Grandeurs et mesures - Mathématiques - Niveau 4ème © Tous droits réservés 2012 Remerciements à Mesdames Fatima Estevens et Blandine Bourlet, professeures de mathématiques de collège et de lycée ont participé à la conception et la réalisation de ces modules. Dossier suivi par Ludovic Legry IA-IPR de Mathématiques.

Exercice 4.1 La consommation d’essence Niveau 4ème Un automobiliste fait le plein avant de partir. Il roule pendant 600 km, il s’aperçoit qu’il a utilisé les 4/5 de l’essence contenue dans son réservoir. Il fait remplir son réservoir et paie 72,48 €. Sachant que le prix de l’essence est de 1,51 € le litre, déterminer la capacité de son réservoir et sa consommation moyenne. 72,48 ÷ 1,51 = 48 Il a mis 48 litres d’essence. 48 ÷ 0,8 = 60 Le réservoir est de 60 litres. 48 ÷ 600 = 0,08 Il a consommé 8 litres aux 100 km. 15 minutes 2

Exercice 4.2 Le mode de garde Niveau 4ème Une famille doit trouver un mode de garde pour leur enfant âgé d’un an. Ils hésitent entre deux solutions : la nourrice agréée et la crèche municipale. Les tarifs proposés par les nourrices sont les suivants : 2,90 € par heure, 3,20 € le déjeuner, 1,10 € le goûter. Le tarif horaire de la crèche est de 0,06 % du revenu net imposable mensuel. Calculer le coût mensuel du mode de garde avec la nourrice sachant que leur enfant restera chaque jour de 8h30 à 17h45, du lundi au vendredi. (Par souci de simplification, on considère qu’il y a 4 semaines dans un mois.) Sachant que le revenu annuel imposable de ce foyer est de 25 000 €, calculer le montant du mode de garde en crèche. Quel est le plus intéressant ? 1. Chez la nourrice : (2,9 × 9,25 × 5) + 3,2 × 5 + 1,1 × 5 = 155,625 155,625 × 4 = 622,5 Le prix pour un mois chez la nourrice est de 622,50 €. 2. En crèche : 0,06 × 25 000 ÷ 12 = 1,25 1,25 × 9,25 × 5 × 4 = 231,25 Le prix pour un mois en crèche est de 231,25 €. 3. La crèche est le plus intéressant. 20 minutes 3

Exercice 4.3 La salle de réception Niveau 4ème Je veux réaliser une salle de réception rectangulaire de 100 m². Le prix du gros œuvre étant au m², je me demande s’il existe une longueur et une largeur qui me permettraient d’économiser sur le prix de la peinture. Écrire une relation liant les valeurs de la longueur et de la largeur de ma salle. On note x la largeur. Donner l’expression en fonction de x du périmètre de la salle. La hauteur sous plafond est de 3,5m. Exprimer l’aire latérale de ma salle en fonction de x. On considèrera que cette surface est la surface à peindre. Compléter le tableau ci-dessous : Existe-t-il une longueur et une largeur qui permettent d’économiser la peinture ? Largeur (en m) 7 8 9 10 11 12 13 Surface à peindre (en m²) 1. L × l = 100 2. périmètre = 2L + 2l = 2 (100 ÷ 𝑥) + 2𝑥 3. aire latérale = 3,5 (200 ÷ 𝑥 + 2𝑥) 4. 5. Pour une largeur de 10 m et une longueur de 100 ÷ 10 = 10 m, donc pour une pièce carrée on obtient une surface latérale minimale de 140 m². Largeur (en m) 7 8 9 10 11 12 13 Surface à peindre (en m²) 149 143,5 140,8 140 140,6 142,3 144,8 20 minutes 4

