Thalès de Milet ~624 à ~546 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Notes biographiques Thalès est né vers ~624 à Milet. Milet, colonie grecque d’Asie Mineure qui fait maintenant partie de la Turquie. Il est mort au même endroit vers ~546.

Notes biographiques Thalès est le premier philosophe et mathématicien grec connu. Aucun de ses ouvrages ne nous est parvenu et il est difficile de préciser avec certitude sa contribution aux mathématiques. Il est fréquent que les découvertes attribuées à un auteur grec le soient grâce aux commentaires d’auteurs ou aux écrits d’historiens de la même époque ou d’époques subséquentes. Thalès qui fut marchand durant la première partie de sa vie s’adonna aux voyages et à l’étude après avoir fait fortune. Au cours de ses voyages, il se familiarisa avec les mathématiques et l’astronomie égyptiennes et babyloniennes.

Astronomie Dans les civilisations égyptienne et babylonienne, les scribes rattachés aux temples devaient noter et conserver toutes les observations faites tant sur Terre que dans les cieux. Ils ont ainsi accumulé un grand nombre d’observations qui leur permettaient, par exemple, de prédire le retour des saisons. On attribue à Thalès la prédiction de l’éclipse de Soleil du 28 mai en ~585. Une telle prédiction, fondée sur les connais-sances acquises des Égyptiens et des Babyloniens, ne signifie pas nécessairement qu’il comprenait le phénomène de l’éclipse. En réalité, les observations accumulées par les prêtres pendant des siècles avaient permis aux Babyloniens de découvrir qu’il y a 223 lunaisons entre deux éclipses de Soleil, une lunaison étant l’intervalle de temps entre deux pleines lunes.

Géométrie Thalès en vint à considérer les figures géométriques comme des formes abstraites qui ont une existence et des carac-téristiques propres, ce qui lui permit de rechercher des propriétés générales de ces objets. Les figures géométriques considérées par Thalès et les propriétés qu’il leur attribue sont des abstractions obtenues à partir d’objets d’usage courant comme la roue et le triangle pour les formes, le fil à plomb des constructeurs pour les angles droits, le quadrant des astronomes pour la mesure des angles. Il est le premier savant auquel on attribue des découvertes mathématiques précises, ce sont les cinq propositions qui suivent.

Diamètre d’un cercle La roue a été d’une grande inspiration pour les premiers géomètres. Définition 1 Un cercle est une figure plane formée de tous les points à égale distance d’un point fixe. Proposition 1 Tout diamètre d’un cercle divise celui-ci en deux parties égales (congrues). La proposition, comme la définition, sont le résultat d’une abstraction. Il n’est pas simple d’imaginer une démons-tration pour cette proposition. C’est peut-être pour cette raison qu’Euclide a choisi de définir le diamètre comme une droite qui coupe le cercle en deux parties égales.

Triangle isocèle Définition 2 Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés égaux. Proposition 2 Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux. Pour démontrer cette proposition, il faut d’abord abaisser la hauteur. Puis, montrer que les triangles rectangles obtenus sont égaux, ce qui permet de conclure que les angles le sont également.

Angles opposés par le sommet Proposition 3 Les angles opposés par le sommet sont égaux. On démontre cette proposition en considérant que l’angle dont les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre est égal à deux droits. Lorsqu’une ligne droite tombant sur une ligne droite fait deux angles adjacents égaux, chacun des angles égaux est un angle droit; et la droite placée au-dessus est dite perpendi-culaire à celle sur laquelle elle est placée. Euclide, Les Éléments, Livre I, définition 10.

Triangles congrus Il est assez simple de constater qu’en donnant la longueur d’un côté et les deux angles adjacents, on ne peut construire qu’un seul triangle (qui peut être déplacé). Ce qui suggère la proposition suivante : Proposition 4 Deux triangles sont congrus lorsqu’ils ont un côté égal et deux angles congrus chacun à chacun. C’est le premier cas d’égalité (ou de congruence des triangles).

Angle inscrit Proposition 5 Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Pour démontrer cette propriété, il faut d’abord montrer que la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Il faut avoir préalablement établi que : Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux. À la limite, l’un des côtés de l’angle devient le diamètre et l’autre devient tangent au cercle. L’angle est toujours droit. L’angle dont les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre est égal à deux droits. La somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à deux angles droits.

