Cours 11 Le risque et l’incertitude Une introduction Louis Parent, ing. MBA

Contenu Méthodes de définition des sources de risque de projet Présentation classique d’une analyse de sensibilité Concepts élémentaires de probabilités Analyse de la distribution statistique de la PE Quand l’incertitude n’est reliée qu’à une seule variable Quand l’incertitude est reliée à des variables indépendantes Quand l’incertitude est liée à des variables dépendantes Comparaison de projets de niveaux de risque différents Matériel optionnel: Covariance et coefficient de corrélation Les décisions séquentielles et la valeur de l'information additionnelle Référence: AEI, Sections 13.1 à 13.5

Évolution des préoccupations des entreprises sur la rentabilité de projet Avant 1960: Quel est le délai de récupération de l'investissement? 1960 – 1990: Est-ce que la valeur actualisée de ce projet est positive? Depuis 1990: Quelle est la valeur actualisée de ce projet avec un niveau de confiance de 95%? Dans le cas de très grands projets – comme par exemple le développement d'un avion: quelle est la probabilité qu'une PE négative excède la valeur des capitaux propres de l'entreprise? Depuis 2000: Quelle est la PE stratégique de ce projet? Quelle est la PE du projet, incluant la valeur des options stratégiques qui y sont enchâssées?

Les sources de risque d'un projet Prévisions de ventes incertaines Taille et taux de croissance du marché potentiel Prix, réactions des concurrents et parts de marché Technologie: Problèmes de performance du produit Innovations des concurrents et désuétude Prévisions de coûts incertaines Hypothèses de coûts irréalistes Coûts de l'investissement Dépassements budgétaires, imprévus Retards dans la construction Hypothèses financières: Taux d'intérêt Taux de change Etc..

Méthodes de définition du risque Analyse de sensibilité Analyse du point mort Analyse de scénarios

Analyse de sensibilité Mesurer l'impact sur la PE du projet de changements dans une ou des variables du modèle financier. Exemples: Qu'arrive-t-il si les ventes ne sont que de 1 000 unités/année au lieu de 2 000? Qu'arrive-t-il si la croissance des ventes n'est que de 2% par année au lieu de 5%? Méthode de présentation utile et pratique: le graphique de sensibilité X: variation en % d'une variable d'entrée au modèle Y: PE(TRAM) La pente de la droite indique la sensibilité de la PE à un changement dans la variable d'entrée. Exemple:  Plus la pente est élevée, plus la PE est sensible à la variation des ventes

Analyse de sensibilité: Exemple 13.1 La société SMW désire obtenir un contrat de 5 ans pour la fabrication de coffres de transmission. Pour fabriquer ces pièces, elle doit investir 125 000$ dans une nouvelle machine à forger. Le volume annuel est estimé à 2 000 unités par année, à un prix unitaire de 50$. Les frais variables s'élèveraient à 15$/unité et les frais fixes à 10 000$ par année. Le taux de DPA est pour la machine est de 30% et sa valeur de récupération dans 5 ans serait de 32% du coût initial. Le TRAM est de 15% et le taux d'impôt de 40% Les incertitudes ou éléments de risque: Avant d'obtenir un contrat ferme, la société doit fournir des échantillons et investir dans l'équipement nécessaire. Le prix unitaire pourrait baisser en fonction de la qualité des échantillons La demande pourrait être plus basse que prévue, car le client ne garantit pas de quantités minimales. Si ses affaires baissaient, il pourrait décider de rapatrier la fabrication de ces pièces à l'interne. La société connaît moins bien ce genre d'équipement. Son estimation des coûts variables et fixes pourrait être erronée. La valeur de récupération dans 5 ans n'est qu'une estimation.