Exercice 4.4 Le grillage Niveau 4ème Un terrain rectangulaire de 86,5 m de long a une surface de 3 027,5 m². Calculer la largeur de ce terrain. Calculer son périmètre. On veut l’entourer d’un grillage à 4 € le mètre. Quel va être le coût? Le grillage ne se vend qu’en rouleaux de 25 m, quel sera finalement le coût ? Pour installer un tel grillage, il faut installer des poteaux tous les 3 mètres (5,24 € pièce) avec jambes de force aux angles (4,75 € pièce), trois hauteurs de fil de tension (9,80 € les 100 m), des tendeurs (il en faut 24 à 1,10 € pièce), et attacher le grillage avec des agrafes (18,83 € les 2 500) et une pince à agrafes (20,64 € pièce). 5. Quel sera le prix de mon installation ? 1. 3 027,5 ÷ 86,5 = 35 La largeur est de 35 m. 2. 2 × 35 + 2 × 86,5 = 243 Le périmètre est de 243 m. 3. 4 × 243 = 972 Le coût est de 972 €. 243 ÷ 25 = 9,72 Il faut acheter 10 rouleaux. 25 × 10 × 4 = 1 000€ Le coût est de 1 000 €. 5. Poteaux 81 × 5,24 = 424,44 Jambes de force 4,75 × 8 = 38 Tendeurs 24 × 1,10 = 26,4 Fils de tension 3 × 243 = 729 m il me faut 800 m donc 9,80 × 8 = 78,4 Total 424,44 + 38 + 26,4 + 78,4 +18,83 + 20,64 = 606,71 Le prix de mon installation est de 1 000 + 606,71 = 1 606,71 €. 20 minutes 5

6 Un terrain est représenté ci-contre : Niveau 4ème Exercice 4.5 Le terrain Niveau 4ème Un terrain est représenté ci-contre : Ce terrain est vendu en terrain à bâtir mais la famille Martin a un doute. Pour pouvoir bâtir, un terrain doit avoir au minimum 15 m de façade. Pouvez-vous renseigner cette famille ? Le prix indiqué est le prix au mètre carré : 85 € le mètre carré. Quel est le prix de ce terrain ? La municipalité, en prévision de l’élargissement de la route, décide de prélever une bande de 1,8 m. Quel sera finalement le prix pour la famille Martin ? 1. La longueur de la façade est de 16 m (en utilisant le théorème de Pythagore). 2. aire = 12 × 16 + 16 × 12 ÷ 2 = 288 m² 288 × 85 = 24 480 Le prix du terrain est de 24 480€. 3. nouvelle aire = 288 – 1,8 × 16 = 259,2m² 85 × 259,2 = 22 032 Le prix pour la famille Martin est de 22 032 €. 20 minutes 6

Exercice 4.6 La piscine Niveau 4ème Une piscine olympique mesure 50 m de long sur 20 m de large et a une profondeur moyenne de 1,70 m. Combien de temps faut-il pour la remplir à l’aide d’une pompe dont le débit est de 7 500 L/h ? Le prix moyen de l’eau est de 4 euros pour 1 m3. Calculer le coût d’un remplissage de la piscine. 1. 50 × 20 × 1,70 = 1 700 Le volume moyen est de 1 700 m3. 1 700 ÷ 7,5 = 680 / 3 h = 226h + 2 / 3h = 226 h + 2 / 3 x 60 min = 226 h 40 min = 9 jours 10 h 40 min Il faut 9 jours 10 heures et 40 minutes pour remplir la piscine. 2. 1 700 × 4 = 6 800 € Le coût d’un remplissage de piscine sera environ de 6 800 €. Heureusement que la pompe ne fuit pas! 15 minutes 7 Situation simple de la vie courante. Grandeur quotient.

