Quelques algorithmes sur calculatrices

Dichotomie en seconde

Dichotomie en seconde Le problème. Il s’agit de résoudre numériquement x3 = 2 par dichotomie à l’aide de la calculatrice. Après avoir constaté que x x3 est strictement croissante sur [1;1,5] et que la solution a de l’équation est dans l’intervalle [1;1,5], il s’agit de trouver un intervalle de longueur 10-6 contenant a. Algorithme. Variables: a, b: bornes des intervalles successifs c: centre de [a;b] e: longueur de l’encadrement demandé Début algorithme  1 a ; 1.5  b ; 10-6 e ;  Répéter tant que b – a > e  (a+b)/2  c  si c3 > 2 Alors c  b Sinon c  a Fin de répéter  Afficher a et b Fin algorithme

Dichotomie en seconde sur calculatrice Casio 1) Choisir le menu Programme (PRGM), créer un nouveau programme par NEW et donner un nom DICHO (et valider) 1 a ; 1.5  b ; 10-6 e ;  Répéter tant que b – a > e  (a+b)/2  c  si c3 > 2 Alors c  b Sinon c  a Fin de répéter  Afficher a et b 2) Taper le programme ci-contre. On trouve les commandes: While, If, Then, Else, IfEnd, WhileEnd dans shift-PRGM/COM dans shift-PRGM. >, = dans shift-PRGM/REL 3) Lancer le programme :Exit/DICHO/EXE

Dichotomie en seconde sur calculatrice Texas 1) Choisir PRGM, créer un nouveau programme par NEW et donner un nom DICHO (et valider) 1 a ; 1.5  b ; 10-6 e ;  Répéter tant que b – a > e  (a+b)/2  c  si c3 > 2 Alors c  b Sinon c  a Fin de répéter  Afficher a et b 2) Taper le programme ci-contre. On trouve les commandes: While, If, Then, Else, End dans PRGM/CTL <, >, = dans shift-TEST DISP dans PRGM / I/O 3) Lancer le programme: Quit/PRGM/DICHO/EXE

Monte-Carlo en seconde

Monte-Carlo en seconde Le problème. Il s’agit d’évaluer l’aire « sous la courbe » de la fonction x  x2 par la méthode de Monte-Carlo: On prend N points au hasard dans ]0;1[²; P est le nombre de points qui se situent sous la courbe. P/N est une valeur approchée de l’aire sous la courbe à 1/N près (risque d’erreur de 5%). Algorithme. Variables: K : compteur de boucle N: Nombre total de points P: Nombre de points sous la courbe X,Y: coordonnées du point courant Début  Lire N  0P  K variant de 1 à N (par pas de 1)  nb aléatoire dans ]0;1[  X  nb aléatoire dans ]0;1[  Y  Si Y < X² alors P+1  P Fin de boucle afficher P/N Fin algorithme

Monte-Carlo en seconde Calcul d’une approximation de « l’aire sous la courbe » {M(x,y)/0<x<1, 0<y<x²} par Monte-Carlo. Lire N  0P K variant de 1 à N (par pas de 1)  nb aléatoire dans ]0;1[  X  nb aléatoire dans ]0;1[  Y  Si Y < X² alors P+1  P Fin de boucle  afficher P/N

Monte-Carlo en seconde ASPECT GRAPHIQUE XMIN, XMAX … dans VARS/WINDOW Y1 dans Y-VARS/Fonction Pt-on, Line … dans DRAW/POINT et DRAW/DRAW Pour effacer l’écran graphique: CLEARDRAW dans DRAW DISPGRAPH dans PRGM/ IO

Euler en 1ère S

Euler en 1ère S Problème: La vitesse de croissance des plantes suit souvent le modèle de Verhulst : Si on pose f(t) = hauteur de la plante en mètre et t en jours, la vitesse de croissance le jour a est f ’ (a). Dans ces conditions, on a f ’(a) = k*f(a)*(M-f(a)) où k est un coefficient lié à la plante et M est la taille maximum de la plante. On suppose ici que f(0) = 0,1 (10 cm), M=1 et k=0,6. Il s’agit donc de trouver la fonction f sur [1;10] qui vérifie f ’(a)=0,6*f(a)*(1-f(a)) avec f(0) = 0,1. La méthode d’Euler: Méthode d’Euler avec un pas de 1. On construit une suite de points Ai, i variant de 0 à 10, de la façon suivante: xi = i/10 et yi+1 = yi + pas* y’i avec y’i =k* yi *(M- yi) , k=0,6 et M=1 et y0 = 0,1.

Euler en 1ère S xi = i/10 et yi+1 = yi + pas* y’i avec y’i =k* yi *(M- yi) , k=0,6 et M=1 et y0 = 0,1. Algorithme. Variables: D: pas de la méthode K, M: les constantes X,Y: coordonnées du point courant Z: nb dérivé Début  0X, 0.1 Y, 1 D, 0.6 K, 1 M  Répéter tant que X < 10  K*Y*(M-Y)  Z  Y+D*Z  Y , X+DX  afficher X,Y Fin de Répeter Fin algorithme

Euler en 1ère S ASPECTS GRAPHIQUES XMIN, XMAX … dans VARS/WINDOW Pt-on, Line … dans DRAW/POINT et DRAW/DRAW Pour effacer l’écran graphique: CLEARDRAW dans DRAW