Chapitre 02 : Prospection électromagnétique UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Chapitre 02 : Prospection électromagnétique   I. Introduction : Toute méthode de prospection utilisant les champs électromagnétiques artificiels ou naturels, générés par des courants variables dans le temps, est une méthode de prospection électromagnétique. Ces méthodes sont intéressantes quand il s’agit d’une reconnaissance rapide, d’une détection sommaire ou d’une simple découverte de zones d’anomalies. Complexes et difficiles pour l’interprétation quantitative en 1D, 2D et 3D, Limitation de leur profondeur d’investigation qui diminue avec l’augmentation de la fréquence utilisée. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Tous les appareils de prospection électromagnétique répondent à une grande variété de conducteurs tant naturels qu’artificiels, qui peuvent se classer comme suit : Conducteurs superficiels : Mort-terrain (terrain marécageux, argileux) Fonds de lacs et lits de cours d’eau Formations conductrices (argiles) Topographie (relief) Conducteurs dans la roche en place Graphite Sulfure massifs Magnétite massive Zones de cisaillement et failles Péridotite serpentinisée* Conducteurs artificiels Réservoirs métalliques Conduites et déchets métalliques Pipe-lines Voies ferrées Lignes à haute tension *: Roche constituée principalement de cristaux d’olivine et de pyroxènes qui peut devenir de la serpentinite sous l’effet de la chaleur et d’une hydratation UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

1.2. L’induction électromagnétique: En régime variable : un champ magnétique variable engendre un champ électrique (l’induction électromagnétique), alors que dans un conducteur, un champ électrique crée un courant, lequel crée un champ magnétique (loi d’Ampère) La méthode de prospection électromagnétique (E.M) fait intervenir simultanément les trois processus physiques distincts (figure ci-contre) : Figure 1. Représentation schématique de la prospection EM La production d’un champ magnétique primaire 𝑯 𝑷 qui varie avec le temps; La naissance de courants induits 𝒊(𝒕) (courants de Foucault) dans tous les conducteurs sur lesquels agit ce champ primaire ; La détection de ces conducteurs par la mesure des champs magnétiques secondaires 𝑯 𝑺 𝒊 créés par les courants de Foucault. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

1.2. L’induction électromagnétique: L’amplitude des courants induits dans un corps conducteur dépend de plusieurs facteurs, à peu près équivalents, qui sont : les propriétés électriques du conducteur ≡𝜌 [ 𝑂ℎ𝑚.𝑚]; les dimensions et la forme du conducteur ≡𝐿,𝑆 [𝑚, 𝑚 2 ] ; la fréquence du champ primaire  ≡𝑓[𝐻𝑧]; l’emplacement du conducteur / instruments géophysiques≡𝑧[𝑚]. La figure 2 illustre bien ces éléments clés : les courants de Foucault  champ magnétique créé 𝐻 𝑆 𝑖 Figure 2. Induction électromagnétique. A) Vue en perspective. B) Vue suivant la coupe A-B. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

1.2.1. Le principe de l’induction électromagnétique : Modèle simple de boucle conductrice fermée et qui subit une induction magnétique primaire: 𝐵(𝑡)= 𝐵 𝑝 cos⁡(𝜔𝑡). Quantitativement  gisement de minerai caractérisé par 𝜌  réponse à une induction magnétique. Supposition : champ « primaire » variable, uniforme et dirigé le long de son axe, avec 𝜇 de ce milieu. Ceci nous ramène à traiter le champ « H » au lieu de l’induction magnétique « B » : 𝐵 =𝜇 𝐻 . 2a 𝑯 𝒑 (𝒕)= 𝑯 𝒑 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕) Figure 3. Modèle simple de la boucle conductrice. Dans ce cas, on a : 𝑯 𝒑 (𝒕)= 𝑯 𝒑 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕) . Avec 𝝎=𝟐𝝅𝒇, 𝒇 étant la fréquence du champ [Hz]. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M La loi de Faraday implique que la force électromotrice créée dans le conducteur par cette induction magnétique est donnée par : 𝒇.𝒆.𝒎=𝒖 𝒕 = 𝑬 .𝒅 𝒍 =− 𝒅𝝋 𝒅𝒕 =− 𝒅 𝒅𝒕 𝑺 𝑩 .𝒅 𝒔 =− 𝒅 𝒅𝒕 𝑩 . 𝑺 = 𝑩 𝒑 .𝑺 𝒅 𝒅𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =𝝁 𝑯 𝒑 𝑺𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 =𝝁 𝑯 𝒑 𝑺𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 Avec : 𝑺:𝒔𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒐𝒖𝒄𝒍𝒆 (𝝅 𝒂 𝟐 ) Ainsi on obtient une f.e.m sinusoïdale de même nature que le champ magnétique qui l’a créée : 𝒇.𝒆.𝒎=𝒖 𝒕 = 𝒖 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 ; 𝒖 𝟎 =𝝁𝝎𝑺 𝑯 𝒑 =𝝎𝑺 𝑩 𝒑 L’électrocinétique  f.e.m  un courant dans ce conducteur  𝐵 𝑆 La relation entre les deux champs magnétiques « primaire » et « secondaire » ? Il faut déjà calculer 𝐼 provoqué dans cette boucle conductrice pour l’associer à 𝐵 𝑆 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Modèle équivalent en électrocinétique : Circuit électrique d’une résistance (conduction) et une bobine (inductance) en série. I(t) Figure 4. Schéma électrique équivalent de la boucle conductrice La loi de Kirchhoff nous permet d’écrire la relation entre le f.e.m et le courant généré: 𝒖 𝒕 =−𝑹𝑰−𝑳 𝒅𝑰 𝒅𝒕 = 𝒖 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 La solution qui vérifie cette solution est de la forme : 𝑰 𝒕 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 +𝑩 𝐬𝐢𝐧 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 ) En injectant cette solution dans l’équation différentielle et après identification, on obtient l’expression du courant électrique généré : 𝑰 𝒕 = 𝒖 𝟎 𝑹 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 + 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 ; 𝝉= 𝑳 𝑹 . UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Sachant que d’après la loi de Biot-Savart (ou la loi d’Ampère), le champ magnétique créé au centre de la boucle est donné par : 𝑯 𝒔 𝒕 = 𝑰 𝒕 𝟐𝒂 = 𝒖 𝟎 𝑹 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 + 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 = 𝝁𝝎𝑺 𝑯 𝒑 𝟐𝒂𝑹 𝒖 𝟎 𝑹 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 + 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 Pour quantifier l’effet d’induction magnétique, on s’intéresse au rapport : 𝑯 𝒔 𝒕 𝑯 𝒑 = 𝒖 𝟎 𝑹 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 + 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 = 𝝁𝑺 𝟐𝒂𝑳 𝒖 𝟎 𝑹 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 + 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 = 𝝁𝑺 𝟐𝒂𝑳 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 + 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 = 𝝁𝑺 𝟐𝒂𝑳 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 +𝒄𝒐𝒔𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 Avec la définition : 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝜔𝜏 1+ 𝜔 2 𝜏 2 et 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 1 1+ 𝜔 2 𝜏 2 . UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Or, pour tout angle A et B, on a : 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵− 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝐵 , ce qui nous donne le rapport entre champ « secondaire » et champ « primaire » en fonction d’un déphasage 𝜑 : 𝑯 𝒔 𝒕 𝑯 𝒑 = 𝝁𝑺 𝟐𝒂𝑳 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 −𝝋) = 𝑮 𝒈é𝒐𝒎. 