Contexte historique et religieux des mathématiques en Inde Trois grands mathématiciens de cette époque Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiées par les religieux) se manifestent brillamment dès le Ve siècle avec : ARYABHATA - affirmation de la rotation de la terre alors considérée immobile au centre de l'univers (Ptolémée/Aristote), - extraction des racines carrées et cubiques, - résolution d’équations diophantiennes, - utilisation d’un système décimal positionnel où zéro apparaît implicitement ;(?) BRAHMAGUPTA - invention du zéro liée à l'usage d'un système décimal positionnel, - règles des signes relatives à la multiplication ; BHASKARA - a utilisé correctement le zéro, - a effectué des calculs avec l'infini et - a manié avec facilité les opérations sur les racines carrées.

Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA Classification des mathématiques indiennes Les mathématiques « pratiques » - construction régulière (carré, disque, trapèze, triangle, etc.); - quadrature du cercle, approximations de nombres irrationnels; - triangles rectangles à côtés entiers (propriété de Pythagore). Les mathématiques « théoriques »  - calcul élémentaire; - études et résolution d’équations; - calculs trigonométriques. 

Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA Qui est BRAHMAGUPTA ? IL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à Multan (Pakistan) (?) Il dirigeait un observatoire astronomique à Ujjain. Il a écrit deux livres : Son premier livre « Brahma-sphuta-siddhanta », écrit en 628 à l’âge de 30 ans, contient 25 chapitres de mathématiques. Définition du zéro = résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, Il explique la notion décimale de la position en utilisant les neuf chiffres et le zéro, On trouve la règle des signes sur les biens (positifs), les dettes (négatifs) et le néant (zéro), Il donne une méthode de calcul « la gomutrika », Il généralise la formule de Héron d’Alexandrie, Il nous lègue une identité qui porte son nom, Il a utilisé la barre de fraction et effectué des réductions au même dénominateur pour des sommes de fractions, Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue qu'il appelle « ya », (?) Il étudie des équations diophantiennes, Il a aussi utilisé une technique qui s'apparente à un logarithme de base 2, Il a établi une règle d'interpolation que développera Newton plus tard, Son deuxième livre « Khandakhadyaka » a été écrit à l’âge de 67 ans, Il avait poursuivi ainsi les travaux d’ARYABHATA (476-550) sur des cas particuliers d’équations d’inconnues entières du type ax + by = c Il explique que la terre fait le tour du soleil en 365 j, 6 h et 36 sec. diophantiennes. Il a aussi utilisé

Apports de BRAHMAGUPTA Arithmétique des nombres négatifs et de zéro BRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des calculs de pertes et de profits, des règles sur les nombres négatifs. Ayant défini le zéro comme le résultat de la soustraction d’un nombre par lui-même, il lui associe ces règles de calculs : - Zéro soustrait de zéro est zéro ; - Zéro soustrait d’une dette est une dette ; - Zéro soustrait d’un bien est un bien ; - Une dette soustraite de zéro est un bien ; - Un bien soustrait de zéro est une dette ; - Le produit de zéro multiplié par une dette ou un bien est zéro ; - Le produit ou le quotient de deux biens est un bien ; - Le produit de zéro multiplié par zéro est zéro ; - Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien ; - Le produit ou le quotient d'une dette et d’un bien est une dette ; - Le produit ou le quotient d’un bien et d'une dette est une dette. (?) Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771 l’ouvrage de Brahmagupta en arabe, ces nouveaux concepts mathématiques auront une grande répercussion sur la science dans le monde musulman des VIIIe et IXe siècle et par la suite dans le monde occidental.

Évolution des nombres négatifs (780 – 850) (?) Al Khawarizmi accepte les termes négatifs dans les équations mais s’attache à s’en débarrasser au plus vite. (1445 -1500) Le français Nicolas Chuquet est un des premiers à isoler une valeur négative dans une équation avant le mathématicien italien Gerolamo Cardano (1501 - 1576). 1591, François Viète (1540 - 1603) avait aussi écarté les solutions négatives des équations. 1629, Albert Girard avait admis l’existence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. 1637, René Descartes (1596 -1650) qualifie de « moindres que rien » de telles solutions (2). 1715, Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 -1736) avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu d’une graduation évitant les températures négatives. 1742, Anders Celsius (1701- 1744) n’avait pas pris en compte les négatifs en mettant au point son thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100 degrés. Il a fallu attendre l’écossais Colin Maclaurin (1698 - 1746) puis le suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. 1746, le français Alexis Clairaut (1713 - 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération. 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) dans son « Cours d’analyse de l’École royale polytechnique » définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou d’un signe -. Enfin, l’allemand Hermann Hankel (1839-1873) donna aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut d’objet formel obéissant à des règles préétablies.

Apports de BRAHMAGUPTA Sa méthode de calcul: Gomutrika Aire d’un quadrilatère inscrit dans un cercle Identité de Brahmagupta Méthode de calcul : la Gomutrika Dans son premier ouvrage, Brahmagupta avait présenté une méthode de calcul, qu’il avait nommée « Gomutrika » dont la traduction est la « trajectoire de l’urine d’une vache ». Cette dernière est semblable à celle que nous utilisons encore de nos jours.

Aire d’un quadrilatère inscriptible Formule de Héron d’Alexandrie Formule de Brahmagupta Soit a, b et c les longueurs des côtés du triangle et p son demi périmètre tel que : p = (a + b + c) /2; alors l’aire du triangle est : Si a, b, c et d désignent les mesures des côtés et p = (a + b + c + d) /2 le demi périmètre, on peut vérifier ceci pour le carré et pour le rectangle (deux cas particuliers) :  Le carré : b=c=d=a, p=2a et A = Le rectangle : a=b=L, c=d=l, p=L+l et A =

L’identité de Brahmagupta Apports de BRAHMAGUPTA L’identité de Brahmagupta  En mathématiques, l'identité de Brahmagupta dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément : Cette identité peut facilement être vérifiée en développant les termes à gauche et à droite : Elle est très utilisée pour les entiers.

L’identité de Brahmagupta Par la suite Euler a élargi cette identité à l’identité des quatre carrés, énonçant que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés .

Apports de BRAHMAGUPTA Le parcours du zéro Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves achetait cinq esclaves qu'il revendait par la suite, il disait : il me reste cinq moins cinq esclaves. On était incapable d'exprimer le nul, le rien, par un signe symbolique. C’est le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était nommé « sifr » en arabe qui signifiait « vide ». On imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a fallu déployer pour circonscrire le concept de zéro. Essayez donc de figurer « quelque chose » là où il n'y a « rien » ! Selon les Grecs, le nombre zéro est en quelque sorte un nombre associé au vide, au néant. C'est seulement au Ve siècle après JC., que l'on voit apparaître, chez les Indiens, le zéro à la fois comme chiffre et comme nombre.

Le parcours du zéro 5.1. Repère chronologique La première étape nous mène à Babylone, au IIIe siècle av. J.-C. Apparition du premier zéro de l'histoire dans la numérotation positionnelle sexagésimale babylonienne. Il n'est cependant pas conçu comme un nombre, il sert simplement à exprimer l'absence d'unités d'un certain ordre. Le zéro maya était représenté comme ceci. Il était considéré comme un signe permettant d'indiquer l'absence d'unités d'un certain ordre. Les Indiens redécouvrent ensuite vers le Ve siècle de notre ère, la numérotation de position. Le zéro de position, qui était matérialisé par une encoche à Babylone, est ici marqué d'un point. Il évoluera bientôt pour prendre la forme d'un rond et était nommé « Sunya » qui signifie « vide » en langue indienne (le sanskrit).Traduit en arabe, Sunya, devient « Sifr » (vide). En 628, son apparition en Inde, tout particulièrement dans l‘œuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre, il est alors défini comme le résultat d'un nombre entier soustrait à lui-même, Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés « biens », « dettes » et « zéro ». 

Repère chronologique Il a fallu attendre le VIIIe siècle pour voir le zéro apparaître dans le monde arabe. Il fut introduit par un astronome indien à la cour du calif Al-Mansur, à Bagdad en même temps que tout le système de numération indien. Ce n'est qu’à partir du XIIe siècle que le zéro commença à se répandre en Occident, grâce notamment à la traduction du livre d'arithmétique publié en 820 par le grand mathématicien El-Khawarizmi. Mais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore en Occident pour savoir si le zéro était seulement un chiffre ou pouvait être considéré comme un nombre. Finalement, son statut de nombre fut admis par tous. Et l'on ajouta le zéro à ce que l'on appelle les entiers naturels. Avant d'être considéré comme un chiffre, il avait en effet pour but de remplir les vides.

Apports de BRAHMAGUPTA ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Un des premiers mathématiciens à avoir considéré ce genre de question est Diophante d’Alexandrie (325–409). La traduction, par Bachet de Méziriac (1581–1638) de la partie de ses œuvres qui était parvenue dans le monde occidental grâce aux mathématiciens arabes a été la source d’inspiration de Fermat (1601–1665). L’équation diophantienne y2 - dx2 = 1; dont les inconnues x et y sont dans Z, où d est un entier positif qui n’est pas un carré, porte le nom de Pell–Fermat, mais c'est une erreur due à Euler qui lui attribua faussement son étude. Pourtant elles ont été étudiées par le mathématicien indien Brahmagupta (598–670) bien avant Pell (1611–1685) et Fermat. Ce mathématicien indien s’est attaqué d’abord aux équations du type Nx2 + k = y2 et a donné une manière d’obtenir des solutions à partir d’un couple de solutions connu. Il a trouvé la plus petite solution en entiers positifs de l’équation x2−92y2 = 1, qui est (x, y) = (1 151, 120)

ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Au XIIe siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour l’équation x2−61y2 = 1 (qui sera plus tard considérée par Fermat) la solution (x, y) = (1 766 319 049, 226 153 980). Plus tard Narayana (~1340– ~1400), qui est aussi d’origine indienne, a obtenu pour x2−103y2 = 1 la solution (x, y) = (227 528, 22 419). Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens européens du XVIIe siècle, et c'est Fermat qui remit cette équation au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de solutions. Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, qui utilisera pour résoudre cette équation la théorie des fractions continues pour obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait !