Initiation au calcul des structures dans le domaine plastique Elasto - plasticité en petite transformation Cours

Objectifs Introduction à la plasticité « classique » Aborder la résolution de problème non linéaire Utiliser un code de calcul en non linéaire

Plan Aspect physique - modèles analogiques Elasto-plasticité des barres (1D) étude des treillis Elasto-plasticité des poutres (3D ==> 1D) étude des portiques (rotule plastique) Critères 3D & règles d ’écoulement plastique

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Aspects physiques Elastiques (instantanées - réversibles) Visqueuses (fct du temps) Déformations Plastiques (irréversibles - non linéaire)

les Essais Ecrouissage Fluage - recouvrance Relaxation imposé mesuré

30/03/2017 Modèles rhéologiques Modèles « linéaires » ==> solides visco - élastiques Le ressort ou de l ’amortisseur peuvent être non linéaire

Modèles non linéaires Modèles de base de la plasticité

Essai de traction so Ecrouissage monotone s e ee (A) ep(A) observation Impossible à mesurer ==> Norme observation Ecrouissage monotone s e Domaine élastique ee (A) ep(A) A Cycles charges- décharges

Ce n ’est pas si simple !! 2ème passage 1er passage Il faut connaître l ’historique du chargement Caractère incrémental des lois de comportement en plasticité On utilise un temps cinématique = temps réel /

Ecrouissage s 2so e Ecrouissage ISOTROPE Ecrouissage monotone Même augmentation en traction et compression Wdef élastique Ecrouissage monotone s e Ecrouissage CINEMATIQUE Effet Baushinger durcissement dans un sens adoucissement dans l ’autre 2so

Modélisation s ss(E) e ET E Ds Etat présumé Etat réel Critère Loi d ’écoulement plastique Etat actuel (s,E)

Evolution élasto-plastique des Treillis Résolution Explicite Analytique (RDM) par la MEF Modèles EPP et EPE Chargements cycliques Résolution Numérique (MEF) Algorithmes de résolution des Pb non linéaire Newton-Raphson et N-R modifié Algorithme de projection sur le critère Calcul du résidus {Fint}-{Fext}

Application Structure à étudier Modèle EPP (pas d ’écrouissage)

Domaine d ’élasticité // à 1 D E 5 5 Phase élasto-plastique en compression En E ruine de la structure 3 Décharge élastique En C (F = 0) // à 1 Contraintes résiduelles : Les déformations plastiques ne vérifient pas les conditions de compatibilité 4 En D (F = - soS) Il y a plastification de la barre 2 en compression 2 Phase élasto-plastique En B ruine de la structure On ne peut pas calculer directement les déformations plastiques de la barre 2 1 Phase élastique En A : soS N1 N2 6 C' A' 6 Phase élastique D 7 7 Phase élasto-plastique Le domaine d'élasticité n'est pas modifié au cours du chargement car le matériau est EPP 1 A 2 B Domaine d ’élasticité 3 C D 4

N1 N2 Ecrouissage ISOTROPE

Ecrouissage CINEMATIQUE

ALGORITHME DE PROJECTION ==> Résolution numérique Principe Incrément de charge donné Calcul élastique ==> Pour chaque élément Élastique ou non ? ALGORITHME DE PROJECTION ==> ==> Assemblage et calcul du résidu {R} = {DFext}-{DFint} Si Il faut itérer

Convergence la plus rapide Algorithme de résolution Maillage éléments finis Définition de l ’historique du chargement (incréments DF) Définition des lois de comportement so ,E ,ET Calcul de [K] Pour chaque incrément {DF} Initialisation du résidu {R} <== {DF} Tant que || {R} || > e Calcul de {DU} = [K]-1 {R} Pour chaque élément déformation ==> projection {DFint}e fin pour Nouveau résidu {R} = {R} - {DFint} fin tant que Impression des résultats de l ’incrément U F F = K(u) U Convergence la plus rapide Calcul de [K(u)] DF Solution cherchée Convergence lente {R1}

s e PROJECTION sur le critère de plasticité ET E Dse Dep Dee De 30/03/2017 PROJECTION sur le critère de plasticité si s+Dse > ss(E) élément en cours de plastification Dse Etat réel Dep Dee Projection sur le critère Etat présumé De Cas particulier s = ss(E) incrément plastique ss(E) s e E ET Etat actuel (s,E) si non s+Dse < ss(E) incrément élastique

A vous de jouer ...

Plasticité des poutres Rappels Hypothèses de Bernoulli 1 2 4 L.C. Elastique Intégrée sur la section Equations « PFD » 3 4 équations pour 4 champs ==> résolution En plasticité ce qui change c ’est la LC intégrée on pose

Objectif : obtenir la LC élasto-plastique Essai de flexion pure ==> Mf = cte Début de plastification des fibres pour Pour LC élasto-plastique

Facteur de forme plastique d ’une section Représente la réserve vis à vis de la plastification totale : 1 pas de réserve

Essai de flexion simple Négligeons T et utilisons la LC ==>

Modèle simplifié - rotule plastique Etude de Comportement asymptotique ==> notion de rotule plastique Modèle simplifié - rotule plastique Application Etude des portiques charges limites

==> Rotule plastique en A pour Phase élastique ==> critère ==> Rotule plastique en A pour Phase élasto-plastique ==> F2 charge de ruine critère

A vous de jouer ...

Doit respecter les symétries matérielles Plasticité 3D Critère (fonction de charge) État actuel est intérieur au domaine d ’élasticité État actuel se situe sur la frontière du domaine (état plastique) Un état extérieur au domaine d’élasticité est physiquement impossible à obtenir Le domaine d’élasticité représente l’ensemble des états s admissibles. Modèle EPE Modèle EPP Ecrouissage « E » Doit respecter les symétries matérielles

==> utilisation du déviateur des s ==> essai de traction : Critère de Von Mises (1910) Pour les métaux Partie sphérique ==> utilisation du déviateur des s Fonction de charge ==> essai de traction : { sVM Contrainte de Von Mises

Critère dit de cisaillement maximal Critère de Tresca (1870) Contraintes principales sT Contrainte de Tresca Critère dit de cisaillement maximal Tresca plus sévère de 13%

Dissipation plastique Loi d ’écoulement plastique Principe de Hill Dissipation plastique associée à ==> De est convexe dep est normal à la surface de charge Loi de normalité Von Mises ==>

Principe de la résolution numérique Soit la solution de Pour chaque élément Aux points de Gauss La sol. Supposée élastique Si OK schéma numérique Schéma idéal Si non il faut projeter sur De