La multiplication et la division par images mentales. Robert Lyons Mars 2009

Table de Pythagore 3 -Nombres carrés 6 Facteurs de 12. 7 -Facteurs communs 9 Nombres premiers 11 -Multiples de 3 12 Élément neutre 13 -Élément absorbant 14 Division par zéro 16 -Multiplier c’est … 18 Diviser c’est … 20 -Racine carrée. 21 Divisions 24 -Multiplications 26 Multiplication de fractions.30 -Racine carrée d’une fraction 37 Multiplication relatifs.41 -Formules pour trouver les zéros. 42 Priorité des opérations. 43 -Résolution de problèmes (1) 48 Équations à 2 inconnues.53 -Arrondir des nombres.59 Dénominateur commun.62 -Loi des signes. 71 Les exposants. 76

Table de Pythagore moderne

Dans cette table, reconnaissez-vous les nombres carrés?

Table de Pythagore originale

Les rectangles orange représentent les nombres carrés. 1 4 9 16 25 36 49

Quels sont les facteurs de 12 ? 1, 2, 3, 4, 6 et 12

Quels sont les facteurs de 12 ? «Facteur» signifie celui qui fait. Un rectangle est construit (fait) avec des côtés. 1 X 12 = 12 2 x 6 = 12 3 X 4 = 12

21 et 56 ont-ils des facteurs communs ? Facteurs de 21 : 1, 3, 7 et 21. Facteurs de 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 et 56. Un seul facteur commun : 7

21 et 56 ont-ils des facteurs communs ? 7 3 8

Où sont les nombres premiers ? 2 3 5 7 Dans la première ligne et dans la première colonne seulement.

Où sont les multiples de 3 ? Ils sont tous dans la 3e ligne ou dans la 3e colonne.

Le nombre 1 est neutre en multiplication. 6 Un rectangle dont un des côtés mesure une unité possède autant d’unités d’aire que son autre côté possède d’unités de longueur.

Le nombre 0 est absorbant en multiplication ____________________________ Un rectangle dont la mesure d’un des côtés est de 0 unité possède une aire de 0 unité.

Diviser 15 par 3 c’est construire un rectangle dont l’aire est de 15 unités et la largeur de 3 unités. La longueur de ce rectangle représente la réponse à la division : 15 ÷ 3 = 5

Diviser par 0, c’est impossible ! Soit 7 ÷ 0. Cela signifie qu’il faut daller un rectangle qui n’a aucune largeur au moyen de 7 unités d’aire différentes de 0. Même si le rectangle se prolonge à l’infini, aucune unité d’aire n’aura encore été insérée.

Voici une image mentale fort nuisible : 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3 ou

La multiplication est-elle vraiment une addition répétée ? ½ x ½ = ¼ ½ + ½ + ½ + … = ¼ ??? (-3) X ( -4) = 12 (-3) + (-3) + (-3) + … = +12 ???

Diviser est-ce partager ou mesurer ? 1$ ÷ ½ = 1$ x 2 = 2$ 6m² ÷ 2m = 3m (-6$) ÷ (-3) = 2$ Partages ou mesures ?

Que représentent : La terrible racine carrée.

Fais un carré avec 4 grands carrés, 4 rectangles et 1 petit carré. À la portée des élèves de 7 ans !

2x + 1y 21 2,1 Trouver la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est donnée.

Effectuer une division c’est construire un rectangle dont l’aire et la longueur d’un côté sont connus. La longueur du côté perpendiculaire au côté connu est la réponse de la division.

Arithmétique sur les nombres à virgule : 9,43 ÷ 2,3 = 4,1 Arithmétique sur les entiers : 943 ÷ 23 = 41 Arithmétique sur les nombres à virgule : 9,43 ÷ 2,3 = 4,1 Algèbre : (8x² + 14xy + 3y²) ÷ (2x + 3y) = 4x + 1y

Multiplier deux nombres, c’est construire un rectangle qui a pour hauteur et largeur la mesure des deux nombres à multiplier.

10 20 120 8 30 2 300 4 32 × 14

1 3 0,2 1,2 0,08 0,4 3,2 × 1,4

(3x + 2y) × (1x + 4y) 3x 2y 1x 4y 3x² 2xy 12xy 8y²

Voici le plancher de ma salle de bain. Multiplication de fractions

Cette fois, le bain a été installé. Multiplication de fractions

Le bain couvre partiellement 2 des 5 rangées. Multiplication de fractions

Le bain couvre partiellement 4 des 7 colonnes. Multiplication de fractions

Le bain couvre exactement 8 des 35 tuiles du plancher. Multiplication de fractions

4 7 8 35 2 35 5 La multiplication de fractions : un bain sur un plancher! Multiplication de fractions

4 7 8 35 2 35 5 La multiplication de fractions : un bain sur un plancher! Multiplication de fractions

Voici l’illustration du plancher de ma seconde salle de bain. Racine carrée

Cette fois, la douche couvre 4 des 25 tuiles du plancher. Racine carrée

La douche occupe les 2/5 des rangées et des colonnes. Racine carrée

La racine carrée, c’est la longueur du côté d’un carré.