Analyse de sensibilité: Exemple 13.1 Le projet: la situation de référence ("Base case")

Analyse de sensibilité: Exemple 13.1 (suite) Identifier les variables d'entrée fondamentales de ce projet: Le prix unitaire La demande Le coût variable unitaire Les coûts fixes La valeur de récupération Faire varier chacune des variables sur une fourchette plausible, par exemple +/- 20%: Calculer la PE(TRAM) pour chacune de ces valeurs Sur Excel, ceci peut se faire rapidement avec la fonction "Table"

Le graphique standard de sensibilité

Analyse du point mort Technique centrée sur la quantité vendue: Jusqu'à quel point est-ce que les ventes peuvent baisser avant que le projet commence à ne plus être rentable? Solution par ordinateur avec le Solveur d'Excel : 1 425 unités/année, soit 28.74% de moins que le cas de référence

Analyse du point mort: Approche analytique Nous pouvons établir que le changement dans le flux monétaire annuel DFM relié à un changement de volume DV est de: (Volume x contribution marginale après impôt) On sait que la PE du projet à V = 2 000 unités est de 40 460$. On cherche donc le changement de volume dont l’effet sur le flux monétaire annuel DFM à une PE est égale à – 40 460$, ce qui rendrait alors la PE du projet égale à 40 460$ - 40 460$ = 0$.

Analyse du point mort: Approche analytique 21DV 21DV 21DV 21DV 21DV DPE = - 40 460$ 21DV = -40 460 (A/P, 15%, 5) = - 12 061 DV = 12 061/21 = 575 Ou: DV = nsolve(npv(15,0,{21V},{5})=-40460,V)=-574.8 VPM = Vbase+ DV = 2 000  575 = 1 425 unités

Analyse de scénarios Les questions qu'il faut maintenant adresser: Façon simple de tenir compte de l'interaction entre et/ou du changement simultané de plusieurs variables. La pratique commune: 3 scénarios Pire scénario (worst case) Meilleur scénario (best case) Scénario le plus probable (most likely case) Exemple 13.3 (fourchette de demande modifiée): Les questions qu'il faut maintenant adresser: Quelle est la probabilité que chaque scénario se concrétise? Quelle est la probabilité que la PE soit négative?

Analyse de scénarios sur le tableur TI-nSpire Scénario le plus probable (ou de base) Meilleur scénario (ou optimiste) Pire scénario (ou pessimiste)

Analyse de la distribution statistique de la PE Les questions qu'il faut maintenant adresser: Quelle est la probabilité que chaque scénario se concrétise? Quelle est la probabilité que la PE soit négative? Analyse de la distribution statistique de la PE

Revue des concepts élémentaires de probabilités utiles à la décision d'investissement Distribution des probabilités Espérance et variance Distribution des probabilités de variables indépendantes

Distribution de probabilités Une variable aléatoire X est un paramètre, ou variable, qui peut prendre plusieurs valeurs aux quelles sont associées des probabilités ou chances de réalisation. La distribution de probabilités f(x) est une fonction, discrète ou continue, qui donne la probabilité pi de chacune des valeurs xi que peut prendre X. La distribution cumulative de probabilités F(x) indique la probabilité que X atteigne une valeur inférieure ou égale à une valeur quelconque x. Exemple:

Évaluation des probabilités Analyse statistique de données historiques Évaluation qualitative, basée sur l’expérience et le jugement (deux mots qui ne servent qu’à camoufler notre ignorance profonde des processus intellectuels utilisés par les gestionnaires compétents!) :

Valeur espérée et variance La valeur espérée (ou la moyenne) de X, E(X) ou m, est une moyenne pondérée, selon les probabilités, des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X. La variance de X, VAR(X) ou s2 est une mesure-clé du risque car elle indique le niveau de dispersion ou d'écart des valeurs possibles de X par rapport à sa valeur espérée E(X). La variance est la moyenne pondérée, selon les probabilités, du carré des écarts entre x et E(X). L'écart-type s est la racine carrée de la variance. E(V) VAR(V) sV=316.23 E(P) VAR(P) sV=1.73

Valeur espérée et variance sur TI-nspire Entrer les données sur une feuille de tableur/liste Calculer les statistiques

Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire Revenons à l’exemple de SMW et supposons que la seule variable aléatoire du modèle est le volume V. Si nous voulons connaître la distribution statistique de la PE, connaissant celle de V, nous devons exprimer la PE en fonction de V et des termes constants qui ne dépendent pas de V: On peut d’abord trouver la part de la PE qui ne dépend pas de V en calculant la PE pour V = 0, à partir de la PE que nous connaissons pour V = 2000 La part de la PE qui ne dépend pas de V est donc de -100 330.

Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire La part de la PE en fonction de V est donc de:

Expression de la PE en fonction de V directement avec le modèle financier

Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire Soit une variable Y dont la valeur est donnée par une fonction linéaire d’une variable aléatoire X: L’espérance et l’écart-type de Y sont donnés par: Nous avons établi que E(V) = 2000 et que sV = 316.23 L’espérance et l’écart-type de la PE sont donc de:

Quand la PE ne dépend que d’une seule variable aléatoire (suite) Si nous sommes prêts à supposer que la PE suit une distribution normale, nous pouvons maintenant faire quelques calculs sur la probabilité que la PE prenne certaines valeurs: Quelle est la probabilité que la PE soit négative? Rép: 3.7% TI: normCdf(limite inférieure, limite supérieure, espérance, écart-type) 40460 22621 3.7% - Quelle est la probabilité que la PE soit entre 20 000$ et 60 000$? Rép: 62.3% Quelle est la probabilité que la PE soit supérieure à 60 000$? Rép: 19.4%

Probabilités conjointes de variables aléatoires indépendantes La probabilité conjointe P(x,y) est la probabilité que X et de Y prennent des valeurs précises en même temps. Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes (i.e. la valeur de l'une ne dépend pas de la valeur de l'autre), P(x,y) est donnée par le produit de P(x) et de P(y): Reprenons l'exemple de SMW: Si le nombre d'unités vendues est indépendant du prix unitaire – une hypothèse souvent irréaliste dans la pratique – la probabilité que le nombre d'unités vendues soit de 1 500 et que le prix soit de 48$, est de 6%:

Variables indépendantes: La distribution de la PE Exemple 13.6: Reprenons l'exemple de SMW et supposons que le volume et le prix peuvent varier en même temps et de façon indépendante de la manière suivante: Quelle est la probabilité que ce projet ne soit pas rentable? Autrement dit, quelle est la probabilité que la PE de ce projet soit négative? Pour répondre à des questions de ce type, nous devons, encore ici, connaître la distribution statistique de la PE, mais cette fois en fonction de deux variables.

Variables indépendantes: Exemple 13.6 Pour connaître la distribution statistique de la PE, il nous faut d'abord formuler la PE en fonction des deux variables aléatoires V et P. Nous avons déjà établi à la page 22 que: Donc la PE en fonction de P et de V seulement est donnée par: Pour connaître les paramètres de la distribution de la PE nous devrons énumérer toutes les combinaisons possibles de P et V et calculer la PE à l’aide la fonction ci-haut.

Expression de la PE en fonction de V et P directement avec le modèle financier

Variables indépendantes: La distribution de la PE On peut conclure que si le prix et le volume sont des variables aléatoires indépendantes: La probabilité que la PE soit inférieure à 0 est de 6%. Un décideur qui voudrait avoir l'assurance à 95% que le projet serait rentable, devrait donc le refuser! La probabilité que la PE soit inférieure à la valeur de référence de 40 460$ est de 38%. Le cas de référence peut donc être qualifié de conservateur car la probabilité que la PE soit d'au moins 40 460$ est de 62%. L'espérance de la PE est de 40 460$ et son écart-type est de 23 352$:

Calculs des statistiques de la PE avec la Voyage 200 Enter les données dans l'application Stats/List Editor. Pour voir les statistiques: F4, 1 List: pe, freq: fpv

Variables dépendantes Il arrive très souvent en pratique que la valeur d'une variable aléatoire dépend de la valeur d'une autre variable aléatoire. Par exemple le volume est presque toujours influencé par le prix. Dans l'exemple 13.5, la société pourrait disposer des données suivantes qui indiquent que le volume est clairement, même si imparfaitement, relié au prix. Notation des probabilités conditionnelles: Prob(V=1500|P=48) = 10% Prob(V=2000|P=50) = 64% Prob(V=2500|P=53) = 10% Les probabilités conjointes sont alors calculés comme ceci:

