Stage de circonscription Capesterre Belle Eau, 27-28-30 novembre 2006 Fractions et décimaux Stage de circonscription Capesterre Belle Eau, 27-28-30 novembre 2006

Pourquoi les fractions en relations avec les décimaux? Construction historique des nombres décimaux. 2,43 est construit comme 2 unités 4 dixièmes et 3 centièmes ou 2 + 4/10 +3/100

Un constat : les évaluations 6ème Collège Saint-Ruf Mathématiques 50,3 Connaissance des nombres (27) 42,9 Designer par écrit des nombres entiers naturels 76,7 Comparer des nbres décimaux et utiliser les signes inf et sup (4) 17,7 Utiliser et écrire des fractions 41 Connaître et utiliser des écritures fractionnaires et décimales de certains nbres (1) 13,7 Connaître et utiliser certaines relations entre des nbes d'usage courant 44,4 Designer par écrit et utiliser des nombres décimaux 40,8

Les fractions

L’intérêt des fractions Quel cadre ? Impossibilité de représenter une quantité par un nombre.

Les limites des travaux sur les fractions à l’école primaire. Enseignement limité au sens : pas de techniques automatisées. ‘La seule raison d’être des fractions à l’école primaire, c’est d’aider à la compréhension des décimaux’ (R. Charnay) Quelle représentation de 5/3 ? Un seul sens à l’école primaire : 5 fois 1/3

Les difficultés rencontrées par mes élèves. Sur les fractions Le sens Les relations d’ordre (comparaison) Les calculs

Le sens des fractions Les faux amis : la tarte Les élèves raisonnent sur une part de tarte comme une entité. Préférer les travaux sur les aires ou les longueurs. Articulation langage-concept : importance du lexique. Ex : 4 tiers et 2 tiers = 6 tiers…. Sans savoir ce qu’est un tiers!

Les relations d’ordre A construire physiquement (situations auto–validantes) Anticipation d’un résultat puis vérification. Ex : bandes de différentes longueurs. Utiliser la bande numérique Travaux d’encadrement des fractions par des entiers

Les calculs Light : se limiter aux cas simples Décomposition en somme d’entier et de fraction Reconstruction du 3/3=1 à partir de la définition du tiers Tartes de nouveau envisageables ici ! (bien que…)

Les décimaux

L’intérêt des nombres décimaux Quel cadre historique? Nécessité d’une précision accrue.

Les décimaux Révélateur de l’enseignement ‘à coup de règle’ (R. Charnay) Enseignement de recettes Pas de travail sur les fondements Mélanges et interférences Un exemple : 23,4x100=2340 Quelles justifications?

Les décimaux Règle ‘du zero’ : ne marche pas! Règle de la virgule : ne marche pas non plus! Seules les stratégies basées sur le sens fonctionnent Chaque terme de la décomposition est 100 fois plus grand 2 dizaines deviennent 2 milliers. 3 unités deviennent 3 centaines. 4 dixièmes deviennent 4 dizaines. La virgule ne bouge pas, ce sont les chiffres qui changent de classe! On ne prend pas appui sur des règles formelles mais sur des stratégies

Les difficultés rencontrées par mes élèves. Sur les décimaux La comparaison, l’ordre La signification de chaque chiffre Les calculs sur les décimaux La résolution de problèmes nécessitant les décimaux.

Une remarque Des erreurs qui persistent

L’interprétation des erreurs La juxtaposition des parties entières et décimales Les pratiques ‘courantes’ : 1,52 euros, c’est toujours 1 euro et 52 centimes. Il n’y a pas de décimes! Mêmes choses pour les unités de longueur si on utilise les sous-multiples. ‘Fausse symétrie’ / virgule…. Ex : 123,48 L’idée de nombre suivant persiste Proposer une activité.

L’origine des erreurs Pratiques sociales Construction ‘physique’ impossible : les décimaux sont construits mentalement. ‘Règles’ de comparaison sur les entiers trop proches…. Mais non applicables! Préférer la comparaison terme à terme à la normalisation des longueurs de partie décimale. Un exemple d’activité de comparaison