L’équation fondamentale de la démographie

A. Quelques exercices pour comprendre

Exercice A.1 : Un problème de baignoire et de robinets Une baignoire de 96 litres se remplit en 8 mn, robinet ouvert et bonde fermée. Elle se vide en 12 mn, bonde ouverte et robinet fermé. En combien de temps se remplit-elle bonde et robinet ouverts ?

A.1 : Un problème enfantin ?

A.1 Méthode de résolution Calcul du débit du robinet : 96/8 = …. Calcul du débit de la bonde : 96/12 = …. Calcul du bilan bonde-robinet : …. Calcul du temps de remplissage : ….

A.1 Solution Calcul du débit du robinet : 96/8 = + 12 litres/mn Calcul du débit de la bonde : 96/12 = - 8 litres/mn Calcul du bilan bonde-robinet : +12 –8 = + 4 litres/mn Calcul du temps de remplissage : 96/4 = 24 minutes

Exercice A.2 : Une population sans migration Un bateau s’échoue sur l’île de la désolation le 31 décembre 1699. Il y a 200 rescapés avec une proportion équilibrée de femmes et d’hommes, de jeunes, d’adultes et de personnes âgées. Au cours des 5 premières années on totalise 10 naissances et 5 décès. Quelle est la population le 1er janvier 1705 ? Peut-on essayer estimer ce que sera la population en 1750 ?

A.2 : Un problème moins simple qu’il n’y parait …

A.2 méthode de résolution (approximative) Accroissement sur 5 ans = Accroissement sur 50 ans = Population en 2050 =

A.2 méthode de résolution (approximative) Accroissement sur 5 ans = Naissance – Décès = 10-5 = +5 Accroissement sur 50 ans = (10 * Acc sur 5 ans) = 5*10 = 50 Population en 2050 = 200 + 50 = 250 => On a supposé que la croissance de la population était linéaire (+1 par an) pendant toute la période. Mais ce n’est pas vrai car ceux qui naissent vont faire à leur tour des enfants !

A.2 méthode de résolution (exacte) Taux de natalité (TN) = Taux de mortalité (TM) = Taux d’accroissement moyen annuel : Taux de croissance sur 50 ans : Population estimée en 1750 :

A.2 méthode de résolution (exacte) Taux de natalité (TN) = (10/5) /200 = 0.010 = 1% = 10 ./.. Taux de mortalité (TM) = (5/5)/200 = 0.005 = 0.5 % = 5 ./.. Taux d’accroissement moyen annuel : 0.005 Taux de croissance sur 50 ans : (1+0.005)50 =1.283= +28.3% Population estimée en 1750 : (200)*(1.283) = 257 habitants Il y a plus d’habitants que prévus (257 au lieu de 250) car la croissance est exponentielle !

Exercice A.3 : Le cas de la population mondiale La population mondiale est approximativement de 7 milliards d’habitants au 1er Janvier 2012. Chaque seconde il naît environ 4 enfants et il meure deux personnes. Quelle sera la population le 1er janvier 2013 ? Combien d’années seront nécessaire pour que la population double au rythme actuel ?

A.3 méthode de résolution Naissances par minute = Naissances par heure = Naissances par jour = Naissances par an = Décès par an = Accroissement naturel par an =

A.3 méthode de résolution Naissances par minute = 240 Naissances par heure = 14 400 Naissances par jour = 345 600 Naissances par an = 126 144 000 = 126 millions Décès par an =63 072 000 = 63 millions Accroissement naturel par an = 63 millions environ

A.3 méthode de résolution (suite) Taux d’accroissement annuel = 63/7000 = 0.009 = 0.9% / an POP(t) = 7 000 millions POP(t+1) = POP(t) * (1+ 0.009) = 7 063 millions POP(t+2) = POP(t+1)*(1+0.009) = 7 127 millions POP(t+3) = POP(t+2)*(1+0.009) = 7 191 millions … POP (t+79) = POP(t+78)*(1+0.009) = 14 080 000 000 +0.9%/an ==>Doublement de la population en 79 ans

A.3 méthode de résolution (suite) Remarquez que la croissance de population ne suit pas une droite mais une courbe (exponentielle)

A.3 Une formule à retenir POP(t+n) = POP(t) x (1 + a)n POP(t) : population initiale n = nombre d’années a = taux d’accroissement moyen annuel

Calcul du temps de doublement d’une population Pour un taux d’accroissement moyen annuel le doublement de la population correspond à (1+a)n = 2 ⬄ n = log(2) / log (1+a) 1% par an => log(2) / log (1+0.01) = 70 ans 2% par an=> log(2) / log (1+0.02) = 35 ans 5% par an => log(2) / log (1+0.05) = 14 ans 10% par an => log(2) / log (1+0.10) = 7 ans

Exercice A.4 : Le cas d’une population ouverte (avec migration) La population de l’île de la Désolation a atteint 1000 habitants le 1er Janvier 1800 mais les ressources s’épuisent et ne suffisent plus à nourrir les habitants. On a découvert à proximité l’île de la Tortue qui ne comporte que 200 habitants qui est plus pauvre mais peut accueillir davantage d’habitants. Quelle sera la population des deux îles le 1er janvier 1810 sachant qu’entre ces deux dates on a pu observer 100 décès sur l’île de la Désolation 40 décès sur l’île de la Tortue 200 naissances sur l’île de la Désolation 30 naissances sur l’île de la Tortue 60 migrants de l’île de la Désolation vers l’île de la Tortue 10 migrants de l’île de la Tortue vers l’île de la Désolation.

Situation le 1er janvier 1800 Ile de la Désolation POP = 1000 Ile de la Tortue POP = 200

Flux 1800-1810 Ile de la Désolation POP = 1000 Ile de la Tortue NAISSANCES Ile de la Désolation POP = 1000 Ile de la Tortue POP = 200 DECES

Flux 1800-1810 Ile de la Désolation Ile de la Tortue POP = 1000 NAISSANCES + 200 + 30 Ile de la Désolation POP = 1000 Ile de la Tortue POP = 200 60 10 - 100 - 40 DECES

Bilan démographique de l’Ile de la désolation ACPOP = (NAIS – DEC )+ (IMMIG – EMIG) ACPOP = (200 – 100) + (10 – 60) ACPOP = ACNAT + ACMIG ACPOP = +100 – 50 = +50 Le bilan général est positif (+50) grâce à un bilan naturel positif (+100), malgré un bilan migratoire négatif (-50)

Bilan démographique de l’Ile de la tortue ACPOP = (NAIS – DEC )+ (IMMIG – EMIG) ACPOP = (30 – 40) + (60 – 10) ACPOP = ACNAT + ACMIG ACPOP = -10 + 50 = +40 Le bilan général est positif (+40) malgré un bilan naturel négatif (-10), grâceà un bilan migratoire positif (+50)

Situation le 1er janvier 1810 Ile de la Désolation POP = 1050 Ile de la Tortue POP = 240

B. L’équation fondamentale de la démographie Application au cas de la France

Bilan démographique d’un pays sur une période NAISSANCES FRANCE RESTE DU MONDE DECES

Transformation en taux ACPOP = (NAIS – DEC )+ (IMMIG – EMIG) On divise chaque flux par la population moyenne de la période : TxACTOT= (txNAT-txMOR) + (txIMMIG-txEMIG) ATTENTION : il faut exprimer tous les taux dans la même unité de mesure (soit des %, soit des pour 1000 mais pas les deux !)

Calcul des taux pour la France en 1950-1955 TxACPOP = 0.7 % TxNAT = 19.1 pour 1000 = 1.9% TxMOR = 12.8 pour 1000 = 1.3 % TxACNAT = TxNAT-TxMOR = +0.6% Tx ACMIG = 0.9 pour 1000 = +0.1% TxACPOP = TxACNAT+TxACMIG