Module 5 : Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Plan du module Arbre couvrant minimum Algorithme de Prim Algorithmes de plus court chemin Algorithme de Dijkstra Algorithme de Floyd Problème 10034 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum Un arbre couvrant pour un graphe non-orienté G est composé de tous les sommets de G avec un sous-ensemble des arêtes de G qui Relient les sommets; il existe un chemin entre tous les sommets de l’arbre couvrant Forment un arbre sans racine, non ordonné, sans cycle. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum Un arbre couvrant minimum est un arbre couvrant dont la somme des étiquettes (valeurs attachées aux arêtes) est minimale. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum d b 2 4 5 9 6 a c e d b 2 4 5 9 6 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum Algorithme de Prim L’arbre est construit nœud après nœud partant d’un nœud initial À chaque itération un nœud est ajouté à l’arbre couvrant On ajoute toujours le nœud reliant l’arbre avec l’arête de moindre poids 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum d b 2 4 5 9 6 a c e d b 2 4 5 9 6 A B C D E intree F distance ∞ parent -1 A B C D E intree T F distance ∞ parent -1 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum d b 2 4 5 9 6 Le nœud de départ est A. La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à A. On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids. A B C D E intree T F distance 9 5 2 ∞ parent -1 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum d b 2 4 5 9 6 Le nœud de départ est D. La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à D pas encore dans l’arbre. On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids (ici C et E possibles). A B C D E intree T F distance 6 4 2 parent -1 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum d b 2 4 5 9 6 Le nœud de départ est C. La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à C pas encore dans l’arbre. On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids. A B C D E intree T F distance 6 4 2 parent -1 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum d b 2 4 5 9 6 Le nœud de départ est E. La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à E pas encore dans l’arbre. On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids. A B C D E intree T F distance 5 4 2 parent -1 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum Plus rien ne change. La table parent nous fournit l’arbre de couvrant minimum! a c e d b 2 4 5 9 6 a c e d b 2 4 5 9 6 A B C D E intree T distance 5 4 2 parent -1 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Arbre couvrant minimum FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN intree[i] := false; distance[i] := MAXINT; parent[i] := -1 END; distance[start] := 0; v := start; WHILE NOT intree[v] DO intree[v] := true; FOR i := 0 TO g.degree[v]-1 DO w := g.edges[v][i].v; weight := g.edges[v][i].weight; IF (distance[w] > weight) AND NOT intree[w] THEN BEGIN distance[w] := weight; parent[w] := v END v := start; dist := MAXINT; FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN IF (NOT intree[i]) AND (dist > distance[i]) THEN BEGIN dist := distance[i]; v := i END 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de plus court chemin Soit un graphe orienté ou non ayant des étiquettes sur les arêtes pour représenter leur « longueur ». On veut connaître la « distance » minimale entre deux sommets. En général, la distance minimale d’un sommet u au sommet v est la distance minimum de tous les chemins de u à v. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra C’est l’algorithme de choix pour trouver le chemin de distance minimum entre deux nœuds d’un graphe. Cet algorithme calcule le plus court chemin entre un nœud donné et tous les autres d’un graphe. Ne fonctionne que sur des graphes sans arêtes négatives. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra L’idée de base est très semblable à l’algorithme de Prim. À chaque itération, on ajoute un nœud à l’arbre de nœuds pour lequel nous connaissons le plus court chemin depuis la source s. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra Mais dans le problème du plus court chemin : nous ajoutons un nœud qui est le plus proche en distance de la source s Cette distance est fonction du poids de la nouvelle arête et de la distance depuis la source s de l’arbre de nœuds auquel l’arête est adjacente. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra 10 5 2 1 3 4 6 9 7 s u v x y 8 Single Source Shortest Path Problem 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra 5 10 2 1 3 4 6 9 7 s u v x y 8 (s,x) est le plus court chemin utilisant une seule arête. C’est aussi le plus court chemin de s à x. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra 7 14 5 8 10 2 1 3 4 6 9 s u v x y 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra 7 13 5 8 10 2 1 3 4 6 9 s u v x y 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra 7 9 5 8 10 2 1 3 4 6 s u v x y 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra 7 9 5 8 10 2 1 3 4 6 s u v x y 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithme de Dijkstra BEGIN FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO intree[i] := false; distance[i] := inf; parent[i] := -1 END; distance[start] := 0; v := start; WHILE NOT intree[v] DO intree[v] := true; FOR i := 0 TO g.degree[v]-1 DO w := g.edges[v][i].v; weight := g.edges[v][i].weight; IF (distance[w] > distance[v]+weight) AND NOT intree[w] THEN BEGIN distance[w] := distance[v]+weight; parent[w] := v END v := 0; dist := MAXINT; FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN IF (NOT intree[i]) AND (dist > distance[i]) THEN BEGIN dist := distance[i]; v := i END END; print_shortest_paths(g,0) 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Trouver tous les plus courts chemins entre toutes les paires de nœuds d’un graphe. Le graphe peut contenir des arêtes négatives, mais pas de cycle à coût négatif 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Représentation du graphe : Une matrice de poids W(i,j)=0 si i=j W(i,j)=¥ s’il n’y a pas d’arête entre i et j W(i,j) = “poids de l’arête” 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd v1 v2 v3 v4 v5 3 2 4 1 9 5 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Comment définir la distance la plus courte di,j en termes de problèmes plus “petits”? Une façon de faire consiste à se limiter à des chemins n’incluant que des nœuds d’un sous-ensemble restreint. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Initialement, ce sous-ensemble est vide. Ensuite il est augmenté progressivement, un nœud à la fois, jusqu’à ce qu’il contienne tous les nœuds du graphe. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Soit D(k)[i,j]=poids du plus court chemin de vi à vj n’utilisant que les nœuds {v1,v2,…,vk} comme nœuds intermédiaires dans le chemin D(0)=W D(n)=D c’est la matrice finale Comment calculer D(k) depuis D(k-1) ? 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Cas 1: Un plus court chemin de vi à vj limité aux nœuds {v1,v2,…,vk} comme nœuds intermédiaires n’utilise pas vk. Alors D(k)[i,j]= D(k-1)[i,j]. Cas 2: Un plus court chemin de vi à vj limité aux nœuds {v1,v2,…,vk} comme nœuds intermédiaires utilise vk. Alors D(k)[i,j]= D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j]. Plus court chemin utilisant les nœuds {V1, . . . Vk } Vk Vj Vi Plus court chemin utilisant les nœuds { V1, . . . Vk -1 } 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Comme D(k)[i,j]= D(k-1)[i,j] or D(k)[i,j]= D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j]. On obtient: D(k)[i,j]= min{ D(k-1)[i,j], D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j] } Plus court chemin utilisant les nœuds {V1, . . . Vk } Vk Vj Vi Plus court chemin utilisant les nœuds { V1, . . . Vk -1 } 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd W = D0 = 4 5 2  -3 1 3 1 2 3 5 -3 4 1 2 3 P = 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd 4 5 2 7  -3 1 3 K = 1 Le nœud 1 peut être nœud intermédiaire. D1 = D1[2,3] = min( D0[2,3], D0[2,1]+D0[1,3] ) = min (, 7) = 7 D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] ) = min (-3,) = -3 1 2 3 P = 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd 4 5 2 7 -1 -3 1 3 K = 2 Les nœuds 1 et 2 peuvent être nœuds intermédiaires. D2 = D2[1,3] = min( D1[1,3], D1[1,2]+D1[2,3] ) = min (5, 4+7) = 5 D2[3,1] = min( D1[3,1], D1[3,2]+D1[2,1] ) = min (, -3+2) = -1 1 2 3 P = 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd 2 5 7 -1 -3 1 3 K = 3 Les nœuds 1, 2, 3 peuvent être nœuds intermédiaires. D3 = D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] ) = min (4, 5+(-3)) = 2 D3[2,1] = min(D2[2,1], D2[2,3]+D2[3,1] ) = min (2, 7+ (-1)) 3 1 2 P = 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd 1. D  W // initialiser D avec les poids des arêtes 2. P  0 // initialiser P à 0 3. for k  1 to n 4. do for i  1 to n 5. do for j  1 to n 6. if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] ) 7. then D[ i, j ]  D[ i, k ] + D[ k, j ] 8. P[ i, j ]  k; 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Pourquoi peut-on travailler sur une même matrice ? D[i,j] ne dépend que des éléments de la kième ligne et kième colonne de la matrice. La kième ligne et kième colonne de la matrice restent inchangées lorsqu’on calcule Dk 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd Les éléments de la diagonale principale restent à 0 car : D(k)[ j,j ] = min{ D(k-1)[ j,j ] , D(k-1)[ j,k ] + D(k-1)[ k,j ] } = min{ 0, D(k-1)[ j,k ] + D(k-1)[ k,j ] } = 0 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd La kième colonne de Dk est égale à la kième colonne de Dk-1 : Pour tout i D(k)[i,k] = min{ D(k-1)[i,k], D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,k] } = min { D(k-1)[i,k], D(k-1)[i,k]+0 } = D(k-1)[i,k] 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd La kième ligne de Dk est égale à la kième ligne de Dk-1 : Pour tout i D(k)[k,j] = min{ D(k-1)[k,j], D(k-1)[k,k]+ D(k-1)[k,j] } = min{ D(k-1)[ k,j ], 0+D(k-1)[k,j ] } = D(k-1)[ k,j ] 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Algorithme de Floyd FOR k := 1 TO g.nvertices DO FOR i := 1 TO g.nvertices DO FOR j := 1 TO g.nvertices DO BEGIN through_k := g.weight[i,k]+g.weight[k,j]; IF through_k < g.weight[i,j] THEN BEGIN g.weight[i,j] := through_k; p[i,j] := k END 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Problème 10034 In an episode of the Dick Van Dyke show, little Richie connects the freckles on his Dad's back to form a picture of the Liberty Bell. Alas, one of the freckles turns out to be a scar, so his Ripley's engagement falls through. Consider Dick's back to be a plane with freckles at various (x,y) locations. Your job is to tell Richie how to connect the dots so as to minimize the amount of ink used. Richie connects the dots by drawing straight lines between pairs, possibly lifting the pen between lines. When Richie is done there must be a sequence of connected lines from any freckle to any other freckle. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Problème 10034 Input The input begins with a single positive integer on a line by itself indicating the number of the cases following, each of them as described below. This line is followed by a blank line, and there is also a blank line between two consecutive inputs. The first line contains 0 < n <= 100, the number of freckles on Dick's back. For each freckle, a line follows; each following line contains two real numbers indicating the (x,y) coordinates of the freckle. Output For each test case, the output must follow the description below. The outputs of two consecutive cases will be separated by a blank line. Your program prints a single real number to two decimal places: the minimum total length of ink lines that can connect all the freckles. 19/7/2006 Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes Problème 10034 Sample Input 1 3 1.0 1.0 2.0 2.0 2.0 4.0 Sample Output 3.41 19/7/2006 Algorithmes de graphes