Modélisation Bond Graph 2- Causalité R1 d1(t) h1(t) d2(t) h2(t) d3(t) S2 S1 R2 1-1- Notion de causalité 1-2- Affectation de la causalité 1-3- Propagation de la causalité 1-4- Cas particuliers 1-5- Exercices C : S1 R : R1 R : R2 h1 d2- d1 h1 d2 h2 d3 h1 h1 h2 h2 Sf : d1 1 C : S2 d1 d2 d2 d2 -d3 EEA / Commande des systèmes industriels PAG + FM

- Définit les relations de cause à effet en vue de la commande Introduction Notion fondamentale : - Définit les relations de cause à effet en vue de la commande - Structure les équations en vue de la résolution - Permet la détection d’erreurs de modélisation La causalité a un sens physique Exemple : Moteur à courant continu Γ  u i Le moteur tourne car il est alimenté L’alimentation électrique du moteur est la cause et sa rotation la conséquence BG2-1- Notion de causalité

Expression de la causalité dans les Bond Graph 2 cas possibles : - A impose l’effort à B qui en retour impose le flux à A A B e f A B e f f = φ(e) barre de causalité - A impose le flux à B qui en retour impose l’effort à A A B e f A B e f e = φ(f) La barre de causalité est du côté de l’élément qui impose le flux ou à qui l’effort est imposé BG2-1- Notion de causalité

Causalité intégrale, causalité dérivée est une causalité intégrale est une causalité dérivée Exemple : Mise en mouvement d’une masse F V I : m m V F La masse acquiert de la vitesse car elle est soumise à une force f = φ(e) On impose la force à la masse, on ne peut pas imposer sa vitesse Il peut y avoir une discontinuité de l’effort, pas de la vitesse (raison énergétique) PFD: ou C’est la force qui est imposée → causalité intégrale Il n’existe (à priori) pas de système physique à causalité dérivée BG2-1- Notion de causalité

Préférence à la causalité intégrale Recherche d’une loi de commande Principe de l’inversion de modèle : puisqu’on connaît les effets d’une cause, il suffit de choisir la bonne cause pour obtenir l’effet désiré, à condition que le modèle respecte la causalité naturelle (intégrale) ... Résolution des équations Il est souhaitable d’obtenir des équations sous la forme qui conduit à l’implantation C’est une équation différentielle ordinaire (ODE), qui se résout avec les méthodes d’intégration explicites comme celle de Runge Kutta Si certains éléments restent en causalité dérivée, il apparaîtra des équations algébro-différentielles de la forme Elles sont traitées par des méthodes d’intégration implicites, plus délicates à utiliser → Il faut privilégier la causalité intégrale BG2-1- Notion de causalité

Causalité des sources et de l’éléments R Causalité imposée Source d’effort Source de flux Se Sf e imposé par Se f imposé par Sf Causalité indifférente Elément R R f = e/R e = R.f Cas particulier : frottement sec F v Pour F donné, on ne connaît pas forcément v → Causalité flux R BG2-2- Affectation de la causalité

Causalité des éléments I et C Causalité préférentielle = intégrale Elément I I Elément C C Dans le cas où il faudrait utiliser la causalité dérivée, les équations diffèrent : I C BG2-2- Affectation de la causalité

Causalité des jonctions Restrictions de causalité Jonction 1 Egalité des flux → un seul lien impose le flux à la jonction → un seul lien sans trait causal près du 1 3 1 4 2 ici c’est f3 qui s’impose : f1 = f2 = f4 = f3 e3 = e1 + e2 - e4 Jonction 0 Egalité des efforts → un seul lien impose l’effort à la jonction → un seul lien avec trait causal près du 0 3 1 4 2 ici c’est e1 qui s’impose : e2 = e3 = e4 = e1 f1 = -f2 + f3 + f4 BG2-2- Affectation de la causalité

Causalité du transformateur et du gyrateur Restrictions de causalité (suite) Transformateur Pas de permutation de la nature énergétique → même causalité en entrée et en sortie → affectation symétrique de la causalité 2 cas TF : m 1 2 e1 = m.e2 f2 = m.f1 e2 = 1/m.e1 f1 = 1/m.f2 Gyrateur Permutation de la nature énergétique → affectation antisymétrique de la causalité GY : r 1 2 e1 = r.f2 e2 = r.f1 f2 = 1/r.e1 f1 = 1/r.e2 BG2-2- Affectation de la causalité

Règles de propagation de la causalité Affecter les causalités imposées par les sources Mettre les éléments I et C en causalité intégrale Propager les causalités aux jonctions, transformateurs et gyrateurs Affecter les causalités (de façon indifférente) aux éléments R L’étape 2 peut amener des conflits de causalité. On peut alors : - accepter de changer une causalité intégrale en une causalité dérivée et reprendre en 3 (causalité mixte) - reprendre la modélisation en ajoutant des éléments qui auraient été négligés (par exemple en mécanique un élément C qui tient compte de la flexibilité d’une pièce), ou à l’inverse en simplifiant le modèle (par exemple en mécanique en ramenant les inerties sur le même axe) BG2-3- Propagation de la causalité

Exemple : Système masse ressort V1 V2 f F K2 K1 m1 m2 + Bond Graph simplifié du 1-5- ... I : m1 Se : F I : m2 C : 1/K2 C : 1/K1 R : f 1 : V1 1 : V2 1 : V3 BG2-3- Propagation de la causalité

Causalité non unique ou non définie Il n’y a pas toujours unicité dans l’affectation de la causalité aux éléments R Ce degré de liberté peut créer des équations implicites problématiques pour la résolution numérique Causalité non définie Exemple : Charge d’une batterie conflit ! Vg Vb Chargeur Batterie Se : Vg 1 : I Solution : ajouter un élément R qui modélise la résistance du fil Se : Vg 1 : I R : R Vg Vb BG2-4- Cas particuliers

Exemple : Bras de levier Causalité mixte Exemple : Bras de levier K m2 m1 a b V1 V2 F V2 / V1 = b/a I : m1 I : m2 Se : F 1 : V1 TF : b/a 1 : V2 C : 1/K2 conflit ! Cause : Traduction de la dépendance existant entre les vitesses des 2 masses Solutions : - accepter une causalité mixte : mettre m1 ou m2 en causalité dérivée - réunir les 2 masses en une seule ayant une inertie équivalente - introduire une flexibilité du levier (ajoute une variable d’état...) BG2-4- Cas particuliers

Exercices Ve Vs R C L 1 : I1 + I2 0 : V Se : Ve C : C R : R I : L Se : C R : R3 C : 1/K1 I : J 1 : 1 1 : 2 1 : V1 TF : D/2 BG2-5- Exercices

Conflits de causalité à cause de la non prise en compte de K2 K3 Sf : V12 I : M1.r² 1 : 3 1 : V45 1 : V3 TF : -r TF : 1/r Se : – M1.g I : M1 C : 1/K4 I : M2 Se : – M2.g K2 K3 Conflits de causalité à cause de la non prise en compte de K2 K3  relations entre les vitesses... BG2-5- Exercices