Théorème de Thalès Un théorème de la géométrie porte le nom de Thalès, il s’énonce comme suit : Théorème de Thalès Toute droite tracée parallèlement à l’un des côtés d’un triangle déter-mine un nouveau triangle semblable au premier. À la limite, l’un des côtés de l’angle devient le diamètre et l’autre devient tangent au cercle. L’angle est toujours droit. Pour nous, les triangles semblables sont particulièrement utiles pour calculer des longueurs. Les grecs étaient surtout intéressés à la proportionnalité et ne semblent pas avoir utilisé cette caractéristique pour calculer des longueurs, ce qui les distingue des égyptiens et des babyloniens.

Distance d’un navire en mer On rapporte que Thalès apprit des Égyptiens comment mesurer la distance d’un navire en mer et comment mesurer la hauteur d’une pyramide. Il y a deux méthodes que Thalès aurait pu utiliser. La première consiste à avoir recours à une équerre pour construire des triangles semblables pour déter-miner la distance en utilisant les rapports des côtés.

Distance d’un navire en mer La deuxième méthode consiste à construire un triangle isocèle en utilisant un quadrant d’astronome, un fil à plomb et le théorème suivant : Dans tout triangle isocèle, la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice issus du sommet opposé au troisième côté coïncident. En reportant l’angle de visée, on construit un triangle isocèle formé de deux triangles rectangles dont les côtés homologues ont même longueur.

Distance d’un navire en mer En utilisant l’instrument de visée, on peut reporter sur la terre ferme la distance du navire en mer pour la mesurer. Pour éviter de mesurer chaque fois la distance terrestre, on peut poser des jalons à intervalles réguliers sur la terre ferme, ce qui constitue une règle graduée. Le report de l’angle de visée sur cette règle graduée permet alors d’estimer la distance du bateau en mer.

Hauteur de la grande pyramide Pour mesurer la hauteur de la grande pyramide Thalès aurait utilisé l’ombre d’une tige et l’ombre de la pyra-mide. Il faut cependant que certaines conditions soient satisfaites : La pyramide doit avoir une ombre qui déborde de sa base. Les rayons du Soleil doivent être perpendiculaires au côté de la base. À la latitude de la grande pyramide, il n’y a que deux jours dans l’année où ces conditions sont satisfaites, ce sont le 21 novembre et le 20 janvier.

Hauteur de la grande pyramide La méthode utilisée par Thalès fait appel à une représentation géomé-trique abstraite du problème. La tige en position verticale est une droite tracée parallèlement à l’un des côtés du triangle formé par la hauteur, le sol et la droite joignant le sommet de la pyramide à l’extrémité de son ombre. Cette méthode peut donc être considérée comme une application du théorème de Thalès.

Cosmologie Thalès a été le premier à tenter d’expliquer les phénomènes par des causes naturelles. Lorsqu’on veut expliquer la nature on est confronté à la question : « De quoi est constitué l’univers ? » Pour Thalès, l’univers est constitué d’eau, l’eau est le principe (constituant) de toutes choses. Il est difficile d’expliquer avec certitude comment lui est venue une telle conviction. Il est cependant facile d’observer les effets bénéfiques de la pluie sur les végétaux. On croit que, lors d’un séjour en Égypte, il a été témoin du débordement du Nil qui laissait dans les champs un limon fertile et qui marquait l’éclosion de la vie dans la vallée.

Cosmologie Thalès croyait que la Terre était plate et flottait sur une vaste étendue d’eau. Cela lui permettait, par exemple, de donner une explication des tremblements de terre ne faisant pas appel aux dieux. Tout comme un morceau de bois flottant à la surface de l’eau est secoué par les remous, la Terre peut subir les soubresauts de l’eau lorsque celle-ci est fortement secouée. On reconnaît dans cette tentative d’explication une recherche de causes naturelles. Les enseignements de Thalès ont été critiqués par ses contemporains. Ainsi, compte tenu de l’antagonisme de l’eau et du feu, il est difficile de concilier l’existence du feu avec la théorie selon laquelle tout est constitué d’eau.

Conclusion La recherche de causes naturelles aux phénomènes n’existait pas avant Thalès. Dans les poèmes d’Homère: l’Illiade et l’Odyssée, les phénomènes naturels ne sont pas expliqués par des causes naturelles mais par des mythes et des légendes. Les éclairs, le tonnerre, les changements de saison sont expliqués par les interactions entre dieux et déesses et entre les hommes et les dieux. Thalès a cherché des explications basées sur des principes physiques intelligibles. Sa théorie de l’univers constitué d’eau peut sembler farfelue mais elle est la première tentative d’explication des phénomènes physiques par des causes naturelles. Cette théorie a suscité une réflexion, un débat, ce qui est le propre d’une théorie qui peut être analysée, critiquée et remodelée.

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