Exemple 19: pont roulant A P A’ Pont roulant: indiquez tous les éléments qui contribuent à la rigidité du système entre les points A et A’. Quels sont ceux qui ont à votre avis la plus faible rigidité? Que se passe-t-il si l ’on change la position du chariot? Si l ’on monte le poids P ?

Exemple 20 P l/2 Eacier = 210 GPa Ealu = 73 GPa l = 2 m, h = 1 m Section de la poutre: a = 10 cm, b = 20 cm a b l/2 Section carrée des colonnes: c = 5 cm c h P Eacier = 210 GPa Ealu = 73 GPa l = 2 m, h = 1 m Portique. Calculez la rigidité du portique en acier au point d ’application de P. C = 48; Ipoutre = ab3/12; Icolonne = a4/12. Comment varie la rigidité si le portique est en aluminium?

Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système Petits déplacements LB1 LB2 d F A

Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système. Cheminement des efforts Petits déplacements LB1 LB2 d F A

Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système. Schéma des rigidités d F KR1 KR2 KB-traction KB-flexion 1 KB-flexion 2 KC-flexion 1 KCable KB-flexion 3 KC-flexion 2 KC-torsion A

Rigidités strictement en parallèle et série Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système combinaison des rigidités (parallèle ou série) KR2 Rigidités strictement en parallèle et série KR1 KB-traction

Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système, simplification du schéma des rigidités Keq1 KB-flexion 1 KB-flexion 2 KC-flexion 1 KCable KB-flexion 3 KC-flexion 2 KC-torsion A

Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système réduction de la rigidité Keq1 F Keq1 LB1 LB2 F ( LB2 / LB1 ) d ( LB1 / LB2 ) A

Exemple 21 : estimation de la rigidité d’un système sous-ensemble levier dB flexion 2 dC flexion 1 dB flexion 1 A l’origine Conversion dB flexion 1 réduction dC flexion 1 direct dB flexion 2 KB-flexion 1 KB-flexion 1 KB-flexion 2 KC-flexion 1 d F A

Exemple 21: bâti de rectifieuse Problème: la flèche du bâti affecte la précision des usinages rectifiés => concevoir le bâti pour garantir fmax< fadm Choisir la rigidité Iflexion et la position des appuis A titre d’exemple de l’importance de la rigidité d’un système mécanique sur son comportement statique, prenons le cas du bâti d’une rectifieuse. Sur ce genre de machine on cherche communément à atteindre des précisions de dimensions de l’ordre du micromètre. Pour atteindre ces spécifications, il est indispensable que le bâti de la machine sur lequel on monte les glissières, la table porte pièce et la broche offre une surface de référence dont la planéité est aussi de l’ordre du micromètre. Cependant, le bâti se déforme sous son poids propre et sous les charges extérieures, lorsqu’il repose sur ses appuis (comme une poutre simple sur des appuis). Pour palier à cet inconvénient, certains fabricants introduisent une multitude de points d’appui qui sont sensés permettre de contrôler la géométrie du bâti, donc sa planéité. Une fois les appuis réglés, on corrige encore les défauts microscopiques par grattage. Le problème avec cette méthode est que le système d’appui est hyperstatique, que l’on ne connaît donc pas les efforts dans chacun des appuis et que ces efforts varient dans le temps car souvent les surfaces d’appui du bâti bougent. La solution à utiliser est de poser le bâti de façon isostatique, c’est à dire sur trois points d’appui. De cette façon, on peut calculer les flèches induites et les minimiser par un placement judicieux des appuis. Ces flèches ne dépendent que du poids propre du bâti et ne varient donc pas dans le temps. On peut alors en éliminer les effets sur la planéité en faisant une fois la mise en géométrie du bâti. Le premier pas de la démarche consiste à positionner les appuis (pieds) de façon optimum, c’est à dire de façon à ce que quelque soit la position des charges mobiles sur le bâti, la flèche maximum reste en dessous d’une valeur limite. Le critère de flèche permet aussi de choisir le moment d’inertie surfacique de la section de la poutre Iflexion. Il s’agit donc d’une démarche de pré-dimensionnement.

Exemple 22: bâti de rectifieuse (suite) Approche: modéliser le bâti comme une poutre simple creuse; fixer fadm pour un cas de charge typique (CDC); estimer l ’inertie de la « section moyenne » nécessaire choix des dimensions B, H, t; déterminer la position optimum des appuis: pose isostatique sur trois points; vérifier le comportement du bâti « réel » avec un modèle EF plus détaillé. L’approche pour résoudre ce problème est donnée ci-dessus. Pour pré-dimensionner le bâti on l’assimile à une poutre simple de section réctangulaire creuse, de largeur B, de hauteur H et d’épaisseur de paroi t. Ayant fixé la flèche maximum tolérable, fadm, on détermine les grandeurs B, H et t nécessaires pour garantir cette tolérance. On fixe alors la position des pieds en utilisant la théorie de la flexion des poutres simples étudiée dans le cours de mécanique des sturctures. Une fois le prédimensionnement fait avec le modèle approximatif on le vérifie au moyen d’un calcul EF qui inclut tous les détails importants du bâti. Cette approche est illustrée dans les pages suivantes pour un bâti en fonte minérale (composite d’agrégats minéraux, comme des cailloux et du gravier, et de résine époxy, environ 5 %).

Exemple 22: bâti de rectifieuse (suite) Estimation de l ’inertie nécessaire: E = 40 GPa (fonte minérale) F = 200 N fadm = 0.2 mm l1 = 1410 F l2 = 1410 l = 2700 B H t Pour dimensionner B, H et t, on choisit la combinaison de la position de la charge et des appuis les plus défavorables. On choisit les dimensions telles que f < fadm ce qui conduit à la formule ci-dessus. Il y a trois paramètres à choisir et une seule équation de dimensionnement. En général, la largeur B est fixée par des considérations fonctionnelles. L’épaisseur de paroi minimum t est imposée par le procédé de fabrication (moulage en fonte minérale). On se ramène ainsi au choix de la hauteur H du bâti avec l’équation ci-dessus.

Exemple 22: bâti de rectifieuse (suite) Choix de la position des appuis f1 f2 ou f4 f3 Optimum Pour optimiser le positionnement des pieds, on considère deux cas de charge représentatifs de la machine en service: charge au centre de la poutre sur deux appuis simples ou charge en porte-à-faux en bout de poutre. Pour les deux cas de charge représentés dans les figures de droite, et avec le modèle de poutre simple, on calcule la flèche en fonction de la position des appuis (distance a). Le résultat est représenté dans la figure de gauche. La position optimum des pieds est donnée par l’intersection des deux courbes pour les flèches f1 et f3. Ce choix garantit que la flèche maximum est la même pour les deux cas de charge. Avec le choix de Iflex fait précédemment, elle sera aussi inférieure à la flèche maximale admissible.

Exemple 23 d ’un cas à distributeurs et transmetteurs rigides Réducteur à deux voies: arbres intermédiaires rigides REFERENCE: G. Spinnler, « Conception des machines, principes et applications, volume 1 », Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997, chapitre 8.

Exemple 24 d ’un cas à distributeurs rigides et transmetteurs souples Réducteur à deux voies: arbres intermédiaires souples REFERENCE: G. Spinnler, « Conception des machines, principes et applications, volume 1 », Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997, chapitre 8.

Exemple 25 d ’un cas à distributeurs souples et transmetteurs rigides Réducteur à un étage. Le cas ci-dessus représente un réducteur à un étage. Dans la figure (a), les prises de couple sur les arbres d'entrée et de sortie (les distributeurs) sont du même côté. Dans ce cas, la plus grande partie du couple passera par la voie 1, car sa rigidité est beaucoup plus grande que celle de la voie 2. Cette conclusion se déduit du modèle illustré à la figure (c) avec l'analyse donnée à la page suivante. Si par contre on place les prises de couple sur des côtés opposés [figure (b)], on obtient une bien meilleure répartition des efforts, comme on peut le déduire du modèle de la figure (d). Le couple sur chaque voie est approximativement le même et égal à la moitié du couple total de sortie. REFERENCE: G. Spinnler, « Conception des machines, principes et applications, volume 1 », Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997, chapitre 8.

Exemple25: d ’un cas à distributeurs souples et transmetteurs rigides Prise de couple du même côté: Prise de couple de côtés opposés

Exercice MCA-10-05: hyperstatisme du banc d’essai pour galets presseurs Vous devez concevoir le banc d’essai pour le concept de transmission à galets presseurs. Vous avez imaginé les deux schémas cinématiques illustrés à la page suivante. En considérant que les mécanismes sont des mécanismes dans l’espace x-y-z, déterminez le degré d’hyperstatisme de chacun d’entre eux et, sur cette base, choisir la solution qui vous paraît la meilleure. Si un des mécanismes est hyperstatique, proposer une solution pour lever l’hyperstatisme.

Exercice MCA-10-05: hyperstatisme du banc d’essai pour galets presseurs Schéma cinématique 1 Schéma cinématique 2 Définiton des symboles y x Liaison pivot-glissant Liaison pivot Liaison appui plan BÂTI 0 3 7 4 8 L8 L9 L11 L4 L6 L7 BÂTI 0 3 5 6 7 4 8 L8 L9 L11 L3 L4 L5 L10 L6 L7 Liaison ponctuelle

Exercice MCA-10-05: hyperstatisme du banc d’essai pour galets presseurs, corrigé

Exercice MCA-10-05: hyperstatisme du banc d’essai pour galets presseurs, corrigé Pour lever l’hyperstatisme du schéma 1 il faut introduire de nouvelles liaisons à des endroits judicieux. On voit deux possibilités à la figure de la page suivante. Solution 1. On introduit une liaison pivot glissant (L1 qui introduit deux inconnues cinématiques supplémentaires, nc1=2, et un mobilité, la rotation autour de l’axe x), et une pièce (1, qui ne change pas le nombre de cycles). On réduit donc le degré d’hyperstatisme de 1 et il devient 0. A noter que si l’on introduit pour L1 une glissière d’axe x, on lève aussi l’hyperstatisme (on rajoute une inconnue cinématique sans changer le degré de mobilité) Solution 2 . On introduit une liaison pivot d’axe z (L1 qui introduit une seule inconnue cinématique) et une pièce (1 qui ne change pas le nombre de cycles). On réduit donc le degré d’hyperstatisme de 1 et il devient 0. A noter que si l’on introduit pour L1 un pivot d’axe x, on ne lève pas l’hyperstatisme, car on rajoute une inconnue cinématique mais aussi une mobilité (la rotation autour de l’axe x)

Exercice MCA-10-05: hyperstatisme du banc d’essai pour galets presseurs, corrigé Solution 1 L11 Solution 2 BÂTI 0 3 1 7 4 8 L8 L9 L11 L4 L6 L7 L1 L11 3 1 L4 4 8 L6 7 L7 L8 L9 y x BÂTI 0