ALGORITHMES RECURSIFS Méthodes de recherches et de tris récursives Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 1

Recherches et tris récursifs Certains traitements récursifs s'appliquent particulièrement bien à la problématique des recherches et des tris. Pour appliquer la récursivité il faut que le problème à résoudre puisse être décomposé en sous-problème de même nature. L'arrêt de l'appel récursif se fait à la résolution du problème élémentaire Il faut donc une modélisation du problème de la recherche ou du tri qui soit récursive. Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 2

Recherches et tris récursifs Recherche dichotomique : La recherche dans un tableau de taille N conduit à découper le problème en deux sous problèmes de même nature et à rechercher dans un sous tableau de taille N/2. Tri quicksort : Trier une collection d'objets conduit à : (pré-traitement) identifier un pivot, répartir la collection en deux sous-collections les plus petits et les plus grands. (appel récursif) relancer le tri sur les 2 sous-collections. (post-traitement) Le résultat sera la concaténation des deux sous-collections revenues triées. Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 3

Recherche dichotomique Attention uniquement si la collection d’objet est déjà triée. A chaque étape : Tester si le tableau est vide (en ce cas arrêt des appels récursifs avec échec) Calculer l'indice moyen (indice max + indice min)/2 Comparer la valeur présente à l’indice moyen avec l’objet recherché, si l'objet recherché est à l'indice moyen (arrêt succès) si l’objet est supérieur ou égal à la valeur t[moyen] relancer la recherche avec le tableau supérieur, sinon relancer la recherche avec le tableau inférieur. Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 4

Recherche dichotomique - principe objet = 11 : objet<t[moy] moy = (max + min) / 2 min max 7 9 11 12 33 max  moy min 7 9 11 12 33 Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 5

Recherche dichotomique – tests d'arrêt int RDRec(int min, int max, int objet, int t[]) { int milieu ; if (min >= max) return -1; milieu = (max+min)/2; if (t[milieu] == objet) return milieu; . . . } Tests d'arrêt Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 6

Recherche dichotomique – appel récursif sur un sous problème int RDRec(int min, int max, int objet, int t[]) { int milieu ; if (min >= max) return -1; milieu = (max+min)/2; if (t[milieu] == objet) return milieu; if (objet < t[milieu]) return RDRec(min, milieu -1, objet, t); if (objet > t[milieu]) return RDRec(milieu +1, max, objet, t); return –1; } Rappel récursif sur un sous-problème Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 7

Recherche dichotomique – arrêts et appels récursif int RDRec(int min, int max, int objet, int t[]) { int milieu ; if (min >= max) return -1; milieu = (max+min)/2; if (t[milieu] == objet) return milieu; if (objet < t[milieu]) return RDRec(min, milieu -1, objet, t); if (objet > t[milieu]) return RDRec(milieu +1, max, objet, t); return –1; } Rappel récursif sur un sous-problème Tests d'arrêt Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 8

Recherche dichotomique – code int RDRec(int min, int max, int objet, int t[]) { int milieu ; if (min >= max) return -1; milieu = (max+min)/2; if (t[milieu] == objet) return milieu; if (objet < t[milieu]) return RDRec(min, milieu -1, objet, t); if (objet > t[milieu]) return RDRec(milieu +1, max, objet, t); return –1; } Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 9

Tri quicksort - principe A l’étape courante soit : L : liste vide – elle est retournée (triée par définition) L : non vide – choix d'un pivot P dans la liste (premier élément) Découpage de L en deux sous listes : Li : liste des éléments inférieurs au pivot, Ls : liste des éléments supérieurs au pivot. Tri récursif rappelé sur Li et Ls on obtient : Li-triée et Ls-triée Liste résultat à l’étape courante : concaténation de Li-triée et Ls-triée avec la valeur du pivot P entre. Retour à la fonction appelante de L-triée Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 10

Tri quicksort – exemple d'appel 5 7 3 4 1 2 9 Pré traitement 3 4 1 2 7 9 1 2 4 9 2 Post traitement 2 4 1 2 9 1 2 3 4 7 9 1 2 3 4 5 7 9 Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 11

