Construction de la gamme Gamme de Zarlino Construction de la gamme

Gamme de Zarlino : les tierces majeure et mineure La gamme de Pythagore est construite à partir des harmoniques F, 2F, 3F et 4F induisant les intervalles : [F;2F] = octave (coef multiplicateur 2) [2F;3F] = quinte (coef multiplicateur 3/2). [3F;4F] = quarte (coef multiplicateur 4/3). La gamme de Zarlino est construite à partir des harmoniques F, 2F, 3F, 4F, 5F et 6F induisant les intervalles : [F;2F] = octave (coef multiplicateur 2) [2F;3F] = quinte (coef multiplicateur 3/2) [3F;4F] = quarte (coef multiplicateur 4/3) [4F;5F] = tierce majeure (coef multiplicateur 5/4) [5F;6F] = tierce mineure (coef multiplicateur 6/5) Hertz F 5/4F 2F 3/2F quinte X 3/2 quarte x 4/3 tierce majeure x 5/4 tierce mineure x 6/5 octave

Gamme de Zarlino : l’accord majeur parfait 3 notes séparées d’une tierce majeure puis d’une tierce mineure forme un Accord Parfait Majeur (APM) F 5/4F 3/2F + 1 tierce majeure x 5/4 + 1 tierce mineure x 6/5 N1 N2 N3 Les fréquences de ces 3 notes doivent être proportionnelles à (1,5/4,3/2) ou (4,5,6) La note N2 est la moyenne arithmétique des notes N1 et N3: (1+(3/2))/2 = 5/4 La gamme diatonique de Zarlino va être définie grâce à l’accord parfait majeur. Les fréquences des notes obtenues ne seront pas toujours les mêmes que chez Pythagore. L’accord parfait majeur « sonne » particulièrement bien (N2 enrichi l’accord N1-N3 de 2 harmoniques): La note N1 engendre les sons de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F,…9F,… La note N2 engendre les sons de fréquences 1.25F, 2.5F, 3.75F, 5F, 6.25F, 7.5F … La note N3 engendre les sons de fréquences 1.5F, 3F, 4.5F, 6F, 7.5F, 9F … Le même accord dans la gamme de Pythagore sonne moins bien (N2 ne « rappelle » aucune harmonique): La note N1 engendre les sons de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F,…9F,… La note N2 engendre les sons de fréquences 1.27F, 2.53F, 3.79F, 5.06F, 6.33F, 7.59F… La note N3 engendre les sons de fréquences 1.5F, 3F, 4.5F, 6F, 7.5F, 9F …

Gamme de Zarlino : l’accord majeur parfait et moyenne harmonique De l’antiquité à la renaissance, musique, mathématiques et astronomie n’étaient qu’une seule « discipline» (cf « Harmonia Mundi » de Képler). Les nombres rationnels, rapports d’entiers, étaient représentés par 2 segments (Thalès en fait). Les notes d’une gamme étaient représentées par des segments. Les fréquences sont inversement proportionnelles aux longueurs de cordes. La fréquence de N2 est la moyenne arithmétique des fréquences N1 et N3. Mais si on raisonne sur les longueurs comme autrefois: N1,N2,N3 sont en accord parfait majeur si les longueurs sont proportionnelles à (1,4/5,5/6) ou (30,24,25). L2 n’est plus la moyenne arithmétique de L1 et L3. Mais (1/L2) est la moyenne arithmétique de 1/L1 et 1/L3: C’est la moyenne harmonique: L2 est la moyenne harmonique de L1 et L3 L 4/5 L 2/3L + 1 tierce majeure x 4/5 + 1 tierce mineure x 5/6 N1 N2 N3

