CHAPITRE 1 Décimaux, addition et soustraction

Objectifs: Pour les nombres décimaux courants, passer d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice et versa. Savoir placer sur une droite graduée des nombres décimaux ou des fractions. Savoir comparer des nombres décimaux. Savoir encadrer un nombre. Savoir supprimer les « zéros inutiles ». Savoir utiliser les mots : somme; différence; terme. aaaaaa Savoir additionner et soustraire des nombres mentalement,à la main et avec la calculatrice, dans des situations simples techniquement. Savoir proposer des ordres de grandeurs.

EVOLUTION DES CHIFFRES DE L’INDE … A L’EUROPE Pour écrire les nombres, on utilise 10 symboles que nous appelons « chiffres » : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0. C’est le système décimal. Nos 10 doigts en sont certainement à l’origine. Les chiffres que nous appelons arabe ont pour origine les Indes. Ce sont les arabes qui emprunteront le système de numération aux Indes. Le moine français Gerbert d’Aurillac (qui est devenu le pape Sylvestre II) les amène en Europe. Le «0» qui vient aussi de l’Inde est resté longtemps ignoré ; ils l’appelaient « sûnya » = vide. Le mathématicien italien Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) introduit en Europe la numération de position : la valeur du chiffre varie en fonction de la place qu’il occupe dans l’écriture du nombre. Al Kashi (1380 ; 1430), astronome à Samarkand (Asie), est à l’origine des nombres décimaux (nombres à virgule) mais c’est le mathématicien belge Simon Stevin qui se rapprochera de la notation actuelle. Il notait par exemple le nombre 89,532 : C’est un progrès considérable pour effectuer des opérations par rapport à l’écriture romaine.

I. Numération de position 1) Rang des chiffres Notre système de numération est un système de position. Exemples: 4 832,326

2) Nombres entiers et nombres décimaux Exemples de nombres entiers : 0 ; 5 ; 7 ; 1254 Exemples de nombres décimaux : 2,5 ; 5,3 ; 0,8 ; 0,2 ; 7 ; 0  Remarque : un nombre décimal n’est pas seulement un nombre à virgule… c’est un nombre qui est fini. Attention aux « 0 » inutiles : 3,0600 3,0600 03,3 03,3 14,0 14,0 103400

II. Ecritures d’un nombre décimal 1) Fractions décimales En lettre Un dixième centième millième Treize centièmes Soixante-cinq millièmes Deux cent trois dixièmes Fraction décimale Ecriture 0,1 0,01 0,001 0,13 0,065 20,3

2) Différentes écritures Ecriture décimale : 453,51 Fraction décimale : Somme d’un entier et de fractions décimales : 453 + +

III. La demi-droite graduée L’unité choisie est le cm, elle est reportée régulièrement sur tout l’axe A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L’origine On dit que l’abscisse de A est 3, et on note A(3). Le mot « abscisse » vient du latin « abscissa » (ligne coupée) dû à l’allemand Leibniz en 1692.

Quelles sont les abscisses de B et C ? : on a B(4,5) et C(6) Exemples : Quelles sont les abscisses de B et C ? : on a B(4,5) et C(6) E B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Placer les points D et E d’abscisses respectives 5,5 et 2,5.

IV. Ranger les nombres < qui signifie « … est inférieur à …» 1) Comparer On utilise les symboles : < qui signifie « … est inférieur à …» > Qui signifie « …est supérieur à …» Introduits par l’anglais Thomas Harriot (XVIe) Exemple: Comparer les nombres : 8,32 et 8,4. 8,32 > 8,4 , car 32 > 4 C’EST FAUX ! 32 et 4 n’occupent le même rang ! On a 8,32 < 8,40

2) Ordonner Exemples: Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand)  3,00  ; 2,31 ; 2,50 ; 1,90 Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand)  3  ; 2,31 ; 2,5  ; 1,9 On a 1,90 < 2,31 < 2,50 < 3,00 Ranger les nombres suivants dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit) 9,60  ; 8,90  ; 11,00 ; 8,79 Ranger les nombres suivants dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit) 9,6  ; 8,9  ; 11  ; 8,79 On a 11,00 > 9,60 > 8,90 > 8,79

3) Encadrer Encadrer un nombre, c’est lui trouver un nombre plus petit et un autre plus grand. Exemple : Encadrer le nombre 33,486 à l’unité, puis au dixième. 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Encadrement à l’unité : 33 < 33,486 < 34 32,9 33 33,1 33,2 33,3 33,4 33,5 33,6 33,7 33,8 33,9 34 Encadrement au dixième : 33,4 < 33,486 < 33,5

V. Addition et soustraction Calculs : Vient du latin « Calculus » : caillou  La légende raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons. + et -  introduits par l’allemand Johannes Widdmann en 1489 pour les besoins du commerce. Le symbole « + » serait un symbole « - » barré. =  Symbole introduit par l’anglais Robert Recorde (ci-contre) en 1557 qui le voyait comme deux lignes jumelles. « Rien n’est pareil que des jumeaux » (Recorde) Comble pour l’inventeur du symbole « = », il fut condamné pour dettes et meurt en prison !

1) Vocabulaire Addition : 36,3 + 43,96 = 80,26 la somme les termes 36,3 + 43,96 =  80,26 la somme les termes Soustraction : 29,13 – 12,6 =  16,53 la différence les termes

2) Techniques opératoires Exemple : Poser les opérations suivantes : 36,3 + 43,96 et 29,13 – 12,6 2 9 , 1 3 3 6 , 3 1 - 1 2 , 6 +1 + 4 3 , 9 6 1 6 5 3 8 , 2 6 , 1 1 On aligne les virgules On aligne les virgules

3) Grouper les termes dans une addition Pour le calcul d’une somme, l’ordre des termes n’a pas d’importance. Remarque : Ce n’est pas vrai pour une différence. Exemple : Calculer 21,26 + 3,12 + 78,74 + 6,88 21,26 + 3,12 + 78,74 + 6,88 = 21,26 + 78,74 + 3,12 + 6,88 = 100 + 10 = 110

4) Ordre de grandeur Pour calculer un ordre de grandeur, on remplace les termes à calculer par des nombres proches et « plus simples ». Remarque : Le résultat obtenu est une valeur proche du résultat. Exemple : Calculer un ordre de grandeur des opérations suivantes. 42,5 + 29,36   40 + 30 = 70 79,36 – 21,2  80 – 20 = 60