Equation de diffusion dans l’espace des échelles: Journée « Géométries multi-échelle, théorie constructale et exergie » Société Française de Thermique, 16 mars 2006 Equation de diffusion dans l’espace des échelles: la notion de diffusivité d’échelle Diogo Queiros-Conde Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées Unité Chimie et Procédés Pour plus de détails: D. Queiros-Conde, Proc. Roy. Soc. Lond. (2003) 459, 3043-3059

Besoin d’une description plus fine dans l’espace des échelles. Géométrie fractale  Une avancée incontestable: sensibilisation à la dimension « échelle » De nombreuses études mais déviations à la fractalité importantes. Le nombre de décades est faible. Voir Avnir et al. (1998) (histogramme centré sur 1.3 décade) Dimension fractale dépend de l’échelle : PROBLEME ! ! Pouvoir prédictif faible (sans théorie d’appoint…) Kadanoff (1986) : “Fractals :Where is the physics ? ” Saffman (1991): “ I would say that the attempts to represent or describe turbulent flows, or the evolution of chaotic systems using fractals is essentially a botanical description, unless you can do some prediction, or make some theory to say what is happening…” Besoin d’une description plus fine dans l’espace des échelles. Pour cela, il faut considérer l’espace des échelles comme une dimension spatiale à part entière ---> 4 dimensions d’espace?

l k l Nk,i = Nk,j Nj,i i l j

l0 Système multi-échelle : Gamme d’échelles li appartenant à [lc, l0] CORPS CRÊTE Système multi-échelle : Gamme d’échelles li appartenant à [lc, l0]  Echelle logarithmique : x=ln(li/l0) « Volume-échelle » Vi: volume occupé par le système à l’échelle li Entropie d ’échelle: Si,0=ln(V0/Vi) Gradient d’entropie d’échelle:

Définition de l’entropie d’échelle li Si,0=ln[W(li)] Analyse en échelles Cas particulier: fractal lnN(li) ln(li ) Loi générale d’évolution pour l’entropie d’échelle ?

Equation de bilan en régime permanent Notations : x=ln(li/l0) Sx=Si,0, Dx=Di , fx=fi , fx=dSx/dx=Dx-d. -fx+fx+dx-w(x)dx=0 où w(x) est le puits d’entropie CAS PARTICULIER 1: FRACTALITE Le fractal devient un cas particulier : w(x)=0 Puits d’entropie nul et régime permanent CAS PARTICULIER 2: w(x)=b Puits d’entropie uniformément distribué dans l’espace des échelles ---> Invariance d’échelle parabolique

lnNi,0=_[(b/2)x2+D0x] : analyse en échelle est parabolique INVARIANCE D’ECHELLE PARABOLIQUE : w(x)=b Puits d’entropie uniforme (“ équipartition ” ) dans l’espace des échelles d2Sx/dx2-b=0 , Sx=(b/2)x2+(D0-d)x lnNi,0=_[(b/2)x2+D0x] : analyse en échelle est parabolique Dimension fractale est linéaire en fonction du logarithme de l’échelle Des expressions remarquables =(Di+Dj)/2 De nombreuses vérifications expérimentales Lien avec principe d ’équipartition de D. Tondeur?

U ’ UL l0 d UT UL U ’ Analyse en échelle parabolique (b/2=0.088) FLAMME TURBULENTE Interaction flamme-turbulence régime des « flammelettes » b=0.177 U ’ UL l0 d Analyse en échelle parabolique (b/2=0.088) Dimension fractale linéaire avec logarithme de l’échelle LOI DE VITESSE PARABOLIQUE U ’ UL UT Données de Ronney et al. (1995)

Agrégation limitée par la diffusion Fréquence des pannes sur le réseau électrique américain en fonction du nombre d’usagers touchés Réserves en pétrole du delta du Niger R. Anderson et A. Boulanger, Mechanical Engineering « Power and Energy », mars 2004 Taille du champ (Mb) vs rang du champ, distribution « fractale parabolique » J. Lahérrère (Colloque « Energie et développement durable », Bruxelles, 2000) n-1 Agrégation limitée par la diffusion

REGIME VARIABLE: DIFFUSIVITE D ’ECHELLE CRÊTE lc l0 CORPS t* D0 D Diffusivité d’échelle c (quantité nouvelle en physique) t* temps « total » de cascade Capacité à propager une perturbation dans l’espace des échelles (de “ peau en peau ”) En turbulence : t* =tKolmogorov c[(9/16)Re3/2(lnRe)2]/(l02/n).

Application aux interfaces passives CAS « FRACTALEMENT MINCE »: Application aux interfaces passives Temps Vérification expérimentale sur mesures ( Villermaux, E. & Innocenti, C. 1999) Yt=Ln[(Dt-D0)/(D-D0)] en fonction de t/th ( D=2 )

t* CORPS l0 tc,i lc En turbulence : t* =tKolmogorov CRÊTE t* lc li tc,i TRANSFERT D’INFORMATION ENTRE ECHELLES Temps de “ liaison ” : gamme [ lc; li] Temps d’auto-correlation à l’échelle li : Fraction du temps total de cascade tc,i = Fc,i t* En turbulence : t* =tKolmogorov Experience 1: Expérience de Honoré & Grésillon (2000) (diffusion collective de la lumière sur un jet turbulent) Experience 2: Mesures Poulain, Baudet, Gagne (2003) (par diffusion d’ultrasons) tc,i/t* mesuré et calculé vs Fc,i tc,i/t* mesuré vs tc,i/t* calculé

- Vers une dynamique d’échelle... - Lien avec des approches modernes PERSPECTIVES - Vers une dynamique d’échelle... - Lien avec des approches modernes de la thermodynamique (M.Feidt) Interprétation de l’entropie d’échelle Cas parabolique: connexion avec le principe d’équipartition de la production d’entropie (D. Tondeur) - Lien avec la théorie constructale (A. Bejan) Qui se dresse sur la pointe des pieds ne tient pas debout. Qui veut aller jambes écartées ne peut avancer. » Tao-te-king, verset 14