Les proportions

Lorsqu’une grandeur augmente et que l’autre augmente proportionnellement, la proportion est directe. « Plus je vais vite, plus je parcours de km » Lorsqu’une grandeur augmente et que l’autre diminue proportionnellement, la proportion est indirecte. « Plus je vais vite, moins je mets de temps »

Grandeurs directement proportionnelles Une douzaine d’oeufs coûte fr. 6.50. Combien coûtent 17 oeufs ? Exemples de problèmes : Un automobiliste valaisan part en vacances. Arrivé à Bulle, il voit « Kloten 220 km ». Combien de temps lui reste-il à rouler jusqu’à l’aéroport sachant qu’il a mis 70 minutes pour faire les 97 premiers km ? En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galerie de 45 mètres. Combien d’ouvriers fallait-il engager sur ce chantier pour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ?

Résumé : 12 oeufs valent fr. 6.50 17 oeufs valent fr. ? 70 minutes pour effectuer 97 km ? minutes pour effectuer 220 km 9 ouvriers creusent 45 mètres ? ouvriers creusent 65 mètres Constatation : Dans ces problèmes trois termes d’une proportions sont connus, il s’agit de déterminer le quatrième.

a) Rechercher la valeur d’une unité Méthode 1 - Le raisonnement - a) Rechercher la valeur d’une unité b) Calculer la valeur pour le nombre d’unités cherchées.

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Raisonnement 1. Ramener la donnée à l'unité 2. Multiplier le nombre donné par la valeur de l'unité

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Raisonnement 1. Ramener la donnée à l'unité 1 œuf = 6,50/12 = CHF 0.54166 2. Multiplier le nombre donné par la valeur de l'unité 17 œufs = 0.5416 x 17 = CHF 9.20

a) Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ? Méthode 2 - Le coefficient de proportionnalité - 12 oeufs 17 oeufs : 1.846 Fr. 6.50 fr. ? a) Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ? b) Appliquer le coefficient à la valeur cherchée :

Méthode 2 - Le coefficient de proportionnalité - ou 12 oeufs 17 oeufs : 1.846 x 0.5416 Fr. 6.50 fr. ? a) Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ? b) Appliquer le coefficient à la valeur cherchée :

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Proportionnalité 1. Chercher le coefficient de proportionnalité 2. Appliquer ce coef. à la valeur donnée.

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Proportionnalité 1. Chercher le coefficient de proportionnalité 12 oeufs 17 oeufs CHF 6.50 ? X 0.5416 2. Appliquer ce coef. à la valeur donnée. 17 x 0.5416 = CHF 9.20

Une proportion est l’égalité de deux rapports Méthode 3 - La règle de trois - Une proportion est l’égalité de deux rapports 3 est à 4 comme 15 est à 20 La proportion contient 4 termes : Le premier (ici) 3 et le quatrième (20) sont les extrêmes Le deuxième (4) et le troisième (15) sont les moyens

Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens La règle de trois (suite) Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens 3 x 20 = 4 x 15

Dans les problèmes de proportionnalité il manque un carreau ! La règle de trois (suite) Dans les problèmes de proportionnalité il manque un carreau ! Trois termes sont connus, il faut déterminer le quatrième.

Le terme orphelin d’un produit est le dénominateur La règle de trois (suite) Calcul : 20 x ? = 4 x 15 Truc Le terme orphelin d’un produit est le dénominateur

l’orphelin des produits croisés La règle de trois (suite) Reprenons notre exemple ! Une douzaine d’oeufs coûte fr. 6.50. Combien coûtent 17 oeufs ? 12 6.50 17 ? La règle de trois, une histoire de carreau ! l’orphelin des produits croisés Réponse : 17 X 6.50 ---------------- 12

? 70 min 97 km 220 km La règle de trois (suite) Exercice Un automobiliste valaisan part en vacances. Arrivé à Bulle, il voit « Kloten 220 km ». Combien de temps lui reste-il à rouler jusqu’à l’aéroport sachant qu’il a mis 70 minutes pour faire les 97 premiers km ? 70 min 97 km 220 km ? Réponse : 70 X 220 ---------------- 97 = 158 min

? 9 ouv. 45 m. 65 m. La règle de trois (suite) Exercice En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galerie de 45 mètres. Combien d’ouvriers fallait-il engager sur ce chantier pour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ? 9 ouv. 45 m. 65 m. ? Réponse : 9 X 65 -------------- 45 = 13 ouvriers

Traité d'arithmétique du feu Sieur Barrême (1780)

O b s e r v a t i o n s sur la Règle de Trois La Régle de Trois est si universelle, que par elle on résout les plus difficiles questions qui peuvent survenir sur les nombres et sur les affaires humaines; elle est facile est utile aux gens d'épée et de plume…

Voici un cas intéressant ! Règles de trois successives Voici un cas intéressant ! De l’avoine canadienne est importée au prix d’achat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix de revient en Suisse par quintal, sachant que les frais d’achat s’élèvent à 10% du prix d’achat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr. 1.60 1 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) 1 lb pèse 453,6 grammes Réponse : L’avoine canadienne revient en Suisse à Fr. 135.35 le quintal.

