Pi ~3,1415926535…

Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Histoire: La lettre grecque "π" est la première des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est à dire circonférence). Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie. La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs approchées connues de π : Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que π est évalué à

Calcul de la valeur de pi: Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre π ne possède pas de développement décimal fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une valeur approchée avec 100 décimales: 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 … Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Pi à travers le temps ... INTRODUCTION: Le nombre Pi est parvenu à nos jours en évoluant au cours des siècles. De nos jours on peut trouver à peu près 1 000 000 000 000 de décimales de Pi. Le nombre Pi sert à calculer les volumes, les aires des sphères ou des disques.

1. Babyloniens Une tablette babylonienne trouvée en 1936 date de plus de 4000 ans. Les Babyloniens savaient que le périmètre d’un hexagone est le triple de son diamètre. Ils savaient que le rapport entre le périmètre d’un cercle de 1 cm de rayon et celui d’un hexagone inscrit avait une valeur de 57/60+36/(60)² (valeur obtenue d’après un usage de base de 60). Ils en ont déduit:             Π = 3/(57/60+36/3600)                = 3+1/8 = 3,1 25 

2. Égyptiens  Le papyrus de Rhind trouvé en 1855, recopié vers 1650 avant J-C par le scribe Ahmès montre que les Egyptiens ont travaillé sur le nombre Pi. Les archéologues et les chercheurs ont conclu que le problème était encore plus ancien (1800 ans av.J.C.) . Le calcul de ce problème évalue le nombre Pi à une formule de (16/9)² = 3,160449.  Méthode de calcul : On construit un octogone dans un carré, dont chaque côté mesure 9 unités. L’aire de cet octogone est égale à 63 unités en comptant les carrés et les demi-carrés qui le constituent. On dessine un cercle qui a pour aire (9/2)²Π, circonscrit à cet octogone. Cette aire est à peu près égale  à 63. Puis on remplace 63 par 64 pour faciliter les calculs et on trouve (16/9)²Π pour l’aire de ce cercle. Autrement dit les Egyptiens connaissaient la formule pour calculer le périmètre d’un cercle: P=2Πr.

3. Dans la Bible: Dans la Bible (Livre des Rois 1, 7, 3 et 2, chronique 4, 2), le texte expliquant la construction du temple de Salomon et la description du grand chaudron du fondeur de bronze Hiram (aux alentours de 550 avant J.C.)  indique l’utilisation du nombre Pi. Π=3. Cette valeur n’était qu’une approximation.

4. Grecs  Les Grecs ont travaillé sur les quadratures du cercle et ont défini : Π=3,1

5. Archimède de Syracuse (287-212 avJC.) Mathématicien et ingénieur, il progresse sur le sujet de Pi. Il établit que le rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre  à son diamètre. Ensuite, en considérant des polygones de 6, 12, 24, 48 puis de 96 côtés, il détermine des encadrements.  3+10/71 < Π <3+1/7       ou        223/71 < Π < 22/7 Il obtient 3,1408 < Π < 3,1429. Il utilisait des calculs abstraits mais pas des mesures. C‘est le premier à proposer une méthode de calcul de Pi avec une précision aussi grande que l’on veut.

 6. En Inde En Inde le plus ancien document date de 380 après J.C. Ce texte utilise les valeurs :     3+177/1250 = 3,1416 Aryabhata en 449 utilise 3, 1416 comme valeur d’après les formules d’Archimède. Un peu plus tard, en  596 après J.C. le mathématicien Brahmagupta définit: Π = V10 = 3,162277

7.  En Chine : En 1200 avant J.C. les Chinois utilisaient la valeur Π=3. En 130 de notre ère Hou Han Shu proposa Π = 3,1622 comme valeur très proche de V10. En 263, Lui Hui étudie comme Archimède un polygone de 192 côtés et proposa l’encadrement: 3,1415926 < Π < 3,1415927 et trouve l’approximation de 355/113 que l’Europe ne trouvera qu’au XVIe siècle.

8. Dans le monde de l’Islam : Vers l’an 800, Muhammed ibn Musa Al-Khwarizmi né en Huwarizm (en Ouzbekistan nommé aujourd’hui Khiva) a utilisé la valeur Π=3,1416. Vers 1450 Al-Kashi astronome à Samarkand (en Turkestan) dont il dirige un observatoire calcule Pi avec 14 décimales. Par la méthode d’Archimède : C‘est la première fois dans l’histoire de l’humanité que l’on obtient plus de dix décimales de Π.                                                             Al-Khashi calcule dans le système sexagésimal et trouve Π = 3,082944004725530725.

Que j' aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Un petit poème pour Pi : Que j' aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste ingénieux ! Toi, de qui Syracuse, aime encore la gloire, Soit ton nom conservé par de savants grimoires. Jadis, mystérieux, un problème existait. Tout l'admirable procédé, l 'oeuvre étonnante ! Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs: Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe !  Sibylline rondeur, trop longtemps vous avez Défié Pythagore et ses imitateurs ! Comment intégrer l'espace plan circulaire ? Former un triangle auquel il équivaudra ? Nouvelle invention : Archimède inscrira Dedans un hexagone ; Appréciera son aire Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra ! Dédoublera chaque élément antérieur ; Toujours de l'orbe calculée approchera; Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle ! Professeur, enseignez son problème avec zèle... En effet, en remplaçant chacun des mots par le nombre de lettres le constituant, on obtient... Pi!) (Remarque: un mot de 10 lettres = 0) 3,14159265358979323846264338327950288419 716939937510582097494459230781640628620 899862803482534211706798214808651328230 664709384460955058223172535940812848111 745028410270193852110555964462294895493 038196442881097566593344612847564823378 678316527120190914564856692346034861045 432664821339360726024914127372458700660 631558817488152092096282925409171536436 789259036001133053054882046652138414695 194151160943305727036575959195309218611 738193261179310511854807446237996274956 735188575272489122793818301194912983367 336244065664308602139494639522473719070 217986094370277053921717629317675238467 481846766940513200056812714526356082778 577134275778960917363717872146844090122 495343014654958537105079227968925892354 201995611212902196086403441815981362977 477130996051870721134999999837297804995 105973173281609631859502445945534690830 264252230825334468503526193118817101000 3137838752...

9.  En Europe : Claude Ptolémée, astronome et géonome grec (vers 100-170) utilise la valeur sexagésimale: 3+8/60+30/(60)²=3+17/120=377/120= 3,1416666 En 1220 Léonard de Pise (dit Fibonacci) [1180-1250] calcule Π=3,141818 En 1573 en Allemagne Valentinus Otho trouve 355/113 (déjà connu par les Chinois depuis le Ve siècle) Π=3,14159292 (utilisation avec 6 décimales). En Allemagne Nicolas de Cues (1401-1464) propose la valeur   Π = 3/4 (V3+V6) = 3,13615. Regimontanus a démontré sa fausseté un peu plus tard. En 1593 aux Pays-Bas Adriaen von Rooman (1561-1615) calcule Π avec 15 décimales en utilisant un polygone. Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilise la méthode d’Archimède à l’université de Leyde .En 1596, il calcule Pi avec 20 décimales puis en 1609 avec 34 décimales.

10.  Isaac Newton Isaac Newton (1642-1727) calcule Pi avec 16 décimales.

11. Wiliam Gosper Calcule Pi avec 17 millions de décimales en 1985.

12. Au Japon Yasumasa Kanada En 1997 Yasumasa Kanada et Daisuke Takahashi obtient le record de Pi avec 51 539 600 000 décimales.

CONCLUSION On voit que le nombre Pi est un nombre infini dit  “transcendant”, et a une histoire qui date de 2000 ans avant J-C Ce nombre est infini. On peut même trouver des chansons, des poèmes, ou  écrits sur le nombre Pi. Ce qui  montre que Pi est aussi  un nombre fascinant.

Site source : http://www.lcdgankara.org/eleves/sites/maths2001/pi.htm