Information, Calcul, Communication Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module de ce cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notions d’entropie et de compression de l’information. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 2: Reconstruction Clip 2: La fonction sin cardinale O. Lévêque, R. Boulic, commentaire: P. Janson

Plan de la leçon La reconstruction d’un signal La fonction sinusoïdale cardinale sinc Le théorème d’échantillonnage La preuve du théorème d’échantillonnage L’effet stroboscopique Pour comprendre dans quelles conditions un signal Xi(t) reconstruit est bien égal en tout temps t à son signal original X(t) il faut étudier de plus près la fameuse fonction sinusoïdale cardinale sinc qui est au cœur de la formule d’interpolation C’est le sujet du présent clip sur la reconstruction de signaux.

Le rôle des éléments de la fonction 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) Le terme -nTe introduit un déphasage temporel qui centre la fonction normalisée sinc(t/Te) sur chaque instant échantillonné nTe Le ne terme de la somme vaut X(nTe) quand t = nTe parce que sinc((nTe-nTe)/Te) vaut 1 Quand t = mTe (m ≠ n) sinc(m-n) vaut en effet 0 pour tout (m-n) entier différent de zéro Et la normalisation du temps t par Te annule l'influence de tous les me termes (m ≠ n) Tout ceci est repris dans le vidéoclip animé du Prof. Lévèque http://moodle.epfl.ch/mod/url/view.php?id=873011 Pour comprendre le sens de cette fonction sinc il est nécessaire de comprendre le rôle de chacun des éléments de la formule d’interpolation. 1 1°/ dans la fonction sinc, le terme –nTe introduit un déphasage temporel qui centre la fonction normalisée sinc(t/Te) sur chaque instant échantillonné nTe comme on le voit bien sur le graphique ci-contre de la fonction sinc. 2 2°/ on voit bien aussi sur le graphique que la fonction sinc vaut 1 à l’instant t=0. Donc le ne terme de la somme vaut bien X(nTe) quand t = nTe puisque dans ce cas la fonction sinc((t-nTe)/Te) = sinc(0) = 1. 3 3°/ par contre on voit aussi sur le graphique que la fonction sinc vaut 0 à tout instant nTe où n est un entier non nul. Donc pour chaque échantillon t = mTe où m ≠ n, sinc(m-n) vaut 0 et donc à tous ces instants m ≠ n le me terme n’a aucune influence sur la somme. 4 Enfin 4°/ comme on le voit aussi sur le graphique de sinc ENTRE les instants d’échantillonnage plus la différence entre t et nTe est grande, plus sa normalisation par Te amortit l'influence de tous les me termes de la somme par rapport au ne terme pour m ≠ n. En d’autres mots, pour chaque élément n de la somme, la fonction sinc donne une prépondérance considérable au ne échantillon par rapport aux autres. 5 Tout ceci est illustré dans le vidéoclip animé du Prof. Lévèque http://moodle.epfl.ch/mod/url/view.php?id=873011

Exemple Echantillonnage et reconstruction d'une fonction périodique de fréquence 2 Hz Pour nous convaincre des qualités d’interpolation indiscutables de la fonction sinc, considérons simplement à titre d’exemple le problème de l’échantillonnage et de la reconstruction de la fonction périodique de fréquence 2 Hz X(t) = sin(4πt) + ½ sin(8πt). On voit ici les deux sinusoïdes composant ce signal ainsi que leur somme.

Echantillonnage avec fe = 10 Hz Envisageons d’abord un échantillonnage à une fréquence fe de 10 Hz. Il en découlerait les échantillons marqués ici par des points rouges.

Valeurs échantillonnées avec fe = 10 Hz Ici encore ces mêmes points rouges sans le signal original.

L’outil de reconstruction La fonction sinc = sinus cardinal normalisé Reprenons alors la fonction sinc représentée ici.

Reconstruction La fonction sinc est décalée sur chaque instant échantillonné, mise à l'échelle temporelle de la période d'échantillonnage mise à l'échelle de la valeur échantillonnée Dans la formule d’interpolation … 1 … cette fonction sinc est décalée sur chaque instant échantillonné, … 2 … elle est mise à l'échelle horizontale (temporelle) de la période d'échantillonnage, … 3 … et à l’échelle verticale (amplitude) de la valeur échantillonnée.

Reconstruction - l'échantillon en t=0 vaut 0, donc aucune contribution + contribution en t=1*Te L’échantillon à t=0 vaut 0 et ne fournit donc aucune contribution à l’interpolation. Par contre à l’instant t=1 x Te l’échantillon fournit une contribution majeure représentée ici par la fonction sinc correspondante.

Reconstruction - l'échantillon en t=0 vaut 0 donc aucune contribution + contribution en t=1*Te + contribution en t=2*Te Il en va de même à l’instant t = 2 x Te quoique la contribution soit bien plus faible vu la faible valeur de l’échantillon à cet instant, comme représenté ici par une 2e fonction sinc d’amplitude bien moindre que la 1e.

Reconstruction - l'échantillon en t=0 vaut 0 donc aucune contribution + contribution en t=1*Te + contribution en t=2*Te + contribution en t=3*Te Et idem pour l’instant t = 3 x Te, qui offre aussi une faible contribution …

Reconstruction - l'échantillon en t=0 vaut 0 donc aucune contribution + contribution en t=1*Te + contribution en t=2*Te + contribution en t=3*Te + contribution en t=4*Te … puis l’instant t = 4 x Te qui offre, lui, une contribution à nouveau plus forte.

Reconstruction - l'échantillon en t=0 vaut 0 donc aucune contribution + contribution en t=1*Te + contribution en t=2*Te + contribution en t=3*Te + contribution en t=4*Te - l'échantillon en t=5 vaut 0 + contribution en t=6*Te Le 5e échantillon étant nul, il ne contribue rien, comme au temps t=0. Par contre le 6e échantillon contribue à nouveau beaucoup, comme celui à t=Te.

Reconstruction - l'échantillon en t=0 vaut 0 donc aucune contribution + contribution en t=1*Te + contribution en t=2*Te + contribution en t=3*Te + contribution en t=4*Te - l'échantillon en t=5 vaut 0 + contribution en t=6*Te + contribution en t=-1*Te + … … et ainsi de suite pour les échantillons successifs.

Approximation de la somme des courbes Si on fait alors la somme de toutes les fonctions sinc contribuées par chaque échantillon, on retrouve en effet bien le signal original, ici en bleu, ce qui conclut notre exemple.