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Règle de trois Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 1. Poser les proportions 2. Multiplier les deux éléments de la diagonale complète et diviser par l'élément seul.

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Règle de trois Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 1. Poser les proportions 17 x 6.50 = CHF 9.20 12 2. Multiplier les deux éléments de la diagonale complète et diviser par l'élément seul.

A utiliser lorsqu’il y a plusieurs règles de trois successives… Méthode 4 - La conjointe - A utiliser lorsqu’il y a plusieurs règles de trois successives…

I N S T R U C T I O N Cette Règle de Trois conjointe s'appelle ainsi, parce que par elle on joint autant de Règles de Trois que l'on veut… …mais aussi elle est plus excellente et plus parfaite; parce que par elle on peut résoudre les Règles les plus difficiles qui peuvent survenir dans le grand Commerce…

La conjointe (suite) La conjointe est un procédé arithmétique (et non mathématique !!!) très utile lorsque plusieurs règles de trois successives sont nécessaires pour résoudre un problème. Elle se compose d’une suite de rapports où les quantités de gauche sont appelées antécédents et cette de droite conséquents.

La conjointe (suite) Marche à suivre : 1) Poser la question du problème sous forme d’égalité, le premier terme de la conjointe étant l’inconnue. 2) L’antécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport. 3) L’antécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite… 4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que l’inconnue. 5) La valeur de l’inconnue s’obtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents.

17 x 6.50 12 La conjointe (suite) Une douzaine d’oeufs coûte fr. 6.50. Combien coûtent 17 oeufs ? 17 x 6.50 12

17 x 6.50 12 x 1.56 = 5.90 € La conjointe (suite) Une douzaine d’oeufs coûte CHF 6.50. Combien coûtent 17 oeufs en Euros ? Renseignement : 1 € vaut CHF 1.54 17 x 6.50 12 x 1.56 = 5.90 €

Voici un cas intéressant ! La conjointe (suite) Voici un cas intéressant ! De l’avoine canadienne est importée au prix d’achat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix de revient en Suisse par quintal, sachant que les frais d’achat s’élèvent à 10% du prix d’achat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr. 1.60 1 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) 1 lb pèse 453,6 grammes

La conjointe (suite) Marche à suivre : De l’avoine canadienne est importée au prix d’achat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix en Suisse par quintal, sachant que les frais d’achat s’élèvent à 10% du prix d’achat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr. 1.60 - 1 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) - 1 lb pèse 453,6 grammes Marche à suivre : 1) Poser la question du problème sous forme d’égalité, le premier terme de la conjointe étant l’inconnue. 2) L’antécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport. 3) L’antécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite… 4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que l’inconnue. 5) La valeur de l’inconnue s’obtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents. Réponse : L’avoine canadienne revient en Suisse à Fr. 135.35 le quintal.

La conjointe (suite) Marche à suivre : De l’avoine canadienne est importée au prix d’achat de $ 15.- le boisseau. Quel est le prix en Suisse par quintal, sachant que les frais d’achat s’élèvent à 10% du prix d’achat ? Renseignements : 1 $ can vaut Fr. 1.60 - 1 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) - 1 lb pèse 453,6 grammes Marche à suivre : 1) Poser la question du problème sous forme d’égalité, le premier terme de la conjointe étant l’inconnue. 2) L’antécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport. 3) L’antécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite… 4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que l’inconnue. 5) La valeur de l’inconnue s’obtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents. Réponse : L’avoine canadienne revient en Suisse à Fr. 135.35 le quintal.

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Conjointe 1. Poser la question sous forme d'égalité (correspondance) 2. Le terme de gauche de l'égalité suivante est de même nature que le terme de droite de l'égalité précédente…

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Conjointe 1. Poser la question sous forme d'égalité (correspondance) x CHF => 17 oeufs 12 oeufs => 6.50 CHF 2. Le terme de gauche de l'égalité suivante est de même nature que le terme de droite de l'égalité précédente… 17 x 6.50 = CHF 9.20 12

Cette méthode sera abordée en mathématiques… Méthode 5 - L’algèbre - Cette méthode sera abordée en mathématiques…

Une douzaine d’oeufs coûte fr. 6.50. Combien coûtent 17 oeufs ? X = prix d'un oeuf Equation : 12 X = 6.50 Calcul : 12 X = 6.50 X = 6.50/12 X = 0.54166 17 X = 9.20

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Algèbre 1. Définir l'inconnue 2. Poser l'équation 3. Résoudre l'équation

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Algèbre 1. Définir l'inconnue x = prix d'un oeuf 12 x = 6.50 x = 0.54166 17 x = 9.20 2. Poser l'équation 3. Résoudre l'équation

Méthode 6 - Les parties aliquotes - Méthode obsolète… Du temps où les calculettes n'existaient pas, on cherchait des astuces pour simplifier les calculs oraux. aliquote aliquote [alikɔt] adjectif et nom féminin [ARITHM. ] Vx. Partie aliquote d'un nombre, diviseur d'un nombre autre que lui-même. Le Petit Larousse illustré 1999. © Larousse, 1998.

