Uncertainty Quantification and Propagation in Numerical Simulations of Flow-Structure Interactions Didier Lucor Laboratoire de Modélisation en Mécanique UPMC - UMR CNRS 760 Boite 162, 4 place Jussieu Tel: 33 (0)1 44 27 87 12 75252 Paris Cedex 05 Fax: 33 (0)1 44 27 52 59 France email: lucor@lmm.jussieu.fr

DNS of 3D turbulent flow past a rigid cylinder at Re=10000 DoF: 200 Millions Number of Processors: 512 Use of multi-level parallelism (MPI-MPI or OpenMP-MPI) Dong & Karniadakis, JFS, (2005).

Exponential shear case Uniform case Linear shear case Specify the type of structure: cable/beam. Reynolds number. Percentage of low inflow velocity. Boundary conditions. DNS context. Displacement have been exaggerated. Aspect ratio. no streamwise motion. Exponential shear case Uniform case Linear shear case

DNS-Experiments comparison of a turbulent flow past a rigid stationary cylinder Re=3900 DNS: Ma & Karniadakis, JFM, (2000). Experiments: Ong & Wallace, Experiments in Fluids (1996). Energy spectrum based on the transverse velocity component of the flow field in the wake (x/D=7).

Sources of uncertainty Parameters, simulation constants, material properties Transport coefficients, physical properties geometry Boundary conditions, initial conditions Physical laws, numerical schemes Random inflow condition (stochastic process) Mon travail porte sur l’incertitude en mécanique numérique. Typiquement, un système physique est représenté par un certains nombres de paramètres et d'équations qui dans le cas idéal sont tous connus de manière exacte et précise mais qui dans le cas réel présentent des variations et des incertitudes, on ne connait qu’une plage de leur variation ou certains d’entre eux peuvent meme etre aleatoire. Vous pouvez voir ici que ces incertitudes peuvent se glisser a plusieurs niveaux dans le systeme. Le schéma représente un exemple d’un écoulement incertain, ici représenté uniquement a la condition au bord amont du domaine de calcul et qui va se propager dans le système. Celui-ci peut interagir avec une structure flexible pour laquelle on pourrait imaginer des paramètres ou des conditions aux limites incertains. Le but au niveau mathématique et physique est d’arriver a correctement modéliser toutes ces incertitudes et à les propager à travers le système physique de manière à reconstruire l’ensemble des solutions qui sont des fonctions de ces paramètres incertains continus et décrits par des fcts de densité de probabilités plutôt qu’une valeur discrète exacte. La méthode des polynômes de Chaos utilise pour ce faire une décomposition spectrale de la solution dans l’espace incertain. Les grandeurs physiques a déterminer, telle que par exemple, le champ de vitesse de l'écoulement peuvent être décomposés sur des bases polynomiales d’ordre élevé Psi. Cette décomposition revient donc en qq sorte a une séparation des variables. La fonction représentée étant une combinaison linéaires de champs classiques (DETERMINISTES) pondérés par un terme polynomial qui porte le caractère incertain. Random structural parameters Uncertain boundary conditions

generalized Polynomial Chaos (gPC) produit interne dans l’espace d’Hilbert Not limited to a Gaussian distribution! There exists a unique correspondence between the PDF of the stochastic input and the weighting function of the orthogonal polynomials. Inner product:

Uniform distribution approximation using the Gaussian/Hermite Chaos. Polynomials choice Uniform distribution approximation using the Gaussian/Hermite Chaos.

gPC summary with : random space dimension : highest polynomial order not limited to Gaussian distributions! : random space dimension : highest polynomial order Mean: Variance: Example: : Gaussian distribution : Hermite polynomials N=2; P=2

Noisy inflow past an oscillating cylinder σU Noisy inflow past an oscillating cylinder 0% Uncertainty at the inflow velocity boundary condition Lucor & Karniadakis, Phys. Rev. Lett. (2005). Ce transparent montre une application de cette méthode à un écoulement 2D incompressible autour d’un cylindre oscillant. Ici la problématique est que le sillage généré par le mouvement forcé déterministe d’un cylindre peut être sensible à l'écoulement amont. Ce qui m'intéresse en fait ici, c’est de quantifier l’influence de l’incertitude de l'écoulement amont sur la structure tourbillonnaire et la stabilité du sillage. Dans le cas déterministe (c’est a dire quand \sigma_U=0) et pour mes valeurs de fréquence et d’amplitude du mouvement du cylindre, j’obtiens un régime tourbillonnaire caractérisé par le lâcher d’une paire de tourbillons contra-rotatif plus un autre tourbillon isolé pour chaque cycle d’oscillation comme vous pouvez le voir dans cette représentation instantanée du champ de vorticite. Les trois autres figures montre l'écoulement moyen stochastique (au sens de la moyenne de tous les solutions possibles) au même instant mais a chaque fois avec des valeurs de l’amplitude de l’incertitude de plus en plus grande. On constate que l’augmentation de l’incertitude amont entraîne une transition vers des régimes de sillage tres différents. Notamment, l’incertitude amont affecte et supprime le deuxième tourbillon de chaque paire et transforme finalement le sillage en allée tourbillonnaire classique alternée de von Karman. Donc la solution idéale n’est pas complètement robuste et présente une sensibilité importante a une incertitude amont. 10% Deterministic forced motion Dramatic change in the vortices arrangement in the wake. The shedding-mode switches from a (P+S) pattern to a (2S) mode in the presence of uncertainty. For a given level of uncertainty, the change is more pronounced for higher Reynolds numbers. 20% 30%

Instantaneous vorticity field RMS values Lucor & Karniadakis, PRL, (2005).

Uncertainty in flow-structure interaction Objectives: Uncertainty propagation and quantification in flow-structure interactions coupled phenomena. Sensitivity of the solution to the different random inputs. Stochastic response surfaces. Reliability and robustness of the structures to random perturbations. Technical approach: Intrusive and non-intrusive use of the generalized Polynomial Chaos; Karhunen- Loève stochastic process representation. Development of efficient and accurate stochastic numerical codes DNS-gPC & