SATELLITES LAGRANGIENS CLUB DES ASTRONOMES AMATEURS DE LAVAL J. François Audet

SATELLITES LAGRANGIENS Un peu d’histoire En 1772, le célèbre mathématicien italien-français Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) cherchait une méthode simple pour calculer les interactions gravitationnelles entre un nombre arbitraire de corps dans un système. La mécanique Newtonienne (ref : Sir Isaac Newton, 4 Jan 1643 – 31 Mar 1727, qui a publié Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, en 1687) avait conclu que dans un tel système, les corps se comporteraient de façon chaotique, jusqu’à ce qu’il y ait collision ou éjection de corps du système. C’est alors qu’il fit une découverte imprévue…

SATELLITES LAGRANGIENS Un peu d’histoire En mécanique Newtonienne, les calculs avec un seul corps sont triviaux. Lorsqu’il y a deux corps, la situation est assez simple, du fait que les deux corps se maintiennent en opposition, de chaque côté de leur centre de masse commun (barycentre). Lorsqu’il y a plus de deux corps, le problème se complique vite, car il faut calculer les effets de chaque corps sur les autres, en chaque point de l’orbite de chacun.

SATELLITES LAGRANGIENS Un peu d’histoire Lagrange découvrit cinq points, dans l’orbite d’un petit corps en orbite quasi-circulaire autour d’un corps beaucoup plus massif, où un troisième corps de masse quasi-négligeable par rapport à celles des deux autres, subit une force nette nulle de la part des deux autres. Ces points furent nommés “points Lagrangiens” en honneur de Lagrange. Plus de cent ans plus tard, au début des années 1900, on observa les astéroïdes Troyens, aux points de Lagrange du système Soleil-Jupiter.

SATELLITES LAGRANGIENS Les cinq points de Lagrange

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L1 Un corps qui orbiterait entre le Soleil et la Terre devrait orbiter le Soleil plus rapidement que ne le fait la Terre. Par contre, cette conclusion ne tient pas compte de l’attraction de la Terre sur ce corps. Cette attraction a pour effet de diminuer l’attraction exercée par le Soleil sur le troisième corps, et de ce fait, son orbite est ralentie. En fait, au point L1, le corps est synchrone avec la période de révolution de la Terre.

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L1, suite Le “Solar and Heliospheric Observatory” (SOHO) est stationné au point L1 du système Soleil-Terre. À cet endroit, l’observatoire SOHO peut toujours voir le Soleil, n’étant jamais gêné ni par la Terre, ni par la Lune. De la même façon, une base de ravitaillement pour une base lunaire pourrait être stationnée au point L1 du système Terre-Lune.

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L2 De la même façon, un corps qui orbiterait le système Soleil-Terre à l’extérieur de l’orbite de la Terre devrait avoir une période de révolution plus longue que la Terre. Mais l’attraction combinée du Soleil et de la Terre sur l’objet l’oblige a avoir une période de révolution plus rapide que prévue. Au point L2, la période de révolution d’un corps est synchrone avec celle de la Terre autour du Soleil.

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L3 Il existe un point, de l’autre côté du Soleil, à l’opposé de la Terre, où un corps pourrait orbiter autour du Soleil avec une période de révolution égale à celle de la Terre. C’est le point de Lagrange L3.

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L4

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L4 Si on place un corps sur la même orbite que la Terre autour du Soleil, il suffit de la placer de façon à ce qu’il soit au sommet d’un triangle équilatéral dont la base est la ligne Soleil-Terre. Les distances entre ce corps et le Soleil d’une part et entre ce corps et la Terre d’autre part étant égales, les forces exercées sur ce corps sont proportionnelles à leur masse respective. Par conséquent, la force résultante ressentie par le troisième corps est orientée vers le barycentre du système constitué par les deux premiers.

SATELLITES LAGRANGIENS Les points de Lagrange L4 et L5

SATELLITES LAGRANGIENS Le point de Lagrange L5 Alors que le point L4 se trouve “devant” la Terre dans son orbite, il existe un point “derrière” la Terre, où le même équilibre de forces existe. C’est le point L5. Il est à noter qu’à cause du fait que les points L4 et L5 forment des triangles équilatéraux avec la ligne reliant les deux masses principales, ils se trouvent à 60° “devant” la masse secondaire (pour L4) et 60° “derrière” la masse secondaire (pour L5).

