Suites de matrices Quelques usages récurrents Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil

Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites » « Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».

Extraits du nouveau programme

Perspective de la présentation Une entrée spécifique par la résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste d’exemples phares dans le libellé du programme (liste non exhaustive). Phénomènes stochastiques et marches aléatoires sur un graphe probabiliste : des ressorts communs et des variantes.

Un exemple contextualisé Une petite station de ski dispose de 3 remontées mécaniques (1), (2) et (3). Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire, on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes. On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn : Ln = (P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3)) Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.

Données numériques On suppose que la station est configurée de telle sorte qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une probabilité 𝑝 12 = P (Xn = 1) (Xn+1 = 2) = 0,3 Plus généralement, on donne 𝑝 𝑖𝑗 = P (Xn = i) (Xn+1 = j)

Arbre de probabilités conditionnelles

Graphe probabiliste La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste. La somme des poids des arêtes orientées issues de chaque sommet est égale à 1.

Matrice de transition A partir de l’arbre : On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le skieur emprunte la remontée (1), (2), (3) à l’issue de sa nième descente. On note y1, y2, y3 les probabilités pour qu’il se dirige vers la remontée (1), (2), (3) après la descente suivante. On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3 … Et les deux autres relations analogues.

Matrice de transition Ln+1 = Ln . T Ces relations se traduisent matriciellement par : Ln+1 = Ln . T Où la matrice T = se lit directement sur le tableau :

Interprétation de T2 Ln+2 = Ln . T2 Puisque les coefficients de T2 s’interprètent comme les probabilités de passer d’une remontée à une autre en 2 descentes. De même pour Tk .

Etat probabiliste après n descentes Il est alors facile de montrer par récurrence que : Ln = L0 . Tn (L0 représente les probabilités de se diriger vers les remontées (1) , (2) et (3) en début de séjour).

Calculs de Tn sur logiciel Sur tableur : Ski T puissance n.xlsx [Syntaxe : PRODUITMAT(plage;plage) puis sélectionner plage de réponse, puis f2, puis ctrl+maj+entrée]. Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une stabilisation à partir de n=15 environ sur la matrice :

Une CS de convergence de Tn Une condition suffisante pour que (Tn) converge : On peut démontrer que, dans le cas des matrices stochastiques, si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers une matrice stochastique T∞ dont toutes les lignes sont égales entre elles [et égales à un état stable de T (état alors unique)].

Convergence de (Ln) En admettant la convergence de (Tn ) vers une matrice dont toutes les lignes sont égales entre elles : Par passage à la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln) converge vers L∞ . Par passage à la limite dans Ln+1 = Ln . T , L∞ est stable pour T (autrement dit, L∞ est un vecteur propre associé à la valeur propre 1). On peut montrer que, dans ce cas, L∞ ne dépend pas de L0.

Convergence de Ln Dans notre exemple, valeur exacte de l’état stable, et donc de l’état probabiliste limite : Ici, on peut constater que : V = ( 24 61 20 61 17 61 ) est stable pour T et que les valeurs approchées de ces fractions correspondent aux lignes de T∞ : (On verra comment trouver la valeur exacte de V…).

L’essence de la démarche (Xn) suite de VA dont on peut suivre l’évolution sur : Une tranche d’arbre de probabilités conditionnelles : P (Xn = i) (Xn+1 = j) est indépendante de n. Un graphe probabiliste exprimant la transition entre les différents états probabilistes : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1) Une matrice de transition T stochastique indépendante de n, avec : Ln+1 = Ln . T Par récurrence : Ln = L0 . Tn

L’essence de la démarche Etude asymptotique Rappel : une CS pour que (Tn) converge. Avec la CS : pas de zéro (qui exige en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle), on a la convergence vers une matrice aux lignes égales entre elles. Une condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière » : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls. Et s’il n’y a pas convergence ? Rôle des états stables.

Cas où (Tn) converge L∞ . T = L∞ signifie que L∞ est vecteur propre de T associé à la valeur propre 1. Si l’espace propre est de dim 1, L∞ est l’unique vecteur propre stochastique. Pour déterminer L∞ , on cherche donc à résoudre l’équation V . T = V , soit V . (T – Id) = 0. Autrement dit , on s’intéresse au noyau de la transposée de (T – Id) en gardant en tête que l’on cherche des vecteurs stochastiques. Note : le document ressource évoque la diagonalisation éventuelle des matrices d’ordre 2.

Des cas où (Tn) ne converge pas La condition suffisante de convergence de (Tn) portant sur l’absence de 0 ne se rencontre pas très souvent dans la pratique mais nous allons voir que même l’absence de convergence de (Tn) n’empêche pas d’explorer le comportement asymptotique de (Ln).

Des cas où (Tn) ne converge pas Dans ce cas : L’existence d’un état stable reste possible, ce qui autorise la convergence occasionnelle de (Ln), c’est-à-dire pour certaines valeurs de L0. On peut rencontrer des cas de convergence de suites extraites de (Tn).

Multiples applications de la démarche Les marches aléatoires sur un graphe probabiliste peuvent être déclinées dans une multitude de contextes : Marche aléatoire dans un labyrinthe Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet Le problème du collectionneur Le modèle des urnes d’Ehrenfest …

Le labyrinthe

La situation

Les hypothèses Un cochon d’inde est lâché dans le labyrinthe. Il se déplace en changeant de compartiment et, pour un déplacement donné, on note n le nombre de franchissements de porte qu’il a effectué depuis son point de départ. Pour changer de compartiment, on considère que le cobaye choisit sa porte au hasard parmi celles qui lui sont accessibles, indépendamment de son parcours antérieur.