Variables dépendantes: Distribution de la PE Pour connaître la distribution de la PE résultant de chaque combinaison possible de P et V, nous devons, comme auparavant calculer la probabilité conjointe de chaque combinaison. Par exemple: Prob(V=2000,P=50) = Prob(P=50) Prob(V=2000|P=50) = 0.5*0.64 = 0.32 Nous pouvons aussi calculer l'espérance et l'écart-type de P et V, et constater que l'introduction d'une probabilité conditionnelle à P a changé l'espérance et l'écart-type de V.

Variables dépendantes: Distribution de la PE À partir des probabilités conjointes, on peut, comme précédemment, calculer la distribution de la PE: L'espérance de la PE est de 44 202$ et son écart-type est de 22 207$. L'introduction de la relation entre le prix et le volume a donc augmenté l'espérance de la PE et diminué son écart-type, ce qui est favorable au projet. La probabilité que la PE soit négative n'est plus que de 3%. Un décideur qui voudrait avoir l'assurance à 95% que le projet serait rentable, devrait donc maintenant l'accepter.

Variables dépendantes: Distribution de la PE Si on est prêt à accepter que la PE suit une distribution de probabilité normale, on peut répondre à différentes questions: Quelle est la probabilité que la PE soit négative? Rép: 2.3% TI: normCdf(limite inférieure, limite supérieure, espérance, écart-type) Quelle est la probabilité que la PE soit entre 20 000$ et 60 000$? Rép: 62.4% Quelle est la PE avec un niveau de confiance de 95%? Rép: 7 674$

Un concept-clé en analyse de risque: Le coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation (rxy ou rxy) est une mesure du degré de dépendance entre deux variables aléatoires X et Y. Le coefficient de corrélation peut prendre des valeurs entre -1 et + 1. rxy= –1  variables parfaitement, mais inversement, corrélées rxy= +1  variables parfaitement, et positivement, corrélées rxy= 0  variables non corrélées, ou indépendantes rxy = +1 rxy = -1 rxy = 0 rxy = 0.7 Mathématiquement: Note: La covariance entre X et Y est aussi dénotée sXY .

Calcul du coefficient de corrélation: exemple Dans l'exemple précédent, le coefficient de corrélation entre le volume et le prix est de -0.4061:

Estimation du coefficient de corrélation avec des données historiques En pratique le coefficient de corrélation provient rarement d'un calcul à partir des probabilités conjointes, mais de l'analyse de données historiques. Par exemple, les données historiques de vente aurait pu permettre au personnel du marketing de SMW de déterminer empiriquement que le coefficient de corrélation entre le prix et le volume de vente de produits comparables est de -0.40: rxy = -0.40 Données historiques

Plusieurs variables aléatoires dépendantes ou non Il peut rapidement devenir très fastidieux d'énumérer chaque cas possible des valeurs de plusieurs variables aléatoires et d'en calculer les probabilités conjointes. De plus, la recherche de l’espérance et de l’écart-type d'une distribution de PE liée à plusieurs variables d'entrée dépendantes peut rapidement devenir assez difficile à calculer, surtout lorsque la fonction de PE comprend une combinaison non linéaire de variables comme le produit du volume et du prix, comme dans l’exemple précédent. Pour étudier la distribution statistique de la PE, les praticiens préfèrent alors procéder par une simulation Monte Carlo, ce qui aussi l'avantage de ne pas exiger d'hypothèse préalable sur la distribution statistique de la PE… Reprenons l’exemple précédent: Cette expression inclut la valeur présente de la valeur de récupération de: 0.32 x 125 000 = 40 000$, moins l’effet fiscal de la disposition de 5 796$, pour une valeur nette de disposition de 34 204$. Traitons maintenant la valeur de récupération (S) comme une variable aléatoire indépendante de P et V…