𝒄𝒐𝒏𝒅. . 𝑭 𝝎𝒕 𝒇𝒄𝒕. 𝒅𝒖 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎. 𝒅 ′ 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒄. . 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 −𝝋) 𝒅é𝒑𝒉𝒂𝒔𝒂𝒈𝒆 Avec : 𝐺= 𝜇𝑆 2𝑎𝐿 et 𝐹 𝜔𝑡 = 𝜔𝜏 1+ 𝜔 2 𝜏 2 Pour montrer le déphasage du secondaire par rapport au primaire on réécrira : 𝑯 𝒔 𝒕 𝑯 𝒑 =𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 +𝝋 ) =𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 +𝝋 .𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 −𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 +𝝋 .𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝑯 𝒔 𝒕 = 𝑯 𝒑 .𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 +𝝋 .𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒆𝒏 𝒑𝒉𝒂𝒔𝒆 (𝒊𝒏𝒑𝒉𝒂𝒔𝒆) 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆 𝒓é𝒆𝒍𝒍𝒆 − 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 +𝝋 .𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒅𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒆 (𝒐𝒖𝒕𝒑𝒉𝒂𝒔𝒆) 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M On remarquera que : au centre du conducteur, la direction de 𝑯 𝒔 est opposée à celle du champ 𝑯 𝒑 l’amplitude de 𝑯 𝒔 ∝ 𝑯 𝒑 et elle est fonction de : géométrie du conducteur: 𝑮= 𝝁𝑺 𝟐𝒂𝑳 du paramètre d’induction du conducteur: 𝜶=𝝎𝝉=𝝎𝑳/𝑹 qui est lié à la fois aux paramètres électrique du conducteur (𝑳/𝑹) et à la fréquence d’excitation (𝝎) d’une manière générale le champ secondaire n’est pas en phase avec le primaire 𝑯 𝒔 𝒕 𝑯 𝒑 = 𝝁𝑺 𝟐𝒂𝑳 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 −𝝋) = 𝑮 𝒈é𝒐𝒎. 𝒄𝒐𝒏𝒅. . 𝑭 𝝎𝒕 𝒇𝒄𝒕. 𝒅𝒖 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎. 𝒅 ′ 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒄. . 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 −𝝋) 𝒅é𝒑𝒉𝒂𝒔𝒂𝒈𝒆 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Que mesure-t-on au point M (centre de la boucle conductrice)? M 𝑯 𝒔 . 𝒔𝒊𝒏 𝝋 𝑯 𝑹 𝒕 = 𝑯 𝒑 .[ 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 +𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 −𝝋) ] 𝝋 𝑯 𝒔 . 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝑯 𝒑 (𝒕)= 𝑯 𝒑 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕) 𝝅/2 M f.e.m Le champ résultant a deux composantes: 𝑯 𝑯𝑿 𝒕 = 𝑯 𝒑 𝟏+𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 ( 𝝅 𝟐 +𝝋) 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝑯 𝑯𝒀 𝒕 = 𝑯 𝒑 𝑮.𝑭. 𝒔𝒊𝒏 ( 𝝅 𝟐 +𝝋) 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒇.𝒆.𝒎=𝝁 𝑯 𝒑 𝑺𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 𝑰 𝒕 = 𝒖 𝟎 𝑹 𝟏 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − 𝝎𝝉 𝟏+ 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝑯 𝒔 𝒕 = 𝑯 𝒑 .𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕− 𝝅 𝟐 −𝝋) UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1. Le cas d’un très bon conducteur (inductance pure)𝑹~𝟎→𝝋~ 𝝅 𝟐 : 𝑯 𝑯𝑿 𝒕 = 𝑯 𝒑 𝟏+𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 = 𝑯 𝒑 𝟏−𝑮.𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝑯 𝑯𝒀 𝒕 = 𝑯 𝒑 𝑮.𝑭. 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 =𝟎 Deux cas extrêmes: M 𝝋= 𝝅 𝟐 𝝅/2 La mesure correspond à un minimum de 𝑯 𝑹 f.e.m UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 2. Le cas d’un très mauvais conducteur (résistance pure)𝑹≫→𝝋~𝟎: 𝑯 𝑯𝑿 𝒕 = 𝑯 𝒑 𝟏+𝑮.𝑭. 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 = 𝑯 𝒑 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝑯 𝑯𝒀 𝒕 = 𝑯 𝒑 𝑮.𝑭. 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 = 𝑯 𝒑 .𝑮.𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 Deux cas extrêmes: M 𝝋=𝟎 𝝅/2 La mesure correspond à un maximum de 𝑯 𝑹 f.e.m UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M La variation de l’amplitude et le déphasage du champ secondaire en fonction du paramètre d’induction est présentée dans la figure ci-dessous : Figure 5. Variation de l'amplitude et du déphasage du champ secondaire UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M De même en admettant que 𝐹 𝜔𝑡 = 𝜔𝜏 1+ 𝜔 2 𝜏 2 est la somme algébrique de deux grandeurs : une en phase (P) et l’autre en déphasage (Q), la variation des deux composantes est illustrée dans la figure 6. Ci-dessous : 𝑷 𝜶 =𝑭 𝜶 𝒄𝒐𝒔𝝋= 𝜶 𝟐 𝜶 𝟐 +𝟏 𝑸 𝜶 =𝑭 𝜶 𝒔𝒊𝒏𝝋= 𝜶 𝜶 𝟐 +𝟏 Avec la relation : 𝐹 2 = 𝑃 2 + 𝑄 2 𝜶=𝝎𝝉= 𝝎𝑳 𝑹 Figure 6. Variation de l'amplitude des deux composantes réelle et imaginaire de l'amplitude du champ secondaire UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

On peut illustrer toutes ces relations dans le diagramme d’Argand qui combine tous les éléments précédents et la corrélation entre les différents paramètres, comme c’est montré sur la figure 7. Ce diagramme est très utile pour l’interprétation quantitative de données provenant d’une prospection électromagnétique Figure 7. Diagramme d'Argand pour un conducteur idéal UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1.2.1. Le classement des conducteurs : Il est tout à fait évident que la qualité du champ secondaire obtenu, dépend de la qualité du conducteur qui crée ce champ par induction. Ceci, est exprimé par le paramètre d’induction 𝛼=𝜔𝜏= 𝜔𝐿 𝑅 qui traduit le rapport entre deux impédances : inductif et résistif. On peut définir deux situations limites : le cas d’un mauvais conducteur : 𝛼<0.1 le champ magnétique secondaire est en quadrature avec le champ primaire ; son amplitude est faible ; l’amplitude et la phase sont directement proportionnelles au paramètre d’induction : 𝐻 𝑆 𝐻 𝑃 ≈−𝐺.𝛼; 𝜑≈ 𝜋 2 −𝛼 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M le cas d’un bon conducteur : 𝛼>10 le champ magnétique secondaire est surtout en phase avec le champ primaire ; son amplitude est élevée ; l’amplitude et la phase ne dépendant plus du paramètre d’induction : 𝐻 𝑆 𝐻 𝑃 ≈−𝐺; 𝜑≈0 On dit dans ce cas, qu’il y a saturation et que pour déterminer les propriétés du conducteur, il faut baisser la fréquence d’émission. le cas intermédiaire : 0.1<𝛼<10 C’est le cas des conducteurs moyens et qui vont donner lieu à des effets intermédiaires entre les deux cas extrêmes. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Rappel sur les formes elliptique : Une ellipse fait partie de la famille des courbes coniques, dont la forme générale quadratique s’écrit : 𝐴 𝑥 2 +2𝐵𝑥𝑦+𝐶 𝑦 2 +2𝐷𝑥+2𝐸𝑦+𝐹=0 Dans un plan cartésien l’équation d’une ellipse est donnée par : 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 pour une ellipse centrée à l’origine des axes (0,0). Avec : a demi grand axe, b demi petit axe (𝒃= 𝒂 𝟐 − 𝒄 𝟐 ), c distance au foyer et l’excentricité 𝒆=𝒄/𝒂 Dans le cas le plus général, pour une ellipse avec un centre (𝑥 0 , 𝑦 0 ), l’équation précédente devienne : 𝑥− 𝑥 0 2 𝑎 2 + 𝑦− 𝑦 0 2 𝑏 2 = 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑥 0 2 𝑎 2 −2 𝑥 𝑥 0 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑦 0 2 𝑏 2 −2 𝑦 𝑦 0 𝑏 2 =1 b a Figure 8. Représentation d'une ellipse dont les axes correspondent avec les axes du référentiel UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Après réarrangement, on obtient : 1 𝑎 2 𝑥 2 + 1 𝑏 2 𝑦 2 −2 𝑥 0 𝑎 2 𝑥−2 𝑦 0 𝑏 2 𝑦+ 𝑥 0 2 𝑎 2 + 𝑦 0 2 𝑏 2 −1=0 Par identification avec la forme générale des courbes coniques : 𝐴= 1 𝑎 2 ;𝐵=0;𝐶= 1 𝑏 2 ;𝐷= −2 𝑥 0 𝑎 2 ;𝐸= −2 𝑦 0 𝑏 2 ;𝐹= 𝑥 0 2 𝑎 2 + 𝑦 0 2 𝑏 2 −1 Si le grand axe de l’ellipse est incliné par rapport à l’axe des x (rotation de q), mais leurs centres se confondent, l’équation quadratique de l’ellipse est donnée par la forme : 𝐴 𝑥′ 2 +𝐵𝑥′𝑦′+𝐶 𝑦′ 2 =1 et dans ce cas : 𝐵≠0 on retiendra que le rapport: 𝑏/𝑎 représente l’éllipticité de la forme géométrique (il nous informe sur l’ordre de l’allongement et son orientation) Particulièrement: 𝑏 𝑎 =1 le cas d’un cercle UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1.2.2. Le champ magnétique résultant : On constate d’après ce qu’on a vu déjà: 𝜑(𝐻 𝑝 )≠ 𝜑(𝐻 𝑆 ). Ceci implique que le champ résultant (primaire + secondaire) possède d’une manière générale une polarisation elliptique : 𝜑(𝐻 𝑋 )≠ 𝜑(𝐻 𝑌 ) Figure 9. Représentation de la polarisation d'un champ et de l'ellipse de polarisation UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Admettons que les deux composantes du champ résultant sont de la forme : 𝐻 𝑋 = 𝐻 𝑋0 cos (𝜔𝑡+ 𝜑 𝑥 ) 𝐻 𝑌 = 𝐻 𝑌0 cos (𝜔𝑡+ 𝜑 𝑦 ) On va montrer que les deux champs primaire et secondaire forment une ellipse (champ résultant mesuré). Pour cela, on va écrire le carré du module du champ magnétique résultant : 𝑯 𝑿 𝑯 𝑿𝟎 𝟐 + 𝑯 𝒀 𝑯 𝒀𝟎 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝝎𝒕+ 𝝋 𝒚 ) En définissant le déphasage entre les deux champs : 𝜹= 𝝋 𝒚 − 𝝋 𝒙 Les carrés des fonctions cosinus peuvent s’écrire comme : 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒚 −𝜹 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+ 𝝋 𝒙 +𝜹 En utilisant les identités trigonométriques : 𝒄𝒐𝒔 𝜶±𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 . 𝒄𝒐𝒔 𝜷 ∓ 𝒔𝒊𝒏 𝜶 . 𝒔𝒊𝒏 𝜷 et 𝒔𝒊𝒏 𝜶±𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 . 𝒄𝒐𝒔 𝜷 ± 𝒄𝒐𝒔 𝜶 . 𝒔𝒊𝒏 𝜷 On arrive finalement à l’équation quadratique suivante : 𝐻 𝑋 𝐻 𝑋0 2 + 𝐻 𝑌 𝐻 𝑌0 2 −2 cos 𝛿 . 𝐻 𝑋 . 𝐻 𝑌 𝐻 𝑋0 . 𝐻 𝑌0 = sin 2 𝛿 =1− cos 2 𝛿 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M On identifie ici les paramètres les plus importants pour l’équation de l’ellipse : 𝑨= 𝟏 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝑯 𝑿𝟎 𝟐 ;𝑪= 𝟏 𝒃 𝟐 = 𝟏 𝑯 𝒀𝟎 𝟐 ;𝑩=−𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜹 𝑯 𝑿𝟎 . 𝑯 𝒀𝟎 Ce résultat mathématique signifie que le champ résultant mesuré est polarisé elliptiquement selon un grand axe incliné par rapport l’axe de référence x. Ceci signifie, que sur le plan expérimental, le géophysicien devra incliner la bobine sonde (récepteur) selon un angle 𝜃 pour retrouver les maximums des champs magnétiques primaire et secondaire qui correspondent chacun au grand demi-axe et le petit demi-axe de l’ellipse. Afin de retrouver cette inclinaison, on fait le changement de variables suivant qui permettra d’annuler le terme 𝐵𝑥𝑦 de la formule quadratique de l’ellipse et l’obtenir sous la forme: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 ℎ 𝑋 = 𝐻 𝑋 . cos 𝜃 + 𝐻 𝑌 . sin 𝜃 ℎ 𝑌 =− 𝐻 𝑋 . sin 𝜃 + 𝐻 𝑌 . cos 𝜃 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M En réécrivant les premières variables en fonction de ces dernières, et en réinjectant dans l’équation ci-dessus en cos 𝛿 , on obtient l’équation suivante en fonction de ℎ 𝑋 et ℎ 𝑌 : ℎ 𝑋 2 cos 2 𝜃 𝐻 𝑋0 2 + sin 2 𝜃 𝐻 𝑌0 2 −2 cos 𝛿 𝐻 𝑋0 . 𝐻 𝑌0 sin 𝜃 cos 𝜃 𝐴′ + ℎ 𝑌 2 sin 2 𝜃 𝐻 𝑋0 2 + cos 2 𝜃 𝐻 𝑌0 2 +2 cos 𝛿 𝐻 𝑋0 . 𝐻 𝑌0 sin 𝜃 cos 𝜃 𝐶′ + ℎ 𝑋 ℎ 𝑌 2 1 𝐻 𝑌0 2 sin 𝜃 cos 𝜃 −2 1 𝐻 𝑋0 2 sin 𝜃 cos 𝜃−2 cos 𝛿 𝐻 𝑋0 . 𝐻 𝑌0 cos 2 𝜃 − sin 2 𝜃 𝐵′ =1  Pour retrouver la forme elliptique, la condition nécessaire est l’annulation du coefficient : 𝐵 ′ = 2 1 𝐻 𝑌0 2 sin 𝜃 cos 𝜃 −2 1 𝐻 𝑋0 2 sin 𝜃 cos 𝜃−2 cos 𝛿 𝐻 𝑋0 . 𝐻 𝑌0 cos 2 𝜃 − sin 2 𝜃 Ce terme se réduit encore à : 𝐵 ′ = 1 𝐻 𝑌0 2 − 1 𝐻 𝑋0 2 sin 2𝜃 −2 cos 𝛿 𝐻 𝑋0 . 𝐻 𝑌0 cos 2θ =0→ tan 2θ = 𝐻 𝑌0 𝐻 𝑋0 2 cos 𝛿 1− 𝐻 𝑌0 2 𝐻 𝑋0 2 = 2𝑅 cos 𝛿 1− 𝑅 2 Avec 𝑅= 𝐻 𝑌0 𝐻 𝑋0 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M Figure 10. Ellipse de polarisation et composantes du champ On insistera sur les cas d’intérêt suivants : si 𝜹=𝟎 (bon conducteur), alors on trouvera : 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝟏− 𝑹 𝟐 ≈ 𝟐𝑹 𝟏− 𝑹 𝟐 on sait que: 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝜽 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 , ce qui signifie que dans ce cas, il s’agit bien d’une addition vectorielle simple sans aucun déphasage entre 𝑯 𝑷𝑿 et 𝑯 𝑺𝒀 . Donc, pour un bon conducteur, le rapport des champs primaire et secondaire est égal à la pente du grand axe. Si 𝜹= 𝝅 𝟐 (mauvais conducteur), alors dans ce cas nous avons : 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝜽 =𝟎, donc 𝜽=𝟎 ce qui signifie qu’il n’y a pas d’inclinaison de l’ellipse de polarisation. Si 𝑹= 𝑯 𝑺𝟎 𝑯 𝑷𝟎 ≪𝟏, alors 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝜽 ≈𝟐𝜽= 𝟐𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝟏− 𝑹 𝟐 →𝜽≈𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝜹 . UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1.2.3. Profondeur de peau (Skin Depth) : Equations de Maxwell générales ( sans présence de charges électrique) : 𝛻 . 𝐸 =0  (2) 𝛻 ∧ 𝐸 + 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 =0  (3) 𝛻 . 𝐵 =0  (4) 𝛻 ∧ 𝐵 −𝜇 0 𝜀 0 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 = 𝜇 0 𝐽 + Les équations (2) et (4) deviennent après découplage ( 𝐸 et 𝐻 ) (Exercice 07-série 02) (2’) ∆ 𝐸 −𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝐸 𝜕 𝑡 2 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 − 𝜇 0 𝜎 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 =0 (4’) ∆ 𝐻 −𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝐻 𝜕 𝑡 2 − 𝜇 0 𝜎 𝜕 𝐻 𝜕𝑡 =0 La solution générale pour les milieux conducteurs est donnée par : 𝐸 𝑥,𝑡 = 𝐸 0 𝑒 − 𝑥 𝛿 . 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) et 𝐻 𝑥,𝑡 = 𝐻 0 𝑒 − 𝑥 𝛿 . 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) Figure 11. Allure de la solution générale de l'équation d'onde. Il s’agit là d’une solution périodique en comportement mais décroissante dans sa globalité et on parle d’atténuation de l’amplitude comme c’est montré sur la figure ci-contre qui présente l’évolution d’une solution de cette forme (on parle de champ diffusif dans ce cas). UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M On définit la profondeur de pénétration : 𝑷=𝜹= 𝟏 𝝅𝒇𝝁 𝟎 𝝈 [𝒎] qui est une distance caractéristique qui exprime l’atténuation des champs dans les conducteurs à partir de la surface de contact. Elle est donnée en fonction de la fréquence et la conductivité (pour les matériaux non-magnétique 𝝁 𝟎 ) : 𝑷=𝜹≈ 𝟓𝟎𝟑.𝟖 𝒇𝝈 =𝟓𝟎𝟑.