Tri quicksort : définition de la liste Structure du maillon de la liste : typedef struct maillon { char info[NMAX] ; struct maillon* suiv; } MAIL ; int QScmp(MAIL * A, MAIL * B) retourne 0, 1 ou -1 suivant si le champ info du maillon A est égal, supérieur ou inférieur au champ info du maillon B Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 12

Tri quicksort : fonctions utilisées MAIL* tete(MAIL* L) retourne la tête d’une liste L, c'est à dire le premier élément de la liste. MAIL* reste(MAIL* L) retourne le reste d'une liste L, c'est à dire le pointeur vers le deuxième élément de la liste. MAIL* ajouter-tete(MAIL* P, MAIL* L) retourne une liste dont la tête est P et le reste L (ajout en tête). MAIL* concatener(MAIL* D, MAIL* F) retourne la liste constituée par tous les éléments de la liste D suivis de tous les éléments de la liste F. Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 13

Tri quicksort – test d'arrêt MAIL * QS(MAIL* L) { MAIL *P, *R, *T, *Li=NULL, *Ls=NULL,*Resu ; if (L == NULL) return NULL; . . . } Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 14

Tri quicksort – pré traitement MAIL * QS(MAIL* L) { MAIL *P, *R, *T, *Li=NULL, *Ls=NULL,*Resu ; if (L == NULL) return NULL; P = tete(L); for(R= reste(L) ; R!= NULL ; R= reste(R)) { T= tete(R); if (QScmp(P,T) < 0) Ls= ajtete(Ls, T); else Li= ajtete(Li, T); } . . . pré-traitement Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 15

Tri quicksort – appel récursif MAIL * QS(MAIL* L) { MAIL *P, *R, *T, *Li=NULL, *Ls=NULL,*Resu ; if (L == NULL) return NULL; P = tete(L); for(R= reste(L) ; R!= NULL ; R= reste(R)) { T= tete(R); if (QScmp(P,T) < 0) Ls= ajtete(Ls, T); else Li= ajtete(Li, T); } Li = QS(Li); Ls = QS(Ls); Res = ajtete(P, Ls); Res = concatener(Li, Res); return Res ; Rappel récursif Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 16

Tri quicksort – post traitement MAIL * QS(MAIL* L) { MAIL *P, *R, *T, *Li=NULL, *Ls=NULL,*Resu ; if (L == NULL) return NULL; P = tete(L); for(R= reste(L) ; R!= NULL ; R= reste(R)) { T= tete(R); if (QScmp(P,T) < 0) Ls= ajtete(Ls, T); else Li= ajtete(Li, T); } Li = QS(Li); Ls = QS(Ls); Res = ajtete(P, Ls); Res = concatener(Li, Res); return Res ; post-traitement Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 17

Tri quicksort - anatomie Test d'arrêt MAIL * QS(MAIL* L) { MAIL *P, *R, *T, *Li=NULL, *Ls=NULL,*Resu ; if (L == NULL) return NULL; P = tete(L); for(R= reste(L) ; R!= NULL ; R= reste(R)) { T= tete(R); if (QScmp(P,T) < 0) Ls= ajtete(Ls, T); else Li= ajtete(Li, T); } Li = QS(Li); Ls = QS(Ls); Res = ajtete(P, Ls); Res = concatener(Li, Res); return Res ; Rappel récursif pré-traitement post-traitement Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 18

Tri quicksort - code MAIL * QS(MAIL* L) { MAIL *P, *R, *T, *Li=NULL, *Ls=NULL,*Resu ; if (L == NULL) return NULL; P = tete(L); for(R= reste(L) ; R!= NULL ; R= reste(R)) { T= tete(R); if (QScmp(P,T) < 0) Ls= ajtete(Ls, T); else Li= ajtete(Li, T); } Li = QS(Li); Ls = QS(Ls); Res = ajtete(P, Ls); Res = concatener(Li, Res); return Res ; Ch. PAUL EMSE ALGORITHMIQUE - RECURSIVITE Recherche et Tris 19