TEST SEQUENTIEL Probabilité de confiance après acceptation - Ludovic dEstampes - Bernard Garel - Guillaume Saint Pierre Laboratoire de Statistique et Probabilités (U.P.S. Toulouse III) LEN7, ENSEEIHT, 2 rue Camichel, B.P , 31071, Toulouse cedex 7. FRANCE Problème La société STNA participe à la certification des équipements utilisés pour la navigation aérienne. Dans ce cadre la division 3R s'intéresse aux équipements ILS. Ces équipements, situés au sol, sont utilisés lors de l'atterrissage. Leur objectif de fiabilité est fonction de la catégorie de léquipement. Cet objectif est caractérisé par une valeur de MTBO, appelée MTBO objectif. Cette valeur est déduite de l'étude par arbre de défaillance du système complet. La démonstration de l'atteinte de cet objectif est réalisée à l'aide de tests séquentiels tronqués

« Instrument Landing System (I.L.S.) » Localiser Glidepath : rail de guidage obtenu par intersection du plan vertical et de la surface courbe. Piste datterissage

Test séquentiel tronqué (1) : survol des techniques existantes Ces tests sont très utilisés par les industriels pour des problèmes de qualification (essais thérapeutiques). Ils permettent notamment une importante économie de mesures et de temps. Les interruptions de fonctionnement sont appelés « OUTAGES » Le temps moyen de fonctionnement entre deux outages est appelé « MTBO » ( ) Cadre : Test paramétrique entre deux hypothèses simples H 0 : = 0 contre H 1 : = 1 ( 1 < 0 ) A chaque nouvelle observation (ou outage) on décide : On continue de tester (pas de décision) H 0 (appareil accepté) H 1 (appareil refusé)

Test séquentiel tronqué (2) = risque de refuser un équipement opérationnel (risque de 1 ere espèce ou risque du vendeur) = risque daccepter un équipement défectueux (risque de 2 ème espèce ou risque de lacheteur) La règle de décision précédente peut sécrire : où r représente le nombre doutages. Les constantes a,b et c dépendent de et Test séquentiel tronquéTest séquentiel tronqué avec temps minimum de un an a+bt<r<c+bt a+bt<r c+bt<r : On continue de tester : H 0 (appareil accepté) : H 1 (appareil refusé)

Cas dun localiser expérimental Temps standardisés = [ ]; Les données réelles suivantes permettent de suivre lévolution dun appareil en fonctionnement. Le refus de léquipement intervient lors du 4 ème outage.

Détermination des temps de fin de tests Représente la probabilité, lorsque est la vraie valeur du paramètre, que i outages surviennent en un temps t, sans que le test ne soit terminé. Les intersections des lignes doutages avec les frontières dacceptation et de rejet permettent dobtenir la suite des temps standardisés dacceptation et de rejet. On détermine alors des zones (ici A, B jusqu'à E) où le nombre d'outages déterminant le rejet est constant. On les appelle zone d'homogénéité. Pour chaque temps standardisé d'acceptation ou de rejet, on calcule les probabilités d'acceptation et de continuation

Approche classique : Bornes de confiance (Intervalles de confiances) Soit Y de densité (Y estimateur de par exemple) une observation de Y et le seuil de confiance fixé h dépend de !!! Soit L la variable aléatoire tq : On a : = Borne de confiance inférieure à (1- )100% (1) Résoudre (1) en permet dobtenir L

Nouvelle approche : Probabilités de confiance On peut maintenant se poser la question suivante : Etant donné y une observation et θ 0 une valeur fixée du paramètre, est-il possible de calculer une «probabilité» que le vrai paramètre dépasse θ 0 ? La réponse est oui et le calcul s'effectue à partir de l'équation (1). Il suffit de fixer la valeur de θ et de résoudre l'équation en. La probabilité ainsi trouvée est ce qu'on appelle une probabilité de confiance et nous résumons ceci par la définition suivante: DEFINITION : Soit θ 0 une valeur fixée a priori et (θ 0 ) la solution de (1) en. On appelle probabilité de confiance que θ soit supérieur à θ 0 après observation de y la valeur 1- (θ 0 ) ainsi trouvée.

Retour au test séquentiel avec loi exponentielle T A : VA discrète représentant le temps dacceptation N(T A ) : Nombre doutages survenus pendant T A On estime par Léquation (1) sécrit : On montre que : Léquation (1) sécrit alors :

(2) L'équation (2) nous permet d'obtenir les coefficients c(i,t k ) en fonction de P((i,t k );θ) que l'on sait calculer lorsque θ est fixé. On est alors en mesure d'écrire l'équation (1) sous la forme suivante : (3) Ce qui intéresse les ingénieurs, une fois l'équipement accepté, est de savoir avec quelle probabilité ils peuvent considérer que le temps moyen entre deux outages dépasse une valeur seuil qu'ils considèrent comme minimale pour la sécurité du fonctionnement des ILS. Notion de probabilité de confiance

Probabilités de confiance : une application On résout léquation (3) en, avec L i la valeur minimale fixée par les ingénieurs (Un programme Matlab a été réalisé pour ce faire) Probabilités de confiance

Conclusion Si lacceptation a lieu avec un seul outage, la probabilité que le vrai MTBO soit effectivement supérieur à la valeur donnée pour le test est de 78%. Probabilité très élevée alors que le risque (daccepter un équipement défectueux) est ici fixé a 40%.