𝟖 𝝆 𝒇 [𝒎] Pour des distances multiples de δ le champ initial se réduit comme suit : 𝒁=𝒏𝜹→ 𝒆 −𝒏 𝑬/ 𝑬 𝟎 𝒆 −𝟏 0.368 𝒆 −𝟐 0.135 𝒆 −𝟑 0.0498 𝒆 −𝟒 0.0183 𝒆 −𝟏𝟎 5× 10 −5 On constate qu’après 4 fois la distance caractéristique du milieu conducteur, le champ initial se réduit à moins de 2% de son Amplitude initiale. Ceci traduit le fait que pour les conducteurs, les courants induits se concentrent donc pratiquement près de la surface, dans une couche dont l’épaisseur est de l’ordre de grandeur d’un très petit nombre de fois de la profondeur de peau. (Pour des bons conducteurs cette couche est de l’ordre de quelques centaines de µm). UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M A cause de cette décroissance des champs (électrique et magnétique), la profondeur de l’investigation de toute méthode électromagnétique est toujours inférieure à P/2 [m] [on garde 60% déjà de l’amplitude).  Par exemple si 𝑓=500𝐻𝑧, pour que la profondeur d’investigation 𝑃/2 atteigne 100 m, la résistivité du sol doit être supérieure à 80Ω𝑚. Sur un sol argileux, ou la résistivité observée est de l’ordre de 10Ω𝑚, la basse fréquence industrielle (𝑓=60𝐻𝑧) n’assure qu’une profondeur d’investigation de 102 m. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M (Palacky, 1987) UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1.3. Le champ primaire : C’est tout champ magnétique inducteur, nécessaire à toute prospection électromagnétique. Le plus souvent créé par un courant alternatif circulant dans une boucle. La dimension de la boucle varie selon les besoins de la méthode de prospection utilisée. Mais dans certains cas on peut utiliser d’autres sources conventionnelles de champs primaires, Exemples: la méthode T.B.F (VLF en anglais : Very Low Frequency) qui utilise des émetteurs radio militaires pour communication sous-marine f=[10 - 20kHz] Une autre méthode AFMAG (Audio-Frequency Magnetic method [1-1000Hz]) est basée sur les champs magnétiques de fréquences audio engendrés par les éclairs produits lors des orages électriques. D’autres méthodes, comme le TURAM, peuvent utiliser le champ primaire engendré par le courant alternatif qu’on fait circuler dans un câble dont les deux extrémités sont reliées au sol.. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1.3.1. La loi de Biot-Savart revisitée : Pour calculer le champ magnétique produit par un courant circulant dans un fil, on utilise la loi de Biot-Savart qui donne l’expression de ce champ en fonction de cette source (courant) ainsi que la géométrie du conducteur. Dans sa forme modifiée qui prend en considération les effets de propagation, la loi donne le champ magnétique créé par un bout de fil à un point d’observation qui se trouve à une distance r : 𝑑 𝐻 = 𝐼 4𝜋 𝑟 3 𝑑 𝑙 ˄ 𝑟 1+4 𝜋 2 𝑟 2 𝜆 2 Avec : 𝝀 𝒎 =𝒄/𝒇 : est la longueur d’onde dans l’air. Dans le cas où 𝑟≪𝜆 : 𝑑 𝐻 = 𝐼 4𝜋 𝑟 3 𝑑 𝑙 ˄ 𝑟 → 𝑑𝐻 = 𝐼𝑑𝑙 sin 𝜃 4𝜋 𝑟 2 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M 1.3.2. Les émetteurs : A. Emetteurs T.B.F (et AFMAG) : Le champ d’un émetteur T.B.F est donné en première approximation à partir la loi de Biot-Savart.  L’antenne émettrice  élément vertical court (par rapport aux points de mesure) La terre comme une surface horizontale (𝜃=𝜋/2). En négligeant les effets de conduction dans le sol et si on admet que 𝑟≫𝜆, on trouve : 𝐻 𝑥 = 𝑑 𝐻 𝑥 = 𝐼 sin 𝜋/2 4𝜋 𝑟 2 1+4 𝜋 2 𝑟 2 𝜆 2 𝑑𝑙 ~ 𝐼𝑙 4𝜋 𝑟 2 4 𝜋 2 𝑟 2 𝜆 2 = 𝐼𝑙 4𝜋 𝑟 2 2𝜋 𝑟 𝜆 = 𝐼𝑙 2𝑟𝜆 Où 𝑙 est la longueur de l’antenne. Cette équation implique que le champ généré est raisonnablement uniforme (décroissance en 1/𝑟), mais le plus important est que l’on trouve le champ primaire partout horizontal et dirigé dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation. Il est à noter que les champs magnétiques naturels, utilisés dans la méthode AFMAG, démontrent le même comportement. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M B. Emetteur en forme de fil : Dans le cas d’un fil droit de longueur arbitraire et parcouru par un courant, le champ magnétique est obtenu par intégration à partir de la même loi de Biot-Savart discutée précédemment : 𝐻=− 𝐼 4𝜋𝑎 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑥 2 2 + 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑥 1 2 - Si le fil est court ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ≪𝑎) on retrouve  𝐻=− 𝐼 𝑥 1 + 𝑥 2 4𝜋 𝑎 2 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑥 2 2 + 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑥 1 2 . UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M - si le fil est long ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ≫𝑎), la formule se simplifie à 𝐻=− 𝐼 2𝜋𝑎 (∝ en 1 𝑟 ) Le champ magnétique produit est toujours perpendiculaire au plan qui contient le fil et le point d’observation. La variation spatiale de ce champ , peut être donnée suivant ses deux composantes à une distance 𝑦 et une profondeur 𝑧 par rapport du fil: 𝐻=− 𝐼 2𝜋𝑎 = 𝐼 2𝜋 𝑦 2 + 𝑧 2 → 𝐻 𝑧 =−𝐻. cos ψ =− 𝐼.𝑦 2𝜋 (𝑦 2 + 𝑧 2 ) =− 𝐼 2𝜋 η 1+ η 2 𝐻 𝑦 =−𝐻. sin ψ =− 𝐼.ℎ 2𝜋 (𝑦 2 + 𝑧 2 ) =− 𝐼 2𝜋 1 1+ η 2 Avec ψ= cotan −1 𝑦 ℎ ;η= 𝑦 ℎ UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M C. Emetteur rectangulaire : La situation nécessite l’utilisation d’un champ de forte intensité, la prospection électromagnétique d’émetteur rectangulaire (grand cadre rectangulaire) Dimensions importantes ~ 100m x 100m à 2000m x 2000m. Ce cadre est construit en posant une spire de fil directement au sol et il est alimenté par un groupe électrogène assez puissant pour y faire circuler un courant de quelques ampères. 𝐻=− 𝐼 4𝜋 𝑟 4 𝐴 4 − 𝑟 3 𝐴 3 + 𝑟 1 𝐴 1 − 𝑟 2 𝐴 2 Comme c’est montré sur la figure, on a : 𝐴 1 = 𝑆 1 𝑆 3 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑃𝑋𝐷𝑍 ; 𝐴 2 = 𝑆 2 𝑆 3 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑃𝑊𝐶𝑍 ; 𝐴 3 = 𝑆 2 𝑆 4 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑃𝑊𝐵𝑍 ; 𝐴 4 = 𝑆 1 𝑆 4 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑃𝑋𝐴𝑍 UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M

UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M D. Emetteur dipolaire : Emetteur dont l’utilisation est très courante : dimensions réduites  portabilité petite boucle de plusieurs spires (~1 à 2 m) Dans le cas d’une forme carré : Selon Z: 𝐻 𝑍 = 𝐼 𝑎 2 4𝜋 𝑠 3 3 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑠 2 −2 Selon X : 𝐻 𝑋 = 𝐼 𝑎 2 4𝜋 𝑠 3 3𝑧𝑥 𝑠 2 Selon X : 𝐻 𝑋 = 𝐼 𝑎 2 4𝜋 𝑠 3 3𝑧𝑦 𝑠 2 dans le plan de la boucle (𝑧=0, 𝑠= 𝑥 2 + 𝑦 2 ), le champ magnétique est uniforme en direction et décroît comme 1/ 𝑠 3 . sur l’axe du cadre le champ magnétique est orienté dans le sens inverse et il est deux fois plus fort qu’en un point également distant du centre, mais situé dans le plan du cadre. La dépendance de l’amplitude du champ par rapport à l’aire du cadre, tels émetteurs portent l’appellation dipolaire : la distribution de leur champ magnétique   un petit aimant dont l’orientation est la même que celle de l’axe du cadre. UDBKM-FST-SM-M1PDG: Prospection E.M