Traduction sur un graphe

Traduction matricielle De nombreux zéros …

Calcul de puissances de T Avec Xcas :

Calcul de puissances de T En mode approché pour n grand :

Ici (Tn) ne converge pas, mais … Si on pose : L0 = (0.1 0.3 0.2 0.2 0.2) On a : L0 . T = L0 , autrement dit L0 est stable et la suite (Ln) constante pour ce L0. Ici, L0 est obtenu en cherchant un état tel que la probabilité de présence est proportionnelle au nombre de porte(s) de chaque case.

Un mini Page Rank

Un mini réseau intranet Surf aléatoire sur un micro-réseau… de 4 pages. Ranger intuitivement ces 4 pages par ordre décroissant de fréquentation…

Graphe probabiliste et matrice de transition associée On pondère les arrêtes orientées en supposant l’équiprobabilité de choix des liens présents sur chaque page. On obtient comme matrice de transition :

Ici, (Tn) converge, malgré les 0 En calcul approché avec Xcas, on obtient une stabilisation sur :

Recherche de l’état limite (Tn) convergeant vers une matrice ligne dont toutes les lignes sont égales, on peut démontrer qu’il existe un unique état stable, qui donnera donc l’état limite. Il est tentant de tester le vecteur : L = ( 0 1 3 2 9 4 9 ). On vérifie que L . T = L.

Interprétation La page 4 est donc plus fréquentée que la page 2 par notre surfeur aléatoire. Ce modèle fournit une quantification possible de la pertinence de chacune des pages web du réseau. (Il est aisé de comprendre que cette pertinence ne peut pas être mesurée par le nombre de liens pointant vers chaque page).

Cas du surf « avec saut » Pour pallier la déshérence de la page 1, on va maintenant autoriser notre surfeur aléatoire à interrompre à n’importe quel moment sa navigation précédente pour la reprendre sur une page aléatoirement choisie. (On intercale une épreuve de Bernoulli à chaque étape). Avec saut, on se ramène à l’étude d’une récurrence matricielle du type : Un+1 = Un . A + B

Le problème du collectionneur

Collection des figurines d’une équipe de Volley-Ball Une marque de céréales propose à ses clients de constituer une collection de figurines de l’équipe nationale Volley-Ball. La collection complète consiste en 6 figurines à l’effigie de chaque titulaire de l’équipe. On a mis en place une stratégie pour éviter tout échange de figurines. On souhaite déterminer le nombre d’achats moyen de produits à effectuer pour espérer constituer une collection complète.

Ici, on cherche une espérance On se ramène à une marche aléatoire sur un graphe probabiliste à 7 états (nombre de figurines différentes déjà obtenues après n achats) du type : La matrice de transition (7 × 7) est triangulaire. On s’intéresse ensuite au premier instant où on obtient un nouvelle figurine. On calcule enfin l’espérance de compléter la collection.

Le modèle des urnes d’Ehrenfest

La situation à n = 0

Objectifs de modélisation Le modèle à construire demande de respecter les propriétés suivantes : la probabilité pour une particule donnée de passer de A à B (ou de B à A) est la même, égale à 1/N . cette probabilité ne dépend pas du temps. le comportement d’une particule est indépendant de celui des autres particules.

Modèle stochastique On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter de façon indépendante l'opération suivante : Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, transférer la boule n°i dans l'urne où elle n'était pas. La VAR observée est Xn, effectif de l’urne A.

Une simulation pour N = 10

Un autre résultat pour N = 10

Début d’étude pour N = 3 Graphe probabiliste : les probabilités figurant sur les flèches représentent les probabilités conditionnelles de passage d’une valeur de X à une autre (indépendamment de n).

(avec les probabilités conditionnelles précédentes) Sur un arbre pour N = 3 (avec les probabilités conditionnelles précédentes)

Loi de chaque Xn pour N = 3 Pour tout n, on note Ln l’état probabiliste : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3)) On note tij = P(Xn+1 = j | Xn = i) indépendante de n. Ces relations se traduisent par : Ln+1 = Ln . T Où T est la matrice de transition : T = Par récurrence, Ln = L0 . Tn La suite (Ln) ne dépend que de T et de l’état initial L0

Rôle de la parité Ici, (Tn) ne converge pas. Cas N = 2

Rôle de la parité Pour N = 2, on a : pour tout k impair, Lk = (0 1 0) pour tout k pair différent de 0, Lk+1 = (0,5 0 0,5) (Deux suites extraites constantes distinctes) L’impact de la parité de k n’est pas lié à la parité de N. Dans le cas N = 3, on voyait bien sur l’arbre que : P(Xk = 0) = P(Xk = 2) = 0 pour k pair P(Xk = 1) = P(Xk = 3) = 0 pour k impair

Cas N = 6 avec le logiciel Xcas Même pour N petit, il n’est pas raisonnable d’effectuer les calculs à la main dès que n grandit. Aisé : L0 = (0 0 0 0 0 0 1) L1 = (0 0 0 0 0 1 0) L2 = (0 0 0 0 5/6 0 1/6) L3 = (0 0 0 25/36 0 11/36 0) Mais pour de plus grandes valeurs de n, Xcas donne : (Xcas fournit les valeurs exactes).

Première exploration asymptotique Matrice utile B = T2 Suite des Bk = T2k L2k = L0 . Bk ; L2k+1 = L0 . T . Bk B = En mode calcul approché, Bk semble se stabiliser vers Binf :

Première exploration asymptotique On admet que (Bn) converge vers Binf. = L0 . Binf = L0 . T . Binf B . Binf = B donc Z stable pour B T . Binf est la matrice obtenue en décalant les lignes de Binf ; U est stable pour T . Binf On passe à la limite dans L2k = L0 . Bk et on obtient la convergence de L2k vers Z. De même L2k+1 CV vers U.