Le théorème d’échantillonnage impliqué dans la Conversion Analogique-Numérique 2. Le théorème d’échantillonnage impliqué dans la Conversion Analogique-Numérique Les effets de l’ échantillonnage: – Relation ‘étrange’ entre les périodes analogique-numérique. – Fréquences ‘fantômes’ « Images-alias » Reconstruction des signaux analogiques –CNA Préalables essentiels : Fourier (OL3) 2 ème partie SE4a: Modulation SE4b CNA, CAN, PLL MC SE5: Filtrage numérique (en S4) SE4a: Traitement numérique des signaux [Digital Signal Processing [DSP]] Traitement numérique des signaux [Digital Signal Processing [DSP]]:  1  1CM + 2TD + 2 TP (SciLab) TP: TE,PL  Contrôle: 1DS [1H] + 1 DM + 1CR-TP Les éléments d’une chaîne DSP: 1. Les éléments d’une chaîne DSP: CAN– Processeur [DSP] - CNA (Filtre de reconstruction) TE1

x (t) x (t): t Signal analogique Échantillonneur + Codeur numérique 1 e e T f  CAN Reconstruction Analogique CNA FPBas y(t) t analogique x (nT e ) numérique x (nT e ) nT e TeTe + Composantes HF générées par l’échantillonnage  DSP : Programmé pour réaliser un filtrage numérique: Ex: y[n] = b 1 x[n-1] + b o x[n] FPB avec f coupureDSP =300Hz, + les HF  CNA  FPB: pour reconstruction analogique par atténuation des HF  y(t)= cos(2  200t). Ex: x(t) = cos(2  200t) + cos(2  400t) et f e =Fréquence d’échantillonnage=1kHz Sa f coupure est fixée à la fréquence de Nyquist : ½f e Pourquoi ? [MC-SE5] Où b i décrivent le type de filtrage et f coupures TE2 La chaîne DSP et ses Composants µP,µC, DSP , y (nT e ) Filtrage Numérique MC SE5 numérique y(nT e ) nT e x[n]=x(nT e ) n=0,1,2..  CAN: Passage analogique-numérique: Remplacer t par nT e : t: temps continu nT e : … discrets

Les traitements analogique et numérique … +5V -5V v in vout R1 2.2k R2 10k C2 6.8n C1 1n R3 16k C3 10n  Filtre analogique: Son gabarit [f c3db,Gain, pente] défini par R,C,AO.. Tout un circuit à revoir pour le modifier..  Filtrage numérique: Des lignes d’un programme à corriger selon le gabarit demandé.. Ex: y[n] = b 1 x[n-1] + b o x[n] b i à modifier Domaines d’application: Filtrage, Régulation (CJ, CA), Variateurs de vitesse (FH), Compression de Et,la liste est infinie.. données( FC, EB),Traitement d’image.. Et, la liste est infinie..! TE3 Rappel: cos(  +2k  ) = cos(  ) t = nT e est rationnel ( k, N o entiers)  ee f fofo NoNo k k2 f fofo NoNo 2 Les effets de l’échantillonnage 1.Période N o d’un x[n] numérique x( t) = cos(2  f o t) s(t) t TeTe  Échantillonneur 1 e e T f = x(t ) t x[n ] n T e >>  signal d’échantillonnage Ex: x(t) = cos(2  400t) échantillonné à f e = 1kHz t(ms) T o =2.5ms ToTo T e =1ms x(t),x[n] rationnel k=2,N=5  N o = 5 échantillons sur 2 cycles de x(t)  x[n] = x[n + N o ]

Etudions y(t) de fréquences [ f o + mf e ] où m= 0,  1,  2 … x[n]=cos(2  nf o T e )  x(t) = cos [2  f o t] t  nTet  nTe  y(t) = cos[2  (f o +mf e )t] t  nTet  nTe = cos(2  nf 0 T e ) = x[n] !y[n] = cos(2  f o nT e + 2  mnf e T e ) Rappel: cos(  2k  ) = cos(  ) cos(  ) = cos(-  ) f e T e = 1 x(t)  y(t) mais leurs échantillons sont identiques: x[n]=y[n] ! Conclusion: 2 ème Effet: Quel est le spectre X n (f) de x[n] ? : Fréquences Images m=1: f e ±f o = 1000 ±200 = 800, 1200Hz Ex1: f o =200Hz et f e =1000Hz: t ms 2 200Hz800Hz 1200z Conclusion Intuitive : Le spectre X n (f) contient mf e ± f o Où m = 0,  1,  2 … TE4 m=2: 2f e ±f o = 2000 ±200 = 1800, 2200Hz m=3…… Spectre X n (f) de x[n] Echantillonnage 2f e +f o m=2 2f e -f o 2f e Spectre X(f) de x(t) -f0-f0 f0f0 f |x(f)| ½ ½ fefe fe+fofe+fo f e -f o fofo f o m=1 fefe ..m suite suite m..  -f e -(f e -f o ) -(f e +f o ) m=-1 x n (f) f fofo -f o m=0 x(f) Images

