Chapitre 6 : Restauration d’images Pr. M. Talibi Alaoui Département Mathématique et Informatique

Principe Restaurer une image consiste à essayer de compenser les dégradations subies par cette image. Les dégradations les plus courantes : Flou de défocalisation bougé

L’image F dont on dispose : h + B F I Modèle de dégradation

Objectif de la restauration : Calculer à partir de F une image aussi proche que possible de l’image originale I. On a besoin donc de connaître : Le filtre h. La variance du bruit.

Estimation des paramètres de la dégradation Restauration Estimation des paramètres de la dégradation I F Principe général de la restauration d’images

Le filtre de dégradation est symétrique par rapport à l’origine : En prenant la transformée de Fourier, et en supposant que les images I et F sont périodiques :

Détermination des paramètres de la dégradation Modèle du filtre de dégradation Défocalisation Chaque point de la scène donne alors sur l’image une tache en forme de disque, cette tache étant d’autant plus grande que la défocalisation est importante. On a alors :

Elle se modélise par un filtre linéaire dont la réponse Le paramètre à déterminer est donc T. Bougé Elle se modélise par un filtre linéaire dont la réponse impulsionnelle a la forme d’un segment. Ainsi la dégradation se modélise par un filtre horizontal : à 2T+1 coefficients. La valeur du coefficient est alors :

Etude en dimension 1 Pour la clarté de l’explication, nous allons tout d’abord nous placer en dimension 1 (bougé) : L’indice x correspondra à la direction du bougé. La réponse fréquentielle h(x) du filtre est alors : La transformée de Fourier discrète, sur N points, de ce filtre est :

Généralisation au cas à deux dimensions Après démonstration, on pourra déduire que : T = (1/2)*(kN/uk-1) Généralisation au cas à deux dimensions Si on néglige le bruit, l’équation montre que le spectre de l’image dégradée est le produit du spectre de l’image idéale par la transformée de Fourier du filtre de dégradation. Il s’ensuit que les passages par zéro du filtre se retrouvent sur le spectre de l’image dégradée. En visualisant le spectre, on peut donc localiser approximativement ces bandes sombres et en déduire la valeur de T.

Exemple : Estimation des paramètres de la dégradation Calculer le spectre de l’image flou1 (et flou4) et le visualiser ( on utilisera de préférence, une échelle logarithmique ). On remarquera des bandes sombres sur le spectre. Ces bondes sombres correspondent aux passages par zéro du filtre qui a dégradé l’image. On peut localiser approximativement ces bandes sombres et en déduire la valeur de T. Pour une estimation plus précise, on utilisera une sommation.

Restauration par filtrage inverse On filtre l’image dégradée par un filtre g(x,y) qui est l’inverse de h(x,y). On passe dans le domaine des fréquences, en utilisant la transformée de Fourier. En fréquentiel on aura donc : Pour restaurer l’image, on calcule le spectre de l’image restaurée : Ce qui consiste à appliquer le filtre inverse dans la domaine des fréquences. Enfin, une transformée de Fourier inverse nous donne l’image restaurée .

Afin de mieux comprendre le principe et les limites de cette méthode, nous allons à présent exprimer : Soit puisque G(u,v)H(u,v)=1 : Si le bruit était nul, on retrouverait exactement l’image originale.

Pour un bruit non nul, ce qui sera toujours le cas en pratique, un problème se pose lorsque H(u,v) devient très faible, car on a alors une forte valeur de G(u,v), ce qui entraîne une forte amplification du bruit. Solution : borner les valeurs que peut prendre G(u,v) : Si G(u,v)>S alors G(u,v)=S Si G(u,v)<-S alors G(u,v)=-S ou S est un seuil positif. Résultat.

Restauration par filtrage de Wiener Le raisonnement qui vient d’être mené peut être rendu plus rigoureux : on aboutit à la notion de filtre de Wiener. On va déterminer le filtre G(u,v) qui minimise l’erreur quadratique moyenne entre l’image idéale et l’image restaurée : Le G est :

Le problème des effets de bord Nous allons voir successivement deux méthodes pour améliorer les résultats : Estimer les effets de bord pour ensuite les corriger. Faire l’hypothèse qu’au niveau des bords, des points qui se trouvent à l’extérieur de l’image ont des intensités voisines des points qui se trouvent à l’intérieur.

Restauration par estimation et correction des effets de bord On se limitera au cas ou le filtre de dégradation est un filtre horizontal. Cela permet de traiter les lignes de l’image indépendamment les unes des autres. L’indice x correspond à la direction du bougé. Notons I(x) une ligne de l’image idéale et F(x) la même ligne dans l’image dégradée. Les indices x = 0, 1, .., N-1 correspondent à la zone effectivement visible dans l’image, alors que

les indices x négatifs ou supérieurs à N-1 correspondent aux bords extérieurs à l’image. Le filtre de dégradation h(x) vaut 1/(2T+1) pour -T <= x <= +T et 0 ailleurs. On notera H(u) sa transformée de Fourier sur N Points. On posera : pour x = -T,…., T-1. Au niveau de la transformée de Fourier, on peu écrire :

Si on place les N composantes de bruit B(u) dans un vecteur et les 2T composantes de dans un vecteur , on peut démontrer qu’il existe une matrice W précalculable à N lignes et 2T colonnes telle que : H(u) comporte 2T passages par 0. Lorsque u correspond à un passage par zéro, on a : B(uk)=F(uk) Notons le vecteur de dimension 2T contenant ces valeurs, et W0 la matrice de dimension 2T par 2T, formée à partir des 2T lignes de W correspondantes. On a alors : , d’où :

Cette équation permet d’estimer . Ensuite, on calcule le vecteur de bruit grâce à l’équation . On obtient alors La valeur corrigée de F par : On applique ensuite une méthode de restauration classique, mais en remplaçant F(u) par Fcor(u). Résultat

Restauration par symétrie miroir L’erreur est d’autant plus grande que les niveaux d’intensités sur les bords opposés de l’image sont différents. On peut réduire cette différence en travaillant su une image plus grande, construite à partir de l’image initiale par symétrie miroir. En effet, les bords opposés d’une telle image ont des niveaux d’intensité proches.

Notons Ie et Fe les images étendues à partir de I et F. On a alors : Du fait de la faible différence entre les bords opposés de l’image étendue, le bruit Be(u,v) est faible. On peut alors utiliser une méthode de restauration classique simplement appliqué à Fe(u,v).