(7 – 2) (6 – 4) 7 -2 +42 -12 -28 +8 6 -4 (7-2)(6-4) = 42 -12 -28 +8 = 10

Et si nous allions chercher des tomates à l’épicerie ! Priorité des opérations

Commençons par trouver le (comptoir) des fruits et légumes. Priorité des opérations Priorité des opérations

Observons bien ce qui est exposé. Priorité des opérations Priorité des opérations

Combien de tomates voulons-nous ? Priorité des opérations Priorité des opérations

Et n’oublions pas de payer l’addition! Priorité des opérations Priorité des opérations

Résolution de problèmes 1 Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de l’âge de y qui a 21 ans actuellement. Quel est l’âge de x ? Résolution de problèmes 1

Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans. Y a 21 ans actuellement. Résolution de problèmes 1 Résolution de problèmes 1

Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans. 26 Dans 5 ans y aura 26 ans. Résolution de problèmes 1 Résolution de problèmes 1

Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans. 26 13 26 Dans 5 ans l’âge de x sera la moitié de celui de y, donc 13 ans. Résolution de problèmes 1 Résolution de problèmes 1

Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans 13 26 8 21 Actuellement x a donc 8 ans, soit 5 ans de moins que l’âge qu’il aura dans 5 ans. Résolution de problèmes 1 Résolution de problèmes 1

Résolution de problèmes 2 La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21. Quels sont ces nombres ? Résolution de problèmes 2

Résolution de problèmes 2 La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 25. Quels sont ces nombres ? Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Résolution de problèmes 2 La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 26. Quels sont ces nombres ? Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 26. Au secours ! La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 26. Quels sont ces nombres ? Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Tentons d’illustrer le premier problème. La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21. Quels sont ces nombres ? Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Somme = 10 Produit = 21 Un produit implique un rectangle. Alors traçons un rectangle qui correspond au produit recherché. 21 Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle. Somme = 10 Produit = 21 La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle. x 10 - x 21 Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle. Somme = 10 Produit = 21 La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle. Ou encore : 5 + x 5 - x 21 Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle. Somme = 10 Produit = 21 La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle. Donc : 21 5 + x 5 – x Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Effectuons les multiplications. Somme = 10 Produit = 21 Effectuons les multiplications. 5 + x 5 – x 25 + 5x – 5x –x² Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

+5x et –5x s’annulent, donc 25 – x² = 21 Somme = 10 Produit = 21 +5x et –5x s’annulent, donc 25 – x² = 21 x² = 4 et x = 2, donc 5 + x = 7 et 5 – x = 3 5 + x 5 – x 25 + 5x – 5x –x² Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Les deux nombres sont 24 et 76. Somme = 100 Produit = 1824 50 + x 50 – x 2500 + 50x – 50x –x² 2500 – x² = 1824 donc x² = 676 et x = 26 Les deux nombres sont 24 et 76. Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Les deux nombres sont 5 + i et 5 – i. Somme = 10 Produit = 26 5 + x 5 25 + 5x – 5x –x² – x 25 – x² = 26 donc x² = –1 et x = i. Les deux nombres sont 5 + i et 5 – i. Résolution de problèmes 2 Résolution de problèmes 2

Cet énoncé et ces dessins correspondent à l’équation : Une compagnie, qui fabrique des boutons, les place sur des cartes. Sur des cartes de même couleur, le nombre de boutons est toujours le même. Dispose 12 boutons sur les cartes suivantes : Cet énoncé et ces dessins correspondent à l’équation : 3y + 2x = 12 Équations à 2 inconnues

Voici une possibilité Les 3y sont représentés par les rectangles bleus. Ils contiennent en tout 6 jetons, donc 3y = 6 et y = 2. Les 2x sont représentés par les rectangles roses. Ils contiennent aussi 6 jetons, donc 2x = 6 et x = 3. Équations à 2 inconnues Équations à 2 inconnues

En voici une autre Les 3y sont représentés par les rectangles bleus. Ils contiennent en tout 12 jetons, donc 3y = 12 et y = 4. Les 2x sont représentés par les rectangles roses. Ils ne contiennent aucun jeton, donc 2x = 0 et x = 0. Équations à 2 inconnues Équations à 2 inconnues

Et une autre Les 3y sont représentés par les rectangles bleus. Ils ne contiennent aucun jeton, donc 3y = 0 et y = 0. Les 2x sont représentés par les rectangles roses. Ils contiennent 12 jetons, donc 2x = 12 et x = 6. Équations à 2 inconnues Équations à 2 inconnues

