1 Cours numéro 3 Graphes et informatique Définitions Exemple de modélisation Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans le cadre de leur formation. Reproduction ou diffusion en dehors de l IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l auteur.

2 Graphes et informatique GRAPHES : modélisation de problèmes anciens ALGORITHMES DE RESOLUTION EFFECTUES « à la main » (structures topologiques, parcours, optimisation combinatoire, etc.)

3 Curiosités mathématiques 1.Circuits eulériens : utiliser une et une seule fois chaque arête dun graphe Les 7 ponts de Koenigsberg (1736) Tracer un dessin sans lever la plume 2.Circuits hamiltoniens : passer une et une seule fois par chaque sommet Cheminement dun cavalier sur léchiquier

4 Problèmes de coloration 1.Nombre chromatique : le plus petit nombre de couleurs nécessaire pour colorier les sommets (de façon que deux sommets adjacents soient de couleurs distinctes) Théorème des 4 couleurs (1976) 1.Indice chromatique : coloration des arêtes Couplages sous contraintes

5 Graphes et informatique GRAPHES : modélisation de problèmes anciens ALGORITHMES « AUTOMATISES » INFORMATIQUE : science du traitement automatique de linformation

6 Graphes et informatique INFORMATIQUEGRAPHES Automatisation de la résolution des algorithmes Modélisation de nouveaux problèmes issus du domaine informatique

7 Exemples de modélisation Contrôle des configurations possibles dun système ou dun programme Cheminement dans un réseau informatique Représentations graphiques (automate, réseau)

8 Graphes et informatique INFORMATIQUEGRAPHES Automatisation de la résolution des algorithmes Modélisation de nouveaux problèmes issus du domaine informatique INTERET ALGORITHMIQUE UN OUTIL DE MODELISATION POUR LINFORMATIQUE

9 Quels sont les pré-requis? mathématiques : - Un minimum de théorie des ensembles - Une aptitude au raisonnement et à labstraction informatiques : - Des notions sur les structures de données (tables, listes, piles, files) - Des notions de programmation (structures de contrôle)

10 Quelle approche algorithmique? formelle : conception, preuve Constructions raisonnées (techniques dinvariants, etc.) pratique : expression proche dun langage à objets Expression fondée sur les types de données abstraits (classes, méthodes) appliquée : exécution dexemples « à la main »

11 UN EXEMPLE DE MODELISATION

12 LE PROBLEME DES TRAVERSEES DONNEES : 3 couples (h1, f1) (h2, f2) (h3, f3) 1 bateau (sans passeur) de deux places, sur la rive de départ CONTRAINTE Aucun homme ne laisse, en son absence, sa femme en compagnie dun autre homme OBJECTIF Traversées des trois couples en utilisant le bateau

13 H1 F1 H2 F2 H3 F3

14 H1 et F1 vont traverser H1 F1 H2 F2 H3 F3

15 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

16 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

17 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

18 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

19 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

20 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

21 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

22 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

23 H1 et F1 traversent H2 F2 H3 F3

24 H2 F2 H3 F3 H1 F1 F1 peut-elle revenir seule? NON!

25 H2 F2 H3 F3 H1 F1 peut-elle revenir seule? NON! F1

26 H2 F2 H3 F3 H1 F1 peut-elle revenir seule? NON! F1

27 H2 F2 H3 F3 H1 F1 peut-elle revenir seule? NON! F1

28 H2 F2 H3 F3 H1 F1 H1 peut-il revenir seul? OUI!

29 H2 F2 H3 F3 F1 H1 revient

30 H2 F2 H3 F3 H1 revient

31 H2 F2 H3 F3 H1 revient

32 H2 F2 H3 F3 H1 revient

33 H2 F2 H3 F3 H1 revient

34 H2 F2 H3 F3 H1 revient

35 H2 F2 H3 F3 H1 revient

36 H2 F2 H3 F3 H1 revient

37 H2 F2 H3 F3 H1 revient

38 H2 F2 H3 F3 H1

39 2F 3H 3F 2H MODELISATION DES ETATS 3F 3H

40 2F 3H MODELISATION DES ETATS 3F 3H 2F 2H 1F 3H 3F 3H 1F 1H 2F 1F 0

41 2F 3H 2F 2H 1F 3H 3F 3H 1F 1H 2F 1F 0 F1 et F2 traversent H1 et F1 traversent H1 traverse F1 traverse F1 et F2 traversent F3 traverse H1 et H2 traversent 3F 3H MODELISATION DES TRANSITIONS ALLER

42 2F 3H 2F 2H 1F 3H 3F 3H 1F 1H 2F 1F H1 revient F1 revient F1 et F2 reviennent F3 revient H1 et H2 reviennent MODELISATION DES TRANSITIONS RETOUR 0 3F 3H

43 2F 3H 2F 2H 1F 3H 3F 3H 1F 1H 2F 1F TRACE DES SOLUTIONS 0 3F 3H