2f e f | X n (f)| f max -f max X(f) TE5  X(f) est borné à ±f max «Band limited Signals » |X(f)| f f max -f max approché par X n (f)= X(f) + toutes les fréquences de X(f) translatées par mf e Expression approchée de X n (f): -f e X(f+f e ) Translation par -f e f e +f max f e -f max fefe X(f-f e ) Translation par f e -(f e -f max )-(f e +f max ).. m suite suite m.. X n (f) =… + X(f+2f e ) + X(f+f e ) + X(f) + X(f-f e ) + X(f-2f e ) +.. x(t) X(f) f max =5kHz TF Ex2: Le spectre de x[n] d’un signal de voix (ou musique) x(t) une infinité de sinusoïdes x(t) Echant. + CAN x[n] fefe DSP: CD player x[n] f coupure = ½f e CNA  FPB Filtre de reconstruction y(t)=x(t) H(f) Reconstruction analogique CNA- FPB : x[n]  x(t) | X(f)| f f max - f max H(f)  ½f e -½f e  Le CNA-FPB atténue les images HF  y(t)=x(t)= signal audio retrouvé sans déformation.. -½ f e +½ f e Intervalle Nyquist  Pas de repliement entre les spectres voisins  Signal non déformé. Si f e -f max  f max  f e  2f max Translation par -2f e 2f e +f max 2f e X(f-2f e ) Translation par 2f e -2f e X(f+2f e ) -(2f e +f max )

f e < 2f max  Etudions le cas f e -f max < f max  -½ f e +½ f e =f coupure CNA Intervalle Nyquist f max -f max -2f e X(f) f e -f max -(f e -f max ) | X n (f)| -f e fefe 2f e -f max X(f+2f e )X(f+f e ) X(f-f e ) X(f-2f e ) f e +f max f X(f-2f e ) 2f e X(f-2f e ) X(f+2f e ) Repliement Observations quand f e < 2f max  Repliement «aliasing» dans l’intervalle de Nyquist: - X(f-f e ) et X(f+f e ) pénètrent dans X(f) et le déforment. x(t) anlogique peut être reconstruit à partir de ses x[n] s’il est échantillonné à f e > 2f max,x((t) |X(f)| f -½ f e +½ f e Intervalle Nyquist Y CNA (f) +½ f e f max -f max 0  Y CNA (f)  X(f) dans -½ f e < f < ½ f e Conclusion: L’énoncé du théorème d’échantillonnage de  y(t) CNA  x(t)  La f coupure CNA est fixée à ½ f e pour atténuer les «Images-Alias» Valeurs typiques de f e 40k20k audio(musique) 8M4M vidéo 4k2k mécanique 8k4k voix 2k1k biomédicale 1k0.5k géophysique fefe f max Application TE6 Shanon. CAN fefe y(t) DSP-CD CNA H(f) x(t) x[n]

f   X n (f) x(t)  x[n] t ms TeTe f e = f e = f e = y(t) =x(t) à 100Hz t ms Conclusion: L es fréquences «images» sont atténuées par le CNA-FPB: TE7  Ex: x(t)=cos(2  f o t) f |Y CNA (f)| ½fe½fe -½ f e H(f) CNA Spectre X(f) de x(t) 100 f |x(f)| ½ ½ -100 f o = 100Hz, f e = 400Hz ; Pas de repliement : y(t) = x(t) Vérifions. Y CNA (f) = X(f)  y(t) = x(t) retrouvé sans déformation.. 2f e fefe f e -2f e 100 x n (f) -100 f fofo -f o ½fe½fe -½ f e H(f) x(t) de 100Hz a disparu, atténué par le CNA-FPB. fe+fofe+fo -250 fe-fofe-fo (f e -f o ) 100 -(f e +f o ) Une image apparaît à la sortie FPB: y(t)=cos(2  50t), [150-1*100], un faux vrai signal «alias» de 50Hz du vrai vrai signal de 100Hz ! x(t) à 100Hz t ms x[n] y(t) à 50Hz 3. En temps: y(t)  x(t), mais y[n]=x[n]  f e = 150Hz donc f e < 2f max f coupCNA = ½f e = 75Hz f max = f o donc f e > 2f max CAN fefe y(t) DSP-CD CNA H(f) x(t) x[n] f coupCNA = ½f e = 200Hz