8 Exercice 4.7 Le prix de l’eau Niveau 4ème Une bouteille d’eau de 5 litres coûte 0,96 € et 1 m3 d’eau du robinet coûte environ 4 €. Comparer le prix de l’eau du robinet et de l’eau en bouteille. Chaque jour une personne doit boire 1,5 L d’eau. Calculer la différence de coût sur une année pour une famille de 4 personnes. 1. 0,96 × 1 000 ÷ 5 = 192 € 1 m3 d’eau en bouteille coûte 192 €. 196 ÷ 4 = 48 L’eau en bouteille est 48 fois plus cher que l’eau du robinet. 2. 1,5 × 4 × 365 = 2 190 Il faut 2 190 litres d’eau pour un an. En bouteilles 2 190 ÷ 5 = 438 Il faut 438 bouteilles par an. 438 × 0,96 = 420,48 Avec de l’eau en bouteilles, cela coûte 420,48 €. Au robinet 2 190 × 4 ÷ 1 000 = 8,76 Avec l’eau du robinet, cela coûte 8,76 €. La différence de prix est de 411,72 €. 15 minutes 8 Situation simple de la vie courante dans laquelle l’analyse d’un choix est nécessaire.

9 Niveau 4ème Exercice 4.8 Le camping La famille Martin décide de partir en vacances du 21 août au 3 septembre. Pour cela, elle choisit le camping « Le Beach Club ». Afin de préparer au mieux leurs vacances, la famille décide de calculer le coût du séjour au camping. Voici les tarifs en euros par jour : Forfait un emplacement, un véhicule et un branchement électrique : 25,00 € (pour deux personnes) Adulte supplémentaire et enfant de plus de 7 ans : 5,00 € Enfant (à partir de deux ans) : 3,50 € Chien : 3,50 € Location d’un réfrigérateur : 3,50 € Taxe de séjour : 0,22 € /personne et par jour (les enfants de moins de 13 ans en sont exonérés) Sachant que la famille comporte deux enfants de 6 et 15 ans et un chien, calculer le prix de leur séjour. Au moment de la réservation, Mme Martin apprend que le camping fait une promotion sur les séjours commençant après le 21 août : la deuxième semaine, le forfait est 50 % moins cher. Quel prix devront-ils payer pour leur séjour ? Sachant que la famille a payé 70 € de péage, parcouru 990 km, que la voiture consomme en moyenne 6,8 L pour 100 km et qu’un litre de gazole coûte 1,24 €, calculer le coût du voyage. En déduire le coût du séjour, transport compris. Sachant que leur budget vacances est de 1 300 euros, et qu’ils estiment leurs dépenses en nourriture à 32 euros par jour, que leur restera-t-il pour leurs sorties ? Quel est le coût d’une journée de vacances ? 25 + 5 + 3,5 + 3,5 + 3,5 + 3 × 0,22 = 41,16 41,16 × 14 = 576,24 Le prix du séjour est de 576,24 €. 41,16 × 7 + 28,66 × 7 = 488,74 Le prix du séjour est de 488,74 €. 3. 70 + 9,90 × 6,8 × 1,24 = 153,48 . 153,48 + 488,74 = 642,22 Le coût est donc de 642,22 €. 642,22 + 32 × 14 = 1 090,22 1 300 − 1 090,22 = 209,78 Il leur restera 209,78 € pour leur extras. 1 090,22 ÷ 14 =77,87 Ils dépensent donc 77,87 €/jour. 20 minutes 9

10 Exercice 4.9 Le camping (suite) Niveau 4ème Lorsqu’ils arrivent au camping, ils apprennent que les entrées à la piscine ne sont pas comprises dans le forfait. Les tarifs sont les suivants : Adulte : 4,40 € / carte de 10 entrées : 35 € Enfant - 16 ans : 3,10 € / carte de 10 entrées : 25 € Enfant - 4 ans : gratuit Piscine + balnéo : 8,80 € Le 22 août, la famille Martin désire s’y rendre. Quel tarif devra-t-elle payer, sachant que Mme Martin voudrait profiter de la balnéo ? Ont-ils le budget nécessaire pour s’y rendre quotidiennement ? 4,40 × 1 + 3,10 × 2 + 8,80 = 19,40 La famille devra payer 19,40 €. 2. 35 + 25 × 2 + 8,80 × 14 + 4,40 × 4+ 3,10 × 4 = 238,2 La famille n’a pas le budget pour s’y rendre quotidiennement. (On peut envisager le calcul sans la balnéo. Dans ce cas, le budget de la famille est suffisant : 180 €.) 10 minutes 10

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