Démarche dexperts en résolution de problèmes. © R. & M. Lyons Janvier 2010

Quest-ce quun problème ? Cest un ensemble déléments parmi lesquels ressortent des données initiales, un état final à atteindre et un obstacle.

Comment résoudre un problème ? Lorsque lon observe les méthodes des experts, on constate certaines étapes et certaines stratégies qui sont peu ou moins présentes chez les novices.

Voici ces étapes et stratégies. 1.Assimiler le contexte en mettant de côté les données particulières du problème; 2.Déterminer la classe de problèmes dont fait partie le problème posé; 3.Déterminer des éléments de vérification qui serviront lors de lélaboration de la solution; 4.Faire des pauses dévaluation régulièrement.

RAPPEL Les étapes et stratégies qui viennent dêtre mentionnées ne sont pas les seules à intervenir, ce sont celles qui sont négligées par les novices.

1 ère étape a) Assimiler le contexte du problème. Par exemple, il sagit dun problème de budget. Quest-ce quun budget ? Quel est son rôle ? Qui lutilise ? Quels en sont les éléments ? Comment ces éléments sont-ils reliés entre eux ?

1 ère étape b) Construire la «carte» du problème. Il sagit darticuler les éléments du contexte entre eux. Cela est réalisé sous la forme dun organigramme.

Le problème de départ Les revenus mensuels dune famille sélèvent à $. Ses dépenses fixes sélèvent à 3500 $. En frais de nourriture, elle dépense entre 850 $ et 1100 $; en frais de transports, entre 300 $ et 450 $; les autres dépenses varient entre 500 $ et 630 $. Ses REER coûtent 400 $ et ses placements sont de 200 $. Cette famille réussit-elle à «boucler» son budget ?

Classe du problème Il sagit de déterminer si les sommes disponibles excèdent les dépenses fixes, les dépenses variables et le total des épargnes fixes. Si cest le cas, il y aura des sommes disponibles pour les placements et les épargnes occasionnelles. Dans le cas contraire, il faudra réduire les dépenses variables ou les épargnes occasionnelles seront négatives, grugeant la réserve bancaire.

Les étapes de la solution 1.Insérer les données connues dans la «carte» du problème. En fait, il y aura 2 cartes, une tenant compte des dépenses variables minimum et lautre des dépenses variables maximum.

Les étapes de la solution 2. Effectuer les calculs suivants pour chacune des «cartes» de la solution : -A) Somme de la colonne des revenus; -B) Somme des colonnes de dépenses; -C) Additionner B au montant des REER et des placements; -D) Faire la différence entre A et C.

Calculs à partir de la carte A A)Revenus : 6000 $ B)Dépenses : 3500 $ $ $ $ = 5150 $ C) 5150 $ $ $ = 5750 $ D) A – C = 6000 $ $ = 250 $ Il y a une épargne occasionnelle de 250 $.

Calculs à partir de la carte B A)Revenus : 6000 $ B)Dépenses : 3500 $ $ $ $ = 5680 $ C) 5680 $ $ $ = 6280 $ D)A – C = 6000 $ $ = -280 $ Les dépenses excèdent les revenus. Lépargne occasionnelle sera négative, donc il faudra puiser dans les réserves ou réduire certaines dépenses.

Points de vérification 1. Chaque item du budget est-il correctement pris en compte ? 2. Le total de chaque colonne est-il correct ? 3. A-t-on fait la somme des totaux des colonnes du centre ? 4. A-t-on additionné à (3) le montant des REER et celui des placements ? 5. La différence entre le total des revenus et (4) a-t-elle été établie ? 6. Les résultats des divers calculs sont-ils réalistes par rapport à une estimation rapide ? 7. Lorsque le budget aura été balancé, la somme des revenus est-elle égale à la somme des 3 autres colonnes ? (NOTE : Si le budget nest pas «bouclé» les épargnes occasionnelles seront négatives.)

Voici les cartes A et B complètes.

Vérification finale de la carte A Somme des 3 dernières colonnes : 3500 $ $ $ = 6000 $ Ce qui correspond aux revenus disponibles.

Vérification finale de la carte B Somme des 3 dernières colonnes : 3500 $ $ $ = 6000 $ Ce qui correspond aux revenus disponibles.

Prenons un autre exemple Deux personnes se partagent 520 $. Sachant que la première personne reçoit 50 $ de plus que la seconde, quelle somme reçoit chaque personne ?

A et B sont les 2 personnes. Elles se partagent de façon inégale une somme dargent. Une personne aura donc plus que lautre personne. a) Assimiler le contexte du problème. 1ère étape

b) Construire la «carte» du problème. A B

Classe du problème Il sagit de déterminer ce que recevront deux personnes à partir du partage inégal dune certaine somme dargent. Il y aura donc 3 parts, deux seront égales et la 3 e représentera la différence entre ce que chacun recevra. La somme des 3 parts étant égale à la somme à partager.

Rappel du problème Deux personnes se partagent 520 $. Sachant que la première personne reçoit 50 $ de plus que la seconde, quelle somme reçoit chaque personne ?

Les étapes de la solution 1.Insérer les données connues dans la carte du problème. A B 50 $ 520 $

Les étapes de la solution 2. Soustraire le montant qui représente la différence entre les 2 parts de la somme à partager. 3. Diviser la somme obtenue en (2) en deux parties égales. 4. Insérer le nombre obtenu en (3) dans chacun des deux carrés. 5.La part de A est maintenant connue. 6. Trouver la part de B en additionnant ce quil y a dans les deux figures de droite. 7. Vérifier si la somme à partager est égale au total des 2 parts.

Les étapes de la solution $ - 50 $ = 470 $ $ ÷ 2 = 235 $ 4. Insérons 235 $ dans la carte.

Les étapes de la solution 4.Insérer les nouvelles données dans la carte du problème. A B 50 $ 520 $ 235 $

5. A recevra 235 $. 6. B recevra : 235 $ + 50 $ = 285$. Les étapes de la solution

Validation de la solution 7. La somme des parts, soit 235 $ $ = 520 $. 520 $ était exactement la somme à partager. La solution est valable.

Voici un 3 e problème La somme de deux nombres est 22 et leur produit est 105. Quels sont ces nombres ?

1 ère étape a)Assimiler le contexte du problème. Cette fois, il ny a aucun contexte concret. Cependant, il faut pouvoir se donner une image mentale qui guidera la résolution du problème en permettant détablir la carte du problème.

1 ère étape a)Assimiler le contexte du problème. Il faudra faire preuve de créativité afin de voir à quoi peut correspondre un tel énoncé dans notre environnement. Cela est loin dêtre évident mais essentiel si nous voulons que les maths aient du sens.

1 ère étape a)Assimiler le contexte du problème. Lénoncé mentionne le produit de 2 nombres. Dans ce cas, ces deux nombres peuvent représenter les côtés perpendiculaires dun rectangle et le produit représente laire du rectangle.

1ère étape b) Construire la «carte» du problème. A B Produit

Classe du problème Il sagit de construire un rectangle dont laire est connue ainsi que la somme des longueurs de sa base et de sa hauteur.

Les étapes de la solution 1.Insérer les données connues dans la «carte» du problème.

1ère étape b) Construire la «carte» du problème. A B 105 A + B = 22

Les étapes de la solution 2.Trouver les facteurs du produit. 3.Séparer ces facteurs en deux groupes. 4. Faire le produit des facteurs de chaque groupe. 5. Prendre le cas où la somme des produits est égale à la somme des deux nombres recherchés.

= 3 × 5 × A : {3, 5} B : {7} ou.2 A : {3, 7} B : {5} ou Les étapes de la solution.3 A : {5, 7} B : {3} ou.4 A : {3,5, 7} B : {1}. 4.1 A = 15 B= A = 21 B = A = 35 B= A = 105 B = 1

Les étapes de la solution 5. Seule la solution 4.1 a pour somme 22. Les nombre 7 et 15 sont ceux que nous cherchons.

Validation = 22 et 7 × 15 = 105 Les réponses respectent les données. Elles sont correctes.