En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galerie de 45 mètres. Combien d’ouvriers fallait-il engager sur ce chantier pour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ? 9 ouvriers = 45 mètres 1 ouvrier = 5 mètres 3 ouvriers = 15 mètres 13 ouvriers = 65 mètres

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Parties aliquotes 1. Décomposer un nombre en parties entières 2. Additionner les valeurs correspondantes

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ? Parties aliquotes = 6.50 6 = + 3.25 1 = - 0.55 17 = 9.20 1. Décomposer un nombre en parties entières 2. Additionner les valeurs correspondantes

Autre problème Jean a des fils. Son fils aîné a 1 fois et demi l'âge du second. Le second a quatre ans de plus que le dernier. Le dernier a exactement la moitié de l' âge de l' aîné.   Question: Quel âge ont ses fils? Autre problème X = âge du dernier X + 4 = âge du second 1,5(X + 4) = âge de l'aîné Equation : 2 X = 1,5(X + 4) Calcul : 2 X = 1,5(X + 4) 2 X = 1,5X + 6 0,5 X = 6 X = 12 Aîné = 24 Second = 16 Dernier = 12

- Combinaison de proportions (1) - Dans une bergerie, 5 bergers ont tondu 3150 kg de laine en travaillant 8h3/4 par jour pendant 6 jours. Combien d'heures par jour 4 bergers devraient-ils travailler pour produire 2280 kg en 5 jours ?

Dans une bergerie, 5 bergers ont tondu 3150 kg de Laine en travaillant 8h3/4 par jour pendant 6 jours. Combien d'heures par jour 4 bergers devraient-ils travailler pour produire 2280 kg en 5 jours ? Plus on travaille d'heures par jour, moins il faut de jours. Proportion inverse Plus il y a de bergers, plus ils produisent. Proportion directe Plus il y a de kg, plus il faut travailler d'heures par jour. Proportion directe Calcul : 5 x 2280 x 8.75 x 6 4 x 3150 x 5 = 9.5 heures

- Combinaison de proportions (2) - Une compagnie de taxis dispose de 8 voitures, qui roulent 15 heures par jour et sont conduites par 12 chauffeurs. Elle désire : supprimer un véhicule; augmenter la durée de service de chaque véhicule de 3 heures ; diminuer la durée du travail de chaque chauffeur de 1 heure. Combien devra-elle engager de nouveaux employés ?

Calcul : 7 x 18 x 12 x 10 8 x 15 x 9 = 14 chauffeurs 8 voitures – 15 h/j – 12 chauffeurs qui travaillent (8 x 15 / 12) soit 10 h/j. 7 voitures – 18 h/j – x chauffeurs qui travaillent 10-1 h/j. Plus il y a de chauffeurs, moins ils doivent travailler d'heures. Proportion inverse Plus il y a de voitures, moins elles doivent rouler d'heures. Proportion inverse Plus il y a de voitures, plus il faut de chauffeurs. Proportion directe Calcul : 7 x 18 x 12 x 10 8 x 15 x 9 = 14 chauffeurs Il faut en engager 2

- Quand ça se complique !!! - Il faut réfléchir …

Un chevalier voulait se rendre au château d'une princesse. Il devait arriver à 17h00 exactement. Habile en mathématiques, il calcula s'il voyageait 15 kilomètres par heure, il arriverait une heure trop tôt. S'il voyageait 10 kilomètres par heure, il arriverait une heure trop tard. Questions :  1- Quelle est l' heure de son départ?                         2- Quelle distance voyagea-t-il?                         3- À quelle vitesse voyageait-il?

Raisonnement sur le temps : Pour faire 10 km, il faut 16 h 17 h 18 h 15 km/h 10 km/h 2 heures et 20 km Raisonnement sur le temps : Pour faire 10 km, il faut Raisonnement sur le temps : Pour faire 10 km, il faut 60 min. à 10 km/h et 40 min. à 15 km/h. Ecart = 10 km par 20 minutes. Donc 60 km pour 2 heures d'écart. Raisonnement sur la distance : Après 1h. il y a … km d'écart. Raisonnement sur la distance : Après 1h. il y a 5 km d'écart. L'écart de 20 km s'est creusé en 4 h. Donc départ à 12 heures. Vitesse : Il faut faire 60 km en … heures. Vitesse : Il faut faire 60 km en 5 heures. Donc 12 km/h

F i n …et que la proportionnalité ne t’empêche pas de dormir ! © Y. Péguiron - 02.09.01

Coefficient de proportionnalité Règle de trois Les proportions Trois exemples Raisonnement Coefficient de proportionnalité Règle de trois Solution exemple Ex. avoine Conjointe Solution avoine Algèbre Autres problèmes Ça se complique Fin © Y. Péguiron - 02.09.04