Plusieurs variables aléatoires: Un exemple La PE de la valeur de récupération inclue dans la PE du cas de base est donné par: La PE pour S=0 est donc de: L’expression de la PE en fonction de P, V et S est donc de:

Qu'est-ce qu'une simulation Monte Carlo? Une simulation Monte Carlo est une expérience qui vise à déterminer la distribution statistique d'une variable dont les valeurs dépendent de la valeur de variables aléatoires. 48$ 50$ 53$ 30% 50% 20% P p(P) 1 500 2 000 2 500 18% 52% 30% V p(V) r = -0.40 E(P) =50$ sP = 1.73$ E(V) =2 060 sV = 341 Volume (V) Prix (P) Chaque urne contient des boules dont la distribution des couleurs correspond aux probabilités d'observer une valeur donnée de la variable aléatoire. L'expérience consisterait ici à tirer une boule de chaque urne des milliers de fois, calculer la PE pour chaque couple p, v puis compter la distribution statistique des PE ainsi obtenues. Cependant il ne suffit pas de tirer des boules de chaque urne de manière indépendante. La simulation doit générer des nombres aléatoires corrélés selon le coefficient de corrélation désiré.

Exemple de simulation Monte Carlo. Muni du puissant outil de travail qu'est la TI-nspire, nous allons contruire une simulation. Ce qui nous permettra de poser l'hypothèse plus réaliste que le volume peut prendre davantage que 3 valeurs. Supposons donc que la distribution des valeurs du volume est bien représentée par une distribution normale: Prix Volume f(P) f(V) 2 060 3 080 1040 +3s -3s 50$ 53$ 48$ 30% 50% 20% r = -0.40 E(Prix) =50$ sPrix = 1.73$ E(Vol) =2 060 sVol = 341 Pour rendre le problème encore plus réaliste, nous supposerons de plus que la valeur de récupération S, en pourcentage de la valeur originale, peut prendre une valeur entre 0% (0$) et 40% (50 000$), selon une distribution triangulaire dont la valeur la plus probable est de 32% (40 000$): 32% 40% 0% f(S) 1 a c b Valeur de récupération (S) P(S  32%) = 20% P(S  32%) = 80%

Entrer les paramètres des distributions: Simulation sur nspire Entrer les paramètres des distributions: Note: Comment générer des nombres aléatoires selon une distribution triangulaire 32% 40% 0% f(S) 1 a c b Générer des nombres aléatoires U selon une distribution uniforme sur l'intervalle (0,1) Transformer les nombres U en nombres X distribués triangulairement de la manière suivante:

Effectuer la simulation Simulation sur nspire Effectuer la simulation Générer 1 000 cas de prix distribués uniformément =rand (n)*100 Transformer cette distribution en distribution multinomiale: p:=iffn(a[]≤cfprix[1],prix[1], iffn(a[]≤cfprix[2],prix[2],prix[3])) Normaliser p: zp:=(p-mp)/sp Générer 1 000 cas de volume distribués normalement v:=randnorm(mv,sv,n) Normaliser v: zv:=(v-mv)/sv Forcer la corrélation entre p et de v: volcor:=zp*r+zv*sqrt((1-r^2))*sv+mv Générer 1 000 nombres aléatoires distribués uniformément entre 0 et 1 =rand(n) Transformer ces nombres en valeurs de récupération distribuées triangulairement s:=iffn(g[]≤'fc,'a+√(g[]*('b-'a)*('c-'a)), 'b-√((1-g[])*('b-'a)*('b-'c))) Calculer la PE de chacun des 1 000 cas. Avec l'équation de la page 38: pe:=2.0113*volcor*p-30.1694*volcor+37288*s-112263

Les résultats de la simulation Analyse de la distribution de la PE Corrélation prix-volume La PE espérée est de 42 507$ et son écart-type de 22 431$. Au cours de la simulation la PE a variée entre -33 508$ et 114 007$. Il y a une probabilité de 50% que la PE soit supérieure a 42 764$ (la médiane). La probabilité que la PE soit négative est de 3.5%. On peut donc conclure que le projet est rentable avec un niveau de confiance d'environ 1-3.5% = 96.5% La PE minimale avec un niveau de confiance de 95% est de 5 529$.  Accepter le projet Histogramme de la PE

