perdre 2,25 $ à chaque fois qu’on joue à ce jeu. Donc, il ne faut pas jouer à ce jeu !

Jeu ÉQUITABLE Un jeu est équitable si les deux joueurs ont la même chance de gagner. Donc, l’espérance mathématique doit être nulle. Ex. #1 : Retournons à notre exemple de la roue : 10 $ 20 $ 5 $ 2 $ EM = 9 Combien faudrait-il payer pour que ce jeu soit équitable ? EM = 9 – 9 EM = Conclusion : En moyenne, on devrait payer 9 $ à chaque fois qu’on tourne la roue.

Ex. #2 : Dans un bocal, il y a 8 boules identiques dont 7 rouges et 1 verte. On tire au hasard 1 boule. La seule façon de gagner est de tirer la boule verte. Il en coûte 2 $ pour jouer à ce jeu. Quel doit être le montant à gagner si on veut que le jeu soit équitable ? (on ne nous remet pas notre mise) Soit G, le montant du prix à gagner. 1 7 EM = (G – 2 $) + (- 2 $) 8 8 1 7 0 = (G – 2 $) + (- 2 $) 8 8 G 2 14 0 = – – 8 8 8 G – 16 0 = 8 0 = G – 16 16 = G Conclusion : On doit gagner 16 $ pour que ce jeu soit équitable.

Ex. #3 : Lors des 600 dernières parties de babyfoot, Martin a gagné à 200 reprises. François propose à Martin un petit pari. Il dit : « Si tu me bats 3 fois de suite, je te donne 20 $, sinon, tu me donnes 1 $. ». Martin doit-il accepter ce pari ? Calculons la probabilité fréquentielle de gagner de Martin : 200 1 PF = = 600 3 Ses chances de gagner s’il joue trois fois de suite : 1 1 1 1 PF = x x = 3 3 3 27 Calculons l’espérance mathématique : 1 26 EM = (20 $) + (- 1 $) 27 27 20 26 EM = – 27 27 - 6 EM = 27 EM = - 0,22 Conclusion : Martin doit refuser le pari.

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles - DÉFINITION : C’est la probabilité qu’un événement se réalise étant donné qu’un autre événement s’est déjà réalisé. Diagramme de VENN Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose.

Diagramme de VENN  = Les activités de fin de semaine.  (100) C B 40 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose.  = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard.  (100) C B 40 10 30 20 a) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma ? 50 1 P(C) = = 100 2

Diagramme de VENN  = Les activités de fin de semaine.  (100) C B 40 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose.  = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard.  (100) C B 40 10 30 20 b) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma et qui a joué au billard ? 10 1 P(C  B) = = 100 10

Diagramme de VENN  = Les activités de fin de semaine.  (100) C B 40 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose.  = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard.  (100) C B 40 10 30 20 c) Sachant que la personne est allée au cinéma, quelle est la probabilité qu’elle ait aussi joué au billard ? 10 1 P(B  C) PC (B) = = PC (B) = 50 5 P (C)

Diagramme de VENN  = Les activités de fin de semaine.  (100) C B 40 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose.  = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard.  (100) C B 40 10 30 20 d) Sachant que la personne est allée jouer au billard, quelle est la probabilité qu’elle soit aussi allée au cinéma ? P(B  C) 10 1 PB (C) = PB (C) = = P (B) 40 4

Diagramme de VENN  = Les activités de fin de semaine.  (100) C B 40 Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre chose.  = Les activités de fin de semaine. C = Les personnes qui ont été au cinéma. B = Les personnes qui ont joué au billard.  (100) C B 40 10 30 20 d) Sachant que la personne est allée jouer au billard, quelle est la probabilité qu’elle soit aussi allée au cinéma ? Donc, PB (C) ≠ PC (B)

Tableau à DOUBLE ENTRÉE Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous. Pratique un sport Fait autre chose Total Gars 40 20 60 Fille 30 10 70 100 Loisir Sexe  = Les loisirs préférés de 100 personnes. G = La personne est un gars. S = La personne pratique un sport.  (100) G S 20 40 30 10

Tableau à DOUBLE ENTRÉE Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous. Pratique un sport Fait autre chose Total Gars 40 20 60 Fille 30 10 70 100 Loisir Sexe a) Quelle est la probabilité de choisir un gars qui pratique un sport ? 40 2 P(G  S) = = 100 5 b) Quelle est la probabilité de choisir quelqu’un qui fait autre chose ? 30 3 P(S’) = = 100 10 c) Quelle est la probabilité de choisir une fille ou quelqu’un qui pratique un sport ? 40 + (70 – 30) 80 4 P(G’ U S) = = = 100 100 5