 Les images X utile (f-f e ) et X utile (f+f e ) ne déforment pas X utile (f) dans {-20, 20 Hz }. X utile (f-f e ) X utile (f) X utile (f+f e ) f f e =40 f e =-40 X n (f)  L’échantillonnage d’un x(t) lent (f max =  20Hz) en présence du bruit Secteur-50Hz: Choix sur f e = 2*f max = 40Hz  Les images du bruit secteur échantillonné : (  50 + m*f e ) Conclusion: L’échantillonnage amène les fréquences qui sont en dehors de X utile (f), à l’intérieur de {-½ f e, ½ f e }. TE9 Filtre anti-repliement [FAR]: Y(f) CNA  X(f)y(t) CNA  x(t) signal déformé ! CAN fefe y(t) f coupure =½f e DSP-CD CNA  FPB H(f) x(t) x[n]y[n] -½ f e ½fe½fe  [10,-1 0 Hz] tombent dans {-½f e, ½f e } X(f) = X utile (f) + X sect (f) f Bruit Secteur Signal utile |X(f)| à m=1:  *40 = [90,-10 Hz] à m=-1:  *40 = [-90,10 Hz] Solution : Placer un FPB [FAR] de f coup =½f e devant le CAN, permettant d’ atténuer les fréqs un filtre Butterworth de 5 ème ordre ! « bruit » en dehors de l’intervalle utile : un filtre Butterworth de 5 ème ordre ! f Y(f) CNA f Echant. + CAN fefe y(t) f coupure =½f e DSP CD CNA  FPB H(f) x 1 (t) x[n] FAR-FPB x (t) f coupure =½f e FAR y(t) CNA =x utile (t) Y(f) CNA =X utile (f)

 x*[n]:signal de temps discrets [n=0,1.. x[n]: signal numérique: n, |x[n]| discrétisés.  CAN Bi-polaire de V Pleine Echelle -½V PE < x[t) < ½V PE CAN: Echantillonneur- Bloqueur- Codeur [PL] s(t) t TeTe  Échantillonneur x(t) 1 e e T f  Codeur à B bits vers le DSP x[n] à B bits x*[n]  Le Tampon conserve x*[n] pendant T e. Deux conséquences:  T c =Temps de Codage < T e  Le DSP reçoit un x[n] du CAN chaque T e ; Réaliser un programme efficace de filtrage en T e  Limites de f e : T c =1µs CNA réel : Reconstruction analogique : CNA réel : Reconstruction analogique : Bloquer 1 er ordre. TE10 n y[n]  (t) 0 y 1 (t)=  (t) -  (t-T e ) TeTe t y(t) u(t) u(t-T e ) t + Sortie DSP y[n] y(t) Delay T e - e -j  Te 1 j  T e y 1 (n) Conclusion : y[n] est ‘bloquée’ pendant T e : Conversion N  A y(t)=u(t)-u(t-T e ) y[n]:Sortie DSP … n TeTe 2T e y(t) t TeTe 2T e y*(t) Note: y(t) contient encore de variations rapides  ce sont des HF des Images ! Sol: f max 500kHz  TraitementAnalogique CNA Bloqueur

où =  fT e |H(f)| f 1 2f e f | Y n (f)| f max -f max -f e Y(f+f e ) f e +f max f e -f max fefe Y(f-f e ) 2f e +f max 2f e Y(f-2f e ) -2f e Y(f+2f e ).. m suite -(f e -f max )-(f e +f max )-(2f e +f max ) Y(f) suite m.. |H(f)| Problèmes: 1. Le bloqueur jouant le rôle FPB: 1. laisse passer des parties des images de HF Y(f)=H(f)Y n (f) f fefe fefe -2f e 2f e f max -f max f e -f max -(f e -f max ) 2. Y(f) est modifié par la forme de H(f)= sin ( )/ du bloquer du CNA. 2. y[n] est multiplié par la fonction /sin( ) « équaliseur » avant la reconstruction CNA Solutions : 1. Encore du filtrage passe bas requis « Filtre Passe Bas d’anti Image en aval » H 1 (f) FPB d’anti Image H 1 (f) TE11  Interprétation fréquentielle: La fonction de transfert du CNA + y[n] y(t) delay T e - e -j  Te 1 j  T e y 1 (t) |Y(f)|=|X(f)| f f max -f max Signal sans déformation 

TE12  Chaîne DSP x(t)+Bruit X(f)utile Bruit f max -f max Codeurbinaire Échant- illonneur Tampon 1 e e T f = CAN FAR X 1 (f) f max -f max f coup  ½f e x 1 (t) y 1 [n] f coup  ½f e CNA Bloqueur y*(t) Y*[f] x[n] fe fe X n (f) -fe -fe ½fe ½fe DSP y[n] Y[f] FPB-anti Image y(t) Y(f) Kit DSP TexasInstrument 6700 sur Plateforme CodeComposerStudio sous Windows (500 euros): Malheureusement, ce Kit « une Usine à gaz » ne marche plus sous Windows XP ! Module MCEN5. En TP, c’est le « Processeur MatLab » qui jouera le rôle de DSP Module MCEN5.  DSP à 150MHz; Bus de programme de 256 bits de (8 Insts/cycle) Vitesse d’exécution 8*150*10 6 = 1200 MInsts/s  32 bits de Bus de data/adresses;  f e =8 kHz [T e =125 µs ]: Traitement « Audio »

 Le DSP semble calculer la puissance d’un alias de 1kHz à l’entrée [2f o alias =2KHz repliée dans -½f e < f < f e à la sortie] et non pas celle de x(t) de 3kHz (ou y(t) de 6 kHz). in y n (f) f kHz0 -6 f e =-8k 6 f e =8k On s’attend à trouver: y(t) CNA =x 2 (t )= sin 2 2  f o t = ½[1-cos (2  2f o t)] TE8  Pour éviter le repliement afin de retrouver le bon y(t), il faut choisir f e >2*2f o =12kHz Supposons que le DSP est programmé pour calculer la puissance de x(t): y[n]=x[n] 2 x(t)=sin(2  f o t) échantillonné à f e =8Khz; f o =3kHz  f e =8Khz > 2f o =6kHz Pas d’alias dans -½f e < f < f e Ex: Echant. + CAN fefe y(t) f coupure =½f e DSP CNA  FPB Filtre de reconstruction H(f) x(t) x[n] y[n] x n (f) f kHz f e =-8k   f e =8k2f e =16k ½fe½fe -½ f e H(f) ½fe½fe -½ f e H(f) 4k - 4k Les fréqs de X(f)  {  3k} Les fréquences de Y n (f)  {0Hz,  6k} + {0Hz,  6k} translatées par mf e avec les fréqs de Y(f)  {0Hz,  6k} Mais: f e =8Khz < 2*f max = 2*6=12kHz Repliement! les fréqs de X n (f)  {3khz et 3k translatée par mf e }  x(t) s’obtient des x[n] sans déformation Le Repliement en sortie du DSP Donc, y(t)= ½[1-cos (2  2(1kHz)t) non pas ce qu’il devrait être y(t)= ½[1-cos (2  2(3kHz)t) !

f |X n (f)| f max -f max X(f)m=0 2f e X(f-2f e ) - -2f e X(f+2f e ) ½fe½fe -½ f e H(f) y(t) x[n] CNA  FPB Filtre de reconstruction H(f) |X(f)| f f max -f max - Si f e -f max  f max  f e  2f max  Pas d’interférence entre les spectres m=0 et  1 -(f e -f max )-(f e +f max )-f e X(f+f e ) f e +f max f e -f max fefe X(f-f e ) m=1m=-1  x(t) anlogique peut être reconstruit à partir des x[n] si seulement x(t) est échantillonné à f e > 2f max, L’énoncé du théorème d’échantillonnage de Shannon Rappel 1 er CM: Les effets de l’échantillonnage 1. Relation entre les périodes analogique T o et numérique N o : 2. Relation entre les spectres analogique X(f) et numérique X n (f): x(t)=cos(2  f o t) échantillonné à f e = e f fofo NoNo k x[n] =x[n+N o ] Où x(t)  X(f) = X n (f)= = X(f)+toutes les fréquences de X(f) translatées par mf e  N o échantillons sur k cycles de x(t) - Le CNA-FPB atténue les images HF dont fréquence de coupure est toujours fixée à ½ f e