Gamme de Zarlino : Représentation circulaire de la gamme On veut représenter la gamme sur un cercle représentant l’octave: Le problème est de savoir quelle longueur donner aux arcs de cercle correspondant aux 2 tierces sachant que la circonférence totale fait 2p et correspond au coefficient multiplicateur 2 (octave). La somme des longueurs des deux arcs correspondant à 6/5 et 5/4 doit être égale à un arc correspondant à 6/5*5/4. La relation arc(6/5)+arc(5/4) = arc(6/5*5/4) suggère de prendre un logarithme: Arc(6/5)=k*LN(6/5) Arc(5/4)=k*LN(5/4) Arc(2)=k*LN(2) = 2p donc k=2p/Ln(2) Il en résulte que : Arc(6/5) = LN(6/5)*2p/Ln(2)  1,65 ou 94,6924° Arc(5/4) = LN(5/4)*2p/Ln(2)  2,02 ou 115,89411° Arc(4/3) = LN(4/3)*2p/Ln(2)  2,61 ou 149,4135° Et on a bien la somme des 3 arcs égale à 2p. 1,65+2,02+2,61  6,28  2p 94,6924°+ 115,8941°+ 149,4135° = 360°

Gamme de Zarlino : Construction des notes DO, MI, SOL DO est un point arbitraire du cercle correspondant à la fréquence 1.F, qu’on notera 1. Par définition les notes MI et SOL sont telles que (DO, MI, SOL) soit un accord parfait majeur. Les fréquences de MI et SOL sont donc: MI : 1*5/4 = 5/4 = 1,25 SOL: 5/4*6/5 = 3/2 Chez Pythagore: DO: 1 MI: 81/64 1,2656 SOL: 3/2 Le MI de Zarlino diffère du MI Pythagore: L’écart entre les 2 MI est 81/80 81/80 est le coefficient multiplicateur du comma de Zarlino (ou comma syntonique). DO  1 MI  5/4 SOL 3/2

Gamme de Zarlino : Construction des notes SI, RE Par définition les notes SI et RE sont telles que (SOL, SI, RE) soit un accord parfait majeur. Les fréquences de MI et SOL sont donc: SI : 3/2*5/4 = 15/8 = 1,875 RE: 15/8*6/5 = 9/4 = 2,25 Qu’on ramène à l’octave en divisant par 2: RE: 9/8 = 1,125 Chez Pythagore: RE: 9/8 SI: 243/128 1,898 Le SI de Zarlino diffère du SI Pythagore: L’écart entre les 2 SI est 81/80 (comma de Zarlino). DO  1 RE  9/8 MI  5/4 SOL 3/2 SI  15/8

Gamme de Zarlino : Construction des notes FA, LA Par définition les notes FA et LA sont telles que (FA, LA, DO) soit un accord parfait majeur. Les fréquences de FA et LA sont donc: LA : 1/(6/5) = 5/6  0,875 Qu’on ramène à l’octave en multipliant par 2: LA: 5/3  1,67 FA : (5/3)/(5/4) = 4/3  1,33 Chez Pythagore: FA: 4/3 LA: 27/16 = 1,6875 Le LA de Zarlino diffère du LA Pythagore: L’écart entre les 2 LA est 81/80 (comma de Zarlino). DO  1 RE  9/8 MI  5/4 FA  4/3 SOL 3/2 LA  5/3 SI  15/8

Gamme de Zarlino : La gamme diatonique de Zarlino DO  1 RE  9/8 MI  5/4 FA  4/3 SOL 3/2 LA  5/3 SI  15/8 On obtient donc La gamme diatonique de Zarlino et 3 nouveaux petits intervalles: [DO;RE] = [FA;SOL] = [LA;SI] = TON MAJEUR RE/DO = SOL/FA = SI/LA = 9/8 [RE;MI] = [SOL;LA] = TON MINEUR MI/RE = LA/SOL = 10/9 [MI;FA] = [SI;DO] = DEMI TON MAJEUR FA/MI = DO/SI = 16/15 INTERVALLES et leurs « inverses »: OCTAVE ([DO;DO])  2 QUINTE ([DO;SOL])  3/2 QUARTE ([SOL;DO])  4/3 TIERCE MAJEURE ([DO;MI])  5/4 SIXTE MINEURE ([MI;DO])  8/5 TIERCE MINEUR ([MI;SOL])  6/5 SIXTE MAJEURE ([SOL;MI])  5/3 TON MAJEUR ([DO;RE])  9/8 Septième majeure faible ([RE;DO])  16/9 TON MINEUR ([RE;MI])  10/9 Septième mineure ([MI;RE])  9/5 DEMI TON MAJEUR ([MI;FA])  16/15 Septième majeure ([FA;MI])  15/8