Tableau à DOUBLE ENTRÉE Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous. Pratique un sport Fait autre chose Total Gars 40 20 60 Fille 30 10 70 100 Loisir Sexe d) Sachant que la personne choisit est un gars, quelle est la probabilité qu’il pratique un sport ? P(G  S) 40 2 PG (S) = = = P (G) 60 3 e) Sachant que la personne choisit fait autre chose, quelle est la probabilité qu’elle soit une fille ? P(S’  G’) 10 1 PS’ (G’) = = = P (S’) 30 3 f) Sachant que la personne choisit pratique un sport, quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas une fille ? P(S  G) 40 4 PS (G) = = = P (S) 70 7

ARBRE des probabilités Pratique un sport Fait autre chose Total Gars 40 20 60 Fille 30 10 70 100 Loisir Sexe À partir du tableau à double entrée précédent, faisons un arbre des probabilités. A 10 / 40 F 40 / 100 S 30 / 40 Départ A 20 / 60 60 / 100 G S 40 / 60

A 10 / 40 F 40 / 100 S 30 / 40 Départ A 20 / 60 60 / 100 G S 40 / 60 a) Quelle est la probabilité de choisir un gars qui pratique un sport ? 60 40 40 2 P(G  S) = x = = 100 60 100 5 b) Sachant que la personne choisit est un gars, quelle est la probabilité qu’il pratique un sport ? P(G  S) 40 2 PG (S) = = = P (G) 60 3

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Événements dépendants et indépendants DÉPENDANTS : Lorsque la réalisation d’un événement influence la probabilité de réalisation d’un autre événement. PA (B) ≠ P(B) INDÉPENDANTS : Lorsque la réalisation d’un événement n’influence pas la probabilité de réalisation d’un autre événement. PA (B) = P(B) P(A  B) = P(A)  P(B)

Ex. : Une urne contient des billes bleues et des billes rouges. On tire deux billes consécutives. On considère les événements suivants : A = Tirer une bille bleue au 1er tirage. B = Tirer une bille bleue au 2e tirage. Tirage SANS remise : Les événements A et B sont DÉPENDANTS. PA (B) ≠ P(B) Tirage AVEC remise : Les événements A et B sont INDÉPENDANTS. PA (B) = P(B)

Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois. Donc : A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} C = {3, 6}  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C

Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois.  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C a) Les événements A et B sont-ils dépendants ? P(A  B) = 0 Donc P(A  B)  P(A)  P(B) P(A)  P(B) = ( 3 / 6 )  ( 3 / 6 ) = 9 / 36 Réponse : OUI. = 1 / 4

Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois.  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C b) Les événements A et C sont-ils dépendants ? P(A  C) = 1 / 6 Donc P(A  C) = P(A)  P(C) P(A)  P(C) = ( 3 / 6 )  ( 2 / 6 ) Réponse : NON, ils sont indépendants. = 6 / 36 = 1 / 6

Ex. : On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois.  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C c) Les événements B et C sont-ils dépendants ? P(B  C) = 1 / 6 Donc P(B  C) = P(B)  P(C) P(B)  P(C) = ( 3 / 6 )  ( 2 / 6 ) Réponse : NON, ils sont indépendants. = 6 / 36 = 1 / 6

Mathématiques CST - Probabilités conditionnelles -  Événements mutuellement exclusifs DÉFINITION : Lorsque deux événements ne peuvent pas se produire en même temps. A  B =  P(A  B) = 0

Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois.  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C a) Les événements A et B peuvent-ils se produire en même temps ? Réponse : NON. Ils sont donc mutuellement exclusifs. Remarque : P(A  B) = 0

Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois.  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C b) Les événements A et C peuvent-ils se produire en même temps ? Réponse : OUI. Ils sont donc non mutuellement exclusifs. Remarque : P(A  C) ≠ 0

Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants : A = Obtenir un nombre pair. B = Obtenir un nombre impair. C = Obtenir un multiple de trois.  (6) A B 2 1 4 5 6 3 C c) Les événements B et C peuvent-ils se produire en même temps ? Réponse : OUI. Ils sont donc non mutuellement exclusifs. Remarque : P(B  C) ≠ 0