Comparaisons d’options indépendantes et de niveaux de risque différents

Comparaison d'options indépendantes et de niveau de risque différent: Exemple13.8 L'entreprise Technologies Vertes a conçu un appareil permettant à un véhicule de passer de l'essence au gaz naturel. Elle a développé des prototypes pour 4 segments de marché différents: automobile compacte (modèle 1), automobile standard (modèle 2), VUS (modèle 3) et camion (modèle 4). N'étant pas convaincue de la demande du public, elle aimerait commencer par commercialiser l'appareil dans un seul segment. L'équipe du marketing de Technologies Vertes a compilé la distribution potentielle de la PE de chacun des modèles comme s'il était commercialisé indépendamment l'un de l'autre: Recommandez lequel devrait être choisi comme produit de lancement.

Comparaison d'options indépendantes Étape 1: Calcul de la PE espérée et de l'écart-type de la PE chaque option h1=mean('pe,'p1) h2=mean('pe,'p2) h3=mean('pe,'p3) h4=mean('pe,'p4) i1=stdevpop('pe,'p1) i2=stdevpop('pe,'p2) i3=stdevpop('pe,'p3) i4=stdevpop('pe,'p4) Exemple de calcul pour le modèle 1:

Comparaison d'options indépendantes (suite) Étape 2: Élimination des options inefficaces du point de vue risque-rendement Le défenseur initial est l'option à la plus grande PE: Modèle 2 Éliminer toutes les options ayant un écart-type plus grand que celui du Modèle 2. élimination des Modèles 3 et 4: Offrent la même PE ou moins, mais avec plus de risque. Le Modèle 1 est l’aspirant

Comparaison d'options indépendantes (suite) Étape 3: Évaluation des options restantes Calculer la probabilité de tous les cas où le défenseur (Modèle 2) a une PE inférieure à celle de l’aspirant (Modèle 1): La probabilité que M1 ait une PE supérieure à M2 est inférieure à 50%, ce qui devrait inciter un décideur rationnel à choisir M2 Cependant, la probabilité que le bon choix soit M1 est quand même relativement élevé à 45%. Si l’investissement initial de M2 était beaucoup plus élevé que celui de M1, au point de rendre le coût d'un échec du lancement de M2 prohibitif pour la société, un décideur qui a une aversion au risque pourrait préférer M1.

Comparaison d'options indépendantes (suite) Étape 3: Raccourci par la Loi Normale On peut s'éviter la tâche d'avoir à énumérer tous les cas où la PE de M2 est inférieure à celle de M1. Si on suppose que la distribution de PEM2 − PEM1 suit une distribution normale et en calculant la probabilité que PEM2 − PEM1 < 0.

La tolérance pour le risque dépend de la taille relative de l'enjeu Lorsque l'enjeu d'un pari risque d'avoir un effet significativement défavorable sur leur niveau richesse, la plupart des gens préfèrent éviter le risque. Il en va de même pour les entreprises. Un projet qui aurait un risque, même relativement faible, de 5%, de résulter en une PE négative de 50 M$ et de 95% d'avoir une PE positive de 50 M$ serait probablement rejeté par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 M$. Le même projet serait probablement accepté par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 G$. Une branche de la finance, la théorie de l'utilité de la richesse – et de l'aversion au risque – s'intéresse à ce sujet fondamental pour la modélisation de la valeur de produits financiers, notamment celle des produits dérivés.

Comparaison d’options indépendantes (suite) LA façon correcte et sans équivoque de départager les options 1 et 2 serait de calculer leur PE en fonction d'un TRAM ajusté pour le risque. Un sujet qui serait abordé longuement dans un cours de Finance de niveau intermédiaire Courbe d'indifférence du marché financier (ou fonction de compromis entre le risque et le rendement) Indice de risque ( b, ou autre) TRAM Prime de risque Taux de rendement sans risque