NAVIGATION ASTRONOMIQUE Coordonnées d’un astre Partie I Patrick RUER patrick.ruer@laposte.net

Dz H Terre Z Les coordonnées locales (dites horizontales) Par rapport à l’observateur M, le Soleil est positionné exactement par les 2 angles Z et H. Z = azimut (de 0° à 360°) H = hauteur (de 0° à 90°) Zénith du lieu M Le vertical de l’astre est le plan contenant l’astre, l’observateur et le zénith. Dz = 90° – H (distance zénithale) Vertical de l’astre Soleil Dz Vertical du pôle nord H Observateur M Terre méridien Z Ligne d’horizon Nord vrai

Axe des pôles célestes et terrestres Les coordonnées horaires AHG, AHL et D Sphère céleste Méridien d’origine Pied du soleil PG N Soleil D Terre S AHG A O Cercle horaire du Soleil Axe des pôles célestes et terrestres (axe du monde)

Dans cette représentation, la Terre est immobile et c’est la sphère céleste qui tourne autour de l’axe des pôles de EST en OUEST… La première coordonnée est l’angle horaire AHG (AHvo ou AHao) qui est l’angle entre le méridien d’origine et le cercle horaire de l’astre. Le cercle horaire de l’astre est le demi-cercle qui contient l’astre et l’axe du monde. AHG se mesure de 0° à 360° vers l’ouest à partir du méridien d’origine. La seconde coordonnée D est la déclinaison de l’astre. Cette déclinaison D correspondant à la latitude du point géographique du soleil PG. : L(PG) = D La longitude G de ce point PG est calculée à partir de AHG : Si AHG < 180°, alors G(PG) = AHG Si AHG > 180°, alors G(PG) = AHG – 360° Par convention : Les longitudes sont positives si W, négatives si E. Les latitudes sont positives si N, négatives si S Vitesse du point PG : 1 mille en 4s !

L’angle horaire local (AHL ou AHvg) est l’angle qui sépare le méridien de l’observateur du méridien contenant l’astre. Zénith du lieu Observateur M Nord Soleil Méridien de Greenwich PG Dz D AHL G Vertical de l’astre AHG Cercle horaire de l’astre Méridien de l’observateur Sud AHL = AHG – G

L’angle horaire local AHL se compte toujours depuis l’observateur vers l’astre dans le sens des aiguilles d’une montre. Il se mesure de 0° à 360°. Greenwich O Astre PG G Observateur M Pôle Nord AHL AHL = AHG – G AHG

Ici, G est une longitude E, elle est donc négative… Observateur M Astre PG Greenwich O G Pôle Nord AHG AHL AHL = AHG – G Ici, G est une longitude E, elle est donc négative…

EXEMPLES Exemple 1 Le 4 mai 2008 à 0H TU, donner la valeur de D et de AHL à 4H35min TU au lieu de longitude G = 5° 56’ E. Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 4 mai 2008, on lit : AHvo = 180° 48,2’ Var(AHvo) = 15,001 °/H Dec = 16° 0,8’ N Var(Dec) = + 0,7’/H A 4H 35 min : D = 16° 0,8’ + 0,7’  4H 35 min = AHvo = 180° 48,2’ + 15,001  4H 35 min = = 249° 33,475’ AHL = AHG – G = AHvo – G = = 255° 29,475’ 16,06681° = 16° 4’ 0,5’’ = 16° 4’ N 249,55792° = 249° 33’ 28,5’’ 249° 33,475’ + 5° 56’ = 255,49125° = 255° 29’ 28,5’’ Ou avec les éphémérides complètes du Bureau des Longitudes…

Exemple 1 Le 4 mai 2008 à 0H TU, donner la valeur de D et de AHL à 4H35min TU au lieu de longitude G = 5° 56’ E. Ephémérides nautiques 2008, Bureau des longitudes Le 4 mai 2008 : AHvo = 240° 48,4’ à 04H TU AHvo = 255° 48,5’ à 05H TU Dec = 16° 03,7’ N à 04H TU Var(Dec) = + 0,7’/H A 4H 35 min : D = 16° 3,7’ + 0,7’  0H 35 min = 16,06847° = 16° 4’ 6,5’’ = 16° 4,11’ N AHvo = 240° 48,4’ + (255° 48,5’ – 240° 48,4’)  0H 35 min = 249,55764° = 249° 33’ 27,5’’ = 249° 33,46’ AHL = AHG – G = AHvo – G = 249° 33,46’ + 5° 56’ = 255,491° = 255° 29’ 27,6’’ = 255° 29,46’

Exemple 2 Trouver la valeur de AHG et de D du Soleil le 2 janvier 2009 à 8H 32min 55s Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 2 janvier 2009 : AHvo = 179° 1,5’ Var(AHvo) = 14,995 °/H Dec = 22° 55,4’ S Var(Dec) = + 0,2’/H A 8H 32min 55s : AHG = 179° 1,5’ + 14,995  8H 32min 55s = 307,21142° = 307° 12’ 41,12’’ = 307° 12,69’ D = – 22° 55,4’ + 0° 0,2’  8H 32min 55s = – 22,89484° = – 22° 53’ 41,42’’ = – 22° 53,69’ On peut utiliser également les petits programmes CASIO : DECLINAI pour calculer la déclinaison (la variation directement en ‘) AH LOCAL pour calculer AHG et AHL

Exemple 3 Trouver la valeur de AHL et de D le 9 septembre 2008 à 9H 22min 12s Position : L = 3° 27,25’ S G = 8° 8,32’ W Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 9 septembre 2008 : AHvo = 180° 39,8’ Var(AHvo) = 15,004 °/H Dec = 5° 15,3’ N Var(Dec) = – 0,9’/H En utilisant les programme AH LOCAL et DECLINAI, on trouve : AHG = 321,25081° = 321° 15’ 2,93’’ AHL = 313,11215° = 313° 6’ 43,73’’ D = 5,11445° = 5° 6’ 52,02’’

Exemple 4 Trouver la valeur de AHL et de D le 24 septembre 2008 à 18H 15min 17s Position : L = 42° 6,8’ N G = 6° 31,8’ E Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 24 septembre 2008 : AHvo = 181° 59,6’ Var(AHvo) = 15,004 °/H Dec = 0° 31,4’ S Var(Dec) = – 1’/H En utilisant les programme AH LOCAL et DECLINAI, on trouve : AHG = 455,88719° = 455° 53’ 13,87’’ AHL = 462,41719° = 102,41719° = 102° 25’ 1,87’’ D = 5,11445° = 5° 6’ 52,02’’

+ Coordonnées horaires AHG et D Coordonnées géographiques L et G Relations entre coordonnées locales et coordonnées horaires Les coordonnées du Soleil sont parfaitement connues à l’avance et à chaque instant. Coordonnées horaires AHG et D + Coordonnées géographiques L et G Par le calcul… Coordonnées horizontales H et Z

Dz = 90° – H H PG Dz = 90° – H Zénith Observateur M Dz = distance zénithale Exprimée en minutes, elle donne la distance en milles qui sépare l’observateur du pied de l’astre. H Horizon PG Dz = 90° – H TERRE

Zénith du lieu Observateur M Nord Soleil Méridien de Greenwich PG Dz = 90 – H D AHL G Vertical de l’astre AHG Cercle horaire de l’astre Méridien de l’observateur Sud Le côté (PGM) du triangle sphérique NordPGM est parfaitement déterminé car on connaît les 2 autres côtés PGNord et MNord de ce triangle ainsi que l’angle qui les sépare (AHL).

La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donne : cos(90 – H) = cos(90 – D)cos(90 – L) + sin(90 – D)sin(90 – L)cosAHL Nord Zénith du lieu 90° – L AHL 90° – D Observateur M Soleil 90° – H Méridien de Greenwich PG Dz Vertical de l’astre L D Cercle horaire de l’astre AHL G AHG

Hc = sin -1(sinD sinL + cosD cosL cosAHL) cos(90 – H) = cos(90 – D)cos(90 – L) + sin(90 – D)sin(90 – L)cosAHL Soit : sin H = sinD sinL + cosD cosL cosAHL La hauteur de l’astre par le calcul dépend de la date et de la position et est donnée par la formule : Hc = sin -1(sinD sinL + cosD cosL cosAHL) Remarque : Si les points M et PG étaient inversés, l’angle entre les 2 côtés du triangle sphérique ne serait plus AHL mais 360 – AHL, ce qui ne change rien pour le cosinus… Par permutation circulaire, on en déduit la formule qui donne le côté (90 – D) et qui fait donc intervenir l’angle Zc entre les deux autres côtés. Si le Soleil est à l’Ouest de l’observateur (cas de la figure, PM ou 180° < AHL < 360°), alors l’azimut du Soleil est Z = 360 – Zc. Si le Soleil se trouve à l’Est de l’observateur (AM ou 0° < AHL < 180°), alors Z = Zc

La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donne : cos(90 – D) = cos(90 – H)cos(90 – L) + sin(90 – H)sin(90 – L)cosZc Nord Soleil Zénith du lieu 90° – L 90° – D Zc Observateur M 360 – Zc PG 90° – H Dz Vertical de l’astre Méridien de Greenwich L D Cercle horaire de l’astre AHL G AHG

cos(90 – D) = cos(90 – H)cos(90 – L) + sin(90 – H)sin(90 – L)cosZc Soit : sinD = sinH sinL + cosH cosL cosZc sinH sinL + cosH cosL cosZc = sinD cosH cosL cosZc = sinD – sinH sinL Si heure locale AM, Z = Si heure locale PM, Z = Zc 360 – Zc

Exemple Trouver la hauteur du Soleil H et son azimut Z le 24 septembre 2008 à 16H 15min 17s heure locale. Position (Nouméa, Anse Vata) : L = 22° 18’ 13’’S G = 166° 26’ 28’’E Extrait des éphémérides nautiques à 0H TU, année 2008 Le 24 septembre 2008 : AHvo = 181° 59,6’ Var(AHvo) = 15,004 °/H Dec = 0° 31,4’ S Var(Dec) = – 1’/H Heure TU = 5H 15min 17s H = sin -1(sinD sinL + cosD cosL cosAHL) D = – 0,61091° = – 0° 36’ 39,28’’ AHL = 427,27630° = 67,27630° = 67° 16’ 34,67’’ H = sin -1(sin(– 0° 36’ 39,28’’) sin(– 22° 18’ 13’’) + cos(–0° 36’ 39,28’’) cos(– 22° 18’ 13’’) cos(67° 16’ 34,67’’)) H = 21,18706° = 21° 11’ 13,42’’

Zc = 81,56768° = 81° 34’ 3,65’’ AHL < 180° donc PM Z = 360 – Zc Z = 360 – 81° 34’ 3,65’’ Z = 278,43232° = 278° 25’ 56,35’’ En utilisant le programme « HC ET AZ », on obtient directement : H = 21,18706° = 21° 11’ 13,42’’ Z = 278,43232° = 278° 25’ 56,35’’