Géométrie et topologie en cosmologie relativiste J.-P.Luminet Observatoire de Paris (LUTH)

Les 4 niveaux de la géométrie ?

problèmes indépendants de la métrique géométrie différentielle métrique : locale topologie non métrique : globale Problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736) : Géométrie de position • Topologie • Théorie des graphes problèmes indépendants de la métrique

différentes topologies même topologie différentes métriques même métrique différentes topologies même topologie différentes métriques Genre 0 Genre 1 Genre 2

Homotopie & degré de connexité Classes d’équivalence des lacets = groupe d’homotopie G Genre 0 G(S2) = Id G(T2) = G(S1) + G(S1) = Z + Z

Sphère Tore Bretzel domaine fondamental holonomies a,b G g G Revêtement universel S2 (k>0) E2 (k=0) H2 (k<0)

pavage du plan hyperbolique Double tore 2 trous -> 8 côtés (octogone) Pavage de H2 par des octogones (Poincaré) Cliquer 3 fois UC = H2

Espaces multiplement connexes M = X/G X : espace de revêtement universel => H 3, E 3, S 3 pour la cosmologie G : groupe d’holonomies sous-groupe discret sans point fixe du groupe d’isométries G de X

Classification des surfaces 5 surfaces euclidiennes E2 + 4 MC

2 pavages du plan euclidien Tore bouteille de Klein Dom. fondamental Groupe d’holonomie Cliquer3 fois. Isotropie globale brisée. Homegénéité globale conservée pour le tore, brisée pour Klein homogène non Revêtement universel

∞ surfaces hyperboliques (nombre de trous) 2 surfaces sphériques ∞ surfaces hyperboliques (nombre de trous)

Classification des espaces homogènes 3D • Espace de revêtement universel X • Polyèdre Fondamental FP • Groupe d’holonomie G E3, S3, H3 M=X/G

Espèces d’Espaces Espaces Euclidiens (« plats ») : 18 formes finis et infinis Espaces Sphériques : infinité dénombrable tous finis Espaces Hyperboliques : infinité

Espaces euclidiens (« plats ») G : translations, réflexions U.C : 0 direction compacte - 1 forme E3 Table : 1 direction compact - 2 formes Cheminée: 2 directions compactes - 5 formes Compacts: 3 directions compactes - 10 formes

2 Espaces « tabulaires »

5 Espaces « cheminée »

6 Espaces Compacts Orientables 4 Espaces Compacts Non-Orientables

Espaces hyperboliques X  H 3 G = PSL(2,C) (Weeks) Plus petit espace connu : Espace de Weeks (vol(M) = 0.92 R3) • Infinité de tels espaces • Pour les espaces hyperboliques compacts : Classification par volumes croissants

Espaces sphériques X  S 3 G = SO(4) G = (Zp, Dm*, T*, O*, I*)

Espaces sphériques U.C. S3 Espaces lenticulaires S3/Zp Espaces prismatiques S3/Dm Espaces polyédriques S3/T*, S3/O*, S3/I*

Espaces lenticulaires p tranches L(p,q), q <p/2 q pavages de l’hypersphère avec p lentilles L(p,3) L(p,1) L(p,2)

Espace dodécaédrique de Poincaré 120 copies pavent S3

©Jeff Weeks

geometry = matter-energy Gij = k Tij geometry = matter-energy ds2 = gij dxixj Spacetime metric ==> does not specify global properties of spacetime

2. Friedmann-Lemaître solutions 2 Examples 1. Kerr black holes Cliquer pour faire apparaitre E3, S3, H3 M4 = R  M 2. Friedmann-Lemaître solutions simply-connected E3, S3, H3 ?

L’espace est-il fini ou infini?