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes SOL# et DO# Par définition la note SOL# est telle que (MI, SOL# , SI) soit un accord parfait majeur. DO  1 RE  9/8 MI  5/4 FA  4/3 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 SI  15/8 La fréquence de SOL# est donc: SOL# = (5/4)*(5/4) = 25/16  1,56 Chez Pythagore, SOL# = 6561/4096  1,60 Par définition la note DO# est telle que (LA, DO# , MI) soit un accord parfait majeur. DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 MI  5/4 FA  4/3 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 SI  15/8 La fréquence de DOL# est donc: DO# = (5/3)*(5/4)/2 = 25/24  1,04 Chez Pythagore, DO# = 2187/2048  1,07

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes RE # et FA# Par définition les notes RE# et FA# sont telles que (SI, RE# , FA #) soit un accord parfait majeur. Les fréquences de RE# et FA# sont donc: RE# = (15/8)*(5/4)/2 = 75/64  1,17 FA# = (75/64)*(6/5) = 45/32  1,41 Chez Pythagore: RE# = 19683/16384  1,20 FA# = 729/512  1,42 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 SI  15/8

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes LA+ et MI# Par définition la note LA+ est telle que (RE, FA# , LA+) soit un accord parfait majeur. La fréquence de LA+ est donc: LA+ = (9/8)*(3/2) = 27/16  1,69 Chez Pythagore: LA = 27/16  1,69 LA+ de Zarlino = LA de Pythagore Par définition la note MI# est telle que (DO#, MI# , SOL#) soit un accord parfait majeur. DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 LA+  27/16 SI  15/8 La fréquence de MI# est donc: MI# = (25/24)*(5/4) = 125/96  1,30 Chez Pythagore: MI#  1,35 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 LA+  27/16 SI  15/8

Gamme de Zarlino : Une nouvelle note SI# Par définition la note SI# est telle que (SOL#, SI# , RE#) soit un accord parfait majeur. La fréquence de SI# est donc: SI# = (25/16)*(5/4) = 125/64  1,95 Chez Pythagore: SI#  2,02 (DO+ 1 comma P.) En résumé les accords parfaits majeurs sont: ( DO, MI , SOL ) ( DO#, MI# , SOL# ) ( RE, FA# , LA+ ) ( MI, SOL# , SI ) ( FA, LA , DO ) ( SOL, SI , RE ) ( SOL#, SI# , RE# ) ( LA, DO# , MI ) ( SI, RE # , FA# ) DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 LA+  27/16 SI  15/8 SI# 125/96

Gamme de Zarlino : l’accord parfait mineur 3 notes séparées d’une tierce mineure puis d’une tierce majeure forme un Accord Parfait Mineur F 6/5F 3/2F + 1 tierce mineure x 6/5 + 1 tierce majeure x 5/4 N1 N2 N3 Les fréquences de ces 3 notes doivent être proportionnelles à (1,6/5,3/2) ou (10,12,15) Comme par exemple (MI, SOL, SI) , (LA, DO, MI), (SI, RE, FA#)

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes LAb et MIb Par définition la note MIb est telle que (DO, MIb , SOL) soit un accord parfait mineur. Par définition la note LAb est telle que (FA, LAb , DO) soit un accord parfait mineur. La fréquence de MIb est donc: MIb = 1*(6/5) = 6/5 = 1,2 Chez Pythagore: MIb = 32/27  1,18 La fréquence de LAb est donc: LAb = (4/3)*(6/5) = 8/5 = 1,6 Chez Pythagore: LAb =128/81  1,58 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 SI  15/8 SI# 125/96 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 LA  5/3 LA+  27/16 SI  15/8 SI# 125/96