SATELLITES LAGRANGIENS Stabilité des points de Lagrange Les points L1, L2 et L3 sont effectivement des “points” (infiniment petits). Donc, dès que le corps dévie, si peu soit-il de l’emplacement exact de son point de Lagrange L1, L2 ou L3, il est davantage attiré par le Soleil ou par la Terre. De plus, le passage de Vénus, par exemple, perturbera l’équilibre de forces, et compromettre la stabilité de ces points. Il faut donc, pour maintenir un corps en L1, L2 ou L3, corriger constamment son orbite.

SATELLITES LAGRANGIENS Stabilité des points de Lagrange Par conséquent, les points L1, L2 et L3 fournissent des orbites instables. Par contre, les points de Lagrange L4 et L5 ont une dimension non nulle. Un corps situé en L4 ou L5, s’il s’écarte du point idéal, décrira une petite ellipse fléchie (kidney bean) autour du point L4 ou L5 en question.

SATELLITES LAGRANGIENS Stabilité des points de Lagrange Pour que les points L4 et L5 soient utilisables (stables), il faut… Que la masse principale soit au moins 25 fois plus importante que la masse secondaire (ceci est trivial dans le cas Soleil-Terre). Que le troisième corps soit de masse négligeable par rapport aux deux autres. Que l’orbite du corps secondaire autour du corps principal soit quasi-circulaire.

SATELLITES LAGRANGIENS Généralisation de la théorie de Lagrange Jusqu’à maintenant, nous avons discuté du système Soleil-Terre. Nous l’avons fait à titre d’exemple. En fait, la même logique s’applique partout où une masse secondaire de masse inférieure à 1/25 d’une masse principale orbite autour de cette masse principale et où un troisième objet existe, dans le champ de gravitation des deux autres et possède une masse insignifiante par rapport à chacune des deux autres.

SATELLITES LAGRANGIENS Exemples de satellites Lagrangiens dans la nature Les astéroïdes Troyens occupent les points L4 et L5 du système Soleil–Jupiter. Des objets de la ceinture de Kuiper occupent les points L4 et L5 du système Soleil–Neptune. Les lunes Telesto et Calypso occupent les points L4 et L5 du système Saturne-Tethys. Les lunes Hélène et Polydeuces occupent les points L4 et L5 du système Saturne-Dioné.

SATELLITES LAGRANGIENS Exemples de satellites Lagrangiens dans la nature …suite On trouve même des nuages de poussière aux points L4 et L5 des systèmes Soleil-Terre et Terre-Lune.

SATELLITES LAGRANGIENS Autres objets co-orbitaux (…non-Lagrangiens) Terre et 3753 Cruithne. 3753 Cruithne parcourt deux orbites très proches de celle de la Terre. Lorsqu’il est sur sa grande orbite, la Terre, en le rattrapant, le “tire vers l’arrière”. Ceci le fait descendre sur sa petite orbite (plus rapide), et il repart donc de plus belle sans que la Terre ne l’ait dépassé. Lorsqu’il rattrape ensuite la Terre, l’attraction de celle-ci le “tire vers l’avant”, ce qui le fait monter sur sa grande orbite (plus lente) et ne rattrape pas la Terre. Comme 3753 Cruithne a une masse négligeable par rapport à celle de la Terre, il n’a pas d’effet mesurable sur l’orbite de celle-ci autour du Soleil.

SATELLITES LAGRANGIENS Autres objets co-orbitaux Epimetheus and Janus. Epimetheus and Janus s’adonnent au même jeu que la Terre et 3753 Cruithne. Par contre, comme ils sont de masses équivalentes, ils “s’échangent” leurs orbites et évitent les “dépassements”.

SATELLITES LAGRANGIENS Une autre façon de se représenter les points de Lagrange et les forces gravitationnelles qui s’y exercent