Cosmology Topology 1687 Newton : E3 1885 Fedorov : subgroups of E3 1890 Clifford-Klein : subgroups of S3 1900 Schwarzschild: E3/G = T3 1906 Poincaré: S3/I* Einstein to Weyl, 1918 : « I have an obscure feeling that spherical space must be preferred to elliptical space; the latter has a class of loops which cannot be continuously stretched to zero, it is why I like it less » 1917 Einstein: S3 1917 De Sitter: S3/Z2 = P3 1922 Friedmann : S3 1924 Friedmann : H3, H3/G 1927 Lemaître : P3, H3 1929 Robertson : S3, E3, H3 1931 Einstein-de Sitter: E3 1930-32 Threlfall-Seifert : S3/G 1934 Nowacki : E3/G 1960 Wolf : E3/G, S3/G 1971 Ellis: « small universe » M/G 1978 Thurston, Fomenko, Weeks: H3/G

Concordance model CMB • Espace « plat » infini (monoconnexe) (k = 0) •Densité d’énergie : Wtot = 1.00 (Wm = 0.28, WL = 0.72) • Expansion accélérée Concordance model Inflation => scale invariant density fluctuations CMB NOW

Quelle est la taille et la forme de l’espace ? Hypothèse 3 L’univers est fini (sans bord) et plus petit que l’univers visible T G Horizon T G Horizon Infini Hypothèse 1 L’univers est infini Hypothèse 2 L’univers est fini (sans bord) mais plus grand que l’univers visible T G Horizon Pas testable Peut-être testable Testable

Hypersphère : espace fini sans bord Sphère = Surface (2D) d’un volume (3D) sphérique Hypersphère = Surface (3D) d’un hypervolume (4D) Lignes droites

A finite flat space without boundary Torus Cliquer3 fois. Isotropie globale brisée. Homegénéité globale conservée pour le tore, brisée pour Klein

Effet de mirage topologique Si le rayon d’injectivité de l’espace est plus petit que l’échelle d’observation, on doit observer des images multiples d’une même source. Ex.: Espace de Weeks zmax ~ 3 for galaxies zmax ~1100 for lss Cliquer : zmax. Cliquer : Weeks

Hypertore Espace réel Espace observé

Les images fantômes sont vues à différents époques (différents z)

Spatial Scales Topological scales Curvature radius Euclidean spaces : no curvature scale size of E3/G arbitrary Hyperbolic spaces : 0.166 Rc3 < vol(H3/G) ≤ ∞ Spherical spaces : 0 < vol(S3/G) ≤ vol(S3) = 2p2Rc3 (Rigidity theorem) r+ r+ = outradius = smallest sphere circumscribable around the FP r- r- = inradius = largest sphere inscribable in the FP rinj rinj =injectivity radius = half the smallest geodesic from one topological image to another

How to see topology? 3D data (q,f,z) (galaxies, clusters) Cosmic Crystallography 2D data (CMB) dT/T(q,f) at z ~ 1100 Statistical analysis of anisotropies

Comment détecter les images topologiques ? reconnaissance directe problèmes : évolution, morphologie, angle-de-vue corrélations statistiques idée : les séparations (distances dans l’espace observable) entre les images multiples d’une même source sont des combinaisons simples des longueurs caractéristiques du polyèdre fondamental  Pics dans un Histogramme de Séparations de Paires (PSH)

Cosmic Crystallography

Cosmic Crystallography: Simulations Sky map simulation in hypertorus. The F.P. is a cube with length = 60% the horizon size and contains 100 « original » sources (red dots). One observes 1939 topological images (blue dots). Pair Separation Histogram. Spikes emerge at values and with amplitudes depending on topological lengths and holonomies.

Premières images fantômes à z ~ 2 PSH in Poincaré space Premières images fantômes à z ~ 2

Rayonnement fossile : Carte WMAP, 2003 T = 2,726 K - fluctuations à 0,00001 K

Chladni Patterns Hypergeometric series, Euler, 1769

Cosmic Microwave Background Observed on a 2-sphere Multipole moments Cliquer sur cosmic drumhead. Revenir en arrière.

The l = 0 term is often called the monopole term, and corresponds to the surface of a completely smooth and featureless sphere. In terms of the CMB, the monopole term is the 2.726 Kelvin microwave background, which is uniform out to a few milliKelvin.

The l = 1 term is called the dipole, and corresponds to a sphere with one part more positive than average and the other more negative. In terms of the CMB “positive” means warmer than background, and “negative” means cooler. The dipole variation of the CMB is approximately +/- .003 Kelvin, relative to the monopole term, and is a relic of our movement relative to the CMB, and not cosmological in origin.

The CMB multipoles Quadrupole

Power spectrum dTl2 = l(l+1)Cl/2p l=180°/q Doppler peaks (Boomerang, Archeops, etc.) l=180°/q Large scales (COBE, WMAP)

WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003) •Universe seems to be positively curved W = 1.02 ± 0.02 at 1 s flat infinite universe Coupure spatiale ==> Espace fini ==> Problème pour l’inflation (nombre de e-foldings limité)

Horizon 2-sphere radius 46 Gly L’espace est-il « presque » plat?? Curvature Radius: Horizon Radius: Wtot = 1.02 (Wm =0.28) Horizon 2-sphere radius 46 Gly us Curvature radius (UC space S3) radius 98 Gly

WMAP power spectrum (Bennett et al., Spergel et al. 2003) flat infinite universe Coupure spatiale ==> Espace fini ==> Problème pour l’inflation (nombre de e-foldings limité) • Lack of power at large scales (> 60°) L’espace est fini et a une forme précise !

quadrupole plane and octopole planes aligned with local planes « Low l anomalies » flat infinite universe LCDM l = 2 quadrupole : 14% l = 3 octopole : 72% Coupure spatiale ==> Espace fini ==> Problème pour l’inflation (nombre de e-foldings limité) quadrupole plane and octopole planes aligned with local planes l=2 l=3 error bars: 762 mK2 608 mK2

Possible explanations Not reliable : Cosmic variance, bad data analysis (“I never believe anything less than a 5 s result”) ==> wait for 2nd WMAP release… 2005? Low l alignements : Solar system effect (Schwarz et al. 2004; Hansen et al. 2004) ==> cosmic quadrupole could be still lower! Reliable : A special feature in the inflation potential (“Inflation can do everything”) ==> no physical model Reliable : Other new physics/geometry, e.g. space is finite and cannot vibrate at scales larger than its size ==> non trivial topology!

Cosmic Microwave Background Origin of primordial fluctuations Density fluctuation + Gravitational potential = Sachs-Wolfe term Line of-sight: Integrated Sachs-Wolfe effect SW : fluctuations intrinsèque + grav. Redshift Doppler : mouvement du plasma émetteur - ISW : perturbations du photon le long de la trajectoire Motion of plasma: Doppler effect

Simply-connected flat space SW+D+ISW Simply-connected flat space Cut-off at large scale in cubic torus RWULL: Phys.Rev.D69 (2004),

Simply-connected spherical space Multiconnected spherical space (PDS) Aurich et al. MNRAS (2005)

Poincaré Dodecahedral Space S3/I*  vol(PDS) = vol(S3) /120 Fundamental Polyhedron Twist : 36° from inside LWRLU, Nature 425, 593 (2003)

The « football Universe » 36° Luminet et al., Nature, 2003

variation of quadrupole (l=2) and octopole (l=3) with W Comparison to Cl data Power spectrum for l = 2,3,4 W0=1.016, Wm=0.28) variation of quadrupole (l=2) and octopole (l=3) with W Best fit: W = 1.016 (Wm=0.28)

Spectre de puissance simulé (Dodécaèdre de Poincaré – W0=1,02 – kmax=1500) Sachs-Wolfe l(l+1)Cl Doppler Total ISW l

Spectre de puissance simulé WMAP L-CDM l(l+1)Cl PDS l

L’espace dodécaédrique en « 2D » Espace physique Rayon = 43 milliards a.l. Univers observable Rayon = 53 milliards a.l. Volume(Espace) = 80 % Vol(Uobs) ! Mirage cosmique !

Nearly Flat Spherical WP Spaces Recall : Wtot = 1.054+0.048-0.041 => k =+1

Espace tétraédrique (Wtot > 1.025) Espace octaédrique (Wtot > 1.015)

PDS predictions Planck Surveyor WMAP? fit low quadrupole fit low octopole  < Wtot < 1.02 Planck Surveyor Volume(PDS) = 80 % Vol(Rh) ==> topological lensing Six pairs of back-to-back matched circles twisted by p/5 Angular diameter ≤ 35° WMAP?

Circles in the sky Pairs of Matched Circles If Size of Space smaller than Rlss: The lss surface overlaps Pairs of Matched Circles Cornish, Spergel & Starkman, 1998

Chercher des cercles dans le ciel ! Paire de cercles Chercher des cercles dans le ciel !

Matching is perfect (Sachs-Wolfe term alone) « left » duplicate « right » duplicate Size of torus Matching is perfect (Sachs-Wolfe term alone)

Pairs of circles in computed PDS map For W = 1.02 (Caillerie et al. 2005)

Search for matched circles General 6 parameters search Location of first circle center (2) Location of second circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1) Search cost WMAP : 3.106 pixels : full search takes 1023 operations => 10 million years on the computer! Reduced 4 parameters search (back-to-back circles) Location of first circle center (2) Radius of the circle (1) Relative phase of the two circles (1)

Number of Circles depends on the size of space and topology No circles A few circles many circles

Size of circles decreases as vol(PDS) increases Best fit LWRLU PDS excluded if Wtot < 1.009

Testing PDS with WMAP observations Prediction of PDS : Six pairs of back-to-back matched circles twisted by p/5 Angular diameter ~ 35° Cornish et al (Phys Rev 2004): No Roukema et al (Astron. Astrophys. 2004): Yes Aurich et al (MNRAS 2005): Yes? Search for circles:

Simulation in a flat torus Cornish et al., 2003 WMAP data Simulation in a flat torus spikes No signal Simply-connected space Search for circles > 25° Back-to-back circles are NOT a generic situation

If space is not homogeneous, circles are not back-to-back Back-to-back Circles? If space is not homogeneous, circles are not back-to-back Example : Klein bottle

Position of matched circles depends on observer’s position Half-turn flat space, the observer moves from (0,0,0) along x-direction

Location and size of circles Roukema et al., 2004 Location and size of circles Matched temperatures Found 6 pairs of matched circles in a dodecahedral pattern Radius of circles 11 ± 1° => Wtot = 1.010 ± 0.001 (for Wm = 0.28 ± 0.02)

Aurich, Lustig, Steiner, MNRAS 2005 Hint for 6 pairs of matched circles at Wtot = 1.015

(Uzan, Ellis & Kirchner 2003, Linde 2003) Problem for inflation ? Standard models of inflation predict 1-W << 1 and size of space L >> Rlss Can we have inflation with W >1 and L >~ Rlss ? (Uzan, Ellis & Kirchner 2003, Linde 2003) During inflation, a(t) = a0 exp(Ht) W ~ 1.1 ==> Ne-foldings ~ 60 (“low scale inflation”) Problem : fine-tuning

Quantum origin of topology? Quantum cosmology Classical GR Theorem: No topological change after Planck era ==> present-day topology is a remain of the quantum era Brane cosmology

Sum over topologies Wavefunction of the universe : Wheeler-De Witt equation H(3g,F) + R  = 0 superspace universe worldline (3g) = 3-geometry Closed spaces are favoured S3 is the only closed simply-connected manifold multiconnected closed spaces favoured Zeldovich, Starobinsky, Goncharov, Bytsenko, Fagundes, Linde (2004) Sum over topologies dominated by small volumes and complex topologies (Carlip, 1993)

Dimensions supplémentaires Supercordes, théorie branaire corde fermée (10 ou 11 dim) corde ouverte

Estampe XVIIe s., BnF