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes SIb et SOLb Par définition la note SIb est telle que (SOL, SIb , RE) soit un accord parfait mineur. Par définition la note SOLb est telle que (MIb, SOLb , SIb) soit un accord parfait mineur. La fréquence de SOLb est donc: SOLb = (6/5)*(6/5) = 36/25 = 1,44 Chez Pythagore: SOLb =1024/729  1,40 La fréquence de SIb est donc: SIb = (3/2)*(6/5) = 9/5 = 1,8 Chez Pythagore: SIb = 16/9  1,78 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOL 3/2 SOL# 25/16 MIb  6/5 LA  5/3 LA+  27/16 SI  15/8 SI# 125/96

Gamme de Zarlino : une nouvelle note FA+ Par définition la note FA+ est telle que (RE, FA+ , LA+) soit un accord parfait mineur. La fréquence de FA+ est donc: FA+ = (9/8)*(6/5) = 27/20 = 1,8 Chez Pythagore: SIb = 16/9  1,78 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 FA  4/3 FA+  27/20 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 FA  4/3 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 MIb  6/5 LA  5/3 LA+  27/16 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96

Gamme de Zarlino : nouvelle note LA# Par définition la note LA# est telle que (RE#, FA# , LA#) soit un accord parfait mineur. LA# = (45/32)*(5/4) = 225/128 = 1,76 Chez Pythagore: LA#  1,80 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA+  27/20 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 LA# 225/128 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA+  27/20 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96

Gamme de Zarlino : Deux Reb !: Reb et Reb+ Pour des raisons de symétries (et obtenir 3 sortes d’arcs sur le cercle de Zarlino) on est amené à définir deux Reb (on a déjà 2 FA et 2 LA): REb = DO + 1 Demi ton majeur : REb = 1*16/15 = 16/15 REb + = REb + 1 comma Zarlino : REb + = (16/15)*(81/80) = 27/25 DO  1 DO# 25/24 REb  16/15 REb +  27/25 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA+  27/20 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 LA# 225/128 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96 DO  1 DO# 25/24 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA+  27/20 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 LA# 225/128 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96

Gamme de Zarlino : Gamme chromatique Arc rouge = DEMI TON MINEUR Arc rouge + arc bleu = DEMI TON MAJEUR Arc vert = COMMA ZARLINO DO  1 DO# 25/24 REb  16/15 REb +  27/25 RE  9/8 RE# 75/64 MIb  6/5 MI  5/4 MI# 125/96 FA  4/3 FA+  27/20 FA# 45/32 SOLb  36/25 SOL 3/2 SOL# 25/16 LAb  8/5 LA  5/3 LA+  27/16 LA# 225/128 SIb  9/5 SI  15/8 SI# 125/96 Diéser une note revient à augmenter d’un demi ton mineur (attention pour FA et LA, on prend les notes +) Bémoliser une note revient à diminuer d’un demi ton mineur (attention aux notes LA et RE)

Gamme de Zarlino : Les accords parfaits majeurs et mineurs Accords parfaits majeurs ( DO, MI , SOL ) ( DO#, MI# , SOL# ) ( RE, FA# , LA+ ) ( MI b, SOL , SI b ) ( MI, SOL# , SI ) ( FA, LA , DO ) ( SOL b, SI b , RE b+ ) ( SOL, SI , RE ) ( SOL #, SI # , RE # ) ( LA b, DO , MI b ) ( LA, DO# , MI ) ( SI b, RE , FA +) ( SI, RE # , FA# ) Accords parfaits mineurs ( DO, MI b , SOL ) ( DO#, MI , SOL# ) ( RE, FA + , LA+ ) ( RE#, FA# , LA# ) ( MI b, SOL b , SI b ) ( MI, SOL, SI ) ( MI#, SOL#, SI# ) ( FA, LA b , DO ) ( SOL, SI b , RE ) ( SOL#, SI , RE# ) ( LA , DO , MI ) ( SI b, RE b+ , FA +) ( SI, RE , FA# )