Illustrons les 3 solutions trouvées dans un plan cartésien. x = 6, y = 0 x= 3, y = 2 x = 0, y = 4 Équations à 2 inconnues Équations à 2 inconnues

Ces 3 points appartiennent à la droite 2x + 3y = 12. x = 6, y = 0 x= 3, y = 2 x = 0, y = 4 Équations à 2 inconnues Équations à 2 inconnues

Dans un gros volume, prenez la page 138 Dans un gros volume, prenez la page 138. Trouvez maintenant la page la plus proche qui se termine par 0. Vous venez d’arrondir 138 à la dizaine près. Arrondir des nombres

Prenez encore le nombre 138 et trouvez la page la plus proche qui se termine par 00. Vous venez d’arrondir 138 à la centaine près. Arrondir des nombres

Prenez le nombre 245 et trouvez la page la plus proche qui se termine par 0. Il y en a deux : 240 et 250. Par convention, on choisit 250 lorsqu’on demande d’arrondir 245 à la dizaine près. Arrondir des nombres Arrondir des nombres

Lorsqu’un francophone, qui ne parle pas anglais, rencontre un anglophone, qui ne parle pas français, comment peuvent-ils communiquer ? Dénominateur commun

En demandant un interprète; -En s’exprimant par signes; -En utilisant une 3e langue, connue des deux. Dénominateur commun Dénominateur commun

Voici une personne qui décrit la surface colorée de son plan Voici une personne qui décrit la surface colorée de son plan. Elle dit que les 2/3 du plan sont colorés. Dénominateur commun Dénominateur commun

Une autre personne mentionne que les 3/5 de son plan sont colorés. Dénominateur commun Dénominateur commun

La première personne connaît la langue des tiers mais pas la langue des cinquièmes. La seconde personne connaît la langue des cinquièmes mais pas la langue des tiers. AU SECOURS ! Dénominateur commun Dénominateur commun

Fusionnons les découpages en tiers et en cinquièmes. Dénominateur commun Dénominateur commun

La surface est maintenant découpée en quinzièmes. Dénominateur commun Dénominateur commun

Et voici la langue des tiers traduite dans la langue des quinzièmes. Dénominateur commun Dénominateur commun

Au tour de la langue des cinquièmes d’être traduite dans la langue des quinzièmes. Dénominateur commun Dénominateur commun

Voici un schéma qui représente le circuit électrique qui permet d’allumer ou de fermer une ampoule électrique à partir de deux endroits différents. Dans un escalier par exemple. C1 et C2 sont les commutateurs à deux positions. Loi des signes

Les deux commutateurs permettent au courant de passer par le même fil, le fil +. L’ampoule électrique est traversée par le courant qui passe par les composantes colorées en rouge. Elle brille (+). Loi des signes Loi des signes

La position des commutateurs(+ et –) ne permet pas que le courant suive un circuit fermé, sans trou. L’ampoule ne peut briller (–) car aucun courant ne la traverse. Loi des signes Loi des signes

Les deux commutateurs permettent au courant de passer par le même fil, le fil –. L’ampoule électrique est traversée par le courant qui passe par les composantes colorées en rouge. Elle brille (+). Loi des signes Loi des signes

La loi des signes en français C’est vrai (+) qu’il est poli (+), donc il est poli (+). C’est vrai (+) qu’il est impoli (–), donc il est impoli (–). C’est faux (–) qu’il est poli (+), donc il est impoli (–). C’est faux (–) qu’il est impoli (–), donc il est poli (+). Loi des signes Loi des signes

En mathématiques, les symboles + et – sont utilisés afin d’exprimer diverses oppositions. Les exposants

En haut ou en bas, à gauche ou à droite, vrai ou faux, avant ou après, additionner ou soustraire, tout cela se résume à deux équipes, celle des + et celle des –. Les exposants Les exposants

Voici un nombre exprimé de façon fort longue Voici un nombre exprimé de façon fort longue. Il y a certainement moyen de le simplifier. Les exposants Les exposants

Le nombre 7 est incontournable. Notons-le. Les exposants Les exposants

La seconde information importante est qu’il y a 2 nombres «7» de plus en haut (+) qu’en bas (–). D’où : Les exposants Les exposants

Et après simplification : Les exposants Les exposants

Voici un autre nombre : Les exposants Les exposants

Le nombre 8 est incontournable. Notons-le. Les exposants Les exposants

Cette fois, il y a trois 8 de plus en bas (–) qu’en haut (+), d’où : Les exposants Les exposants

Voici un troisième nombre : Les exposants Les exposants

Le nombre 5 constitue l’information de base. Notons-le. Les exposants Les exposants

Il n’y a aucun nombre 5 de plus en haut ou en bas, donc ± 0 ou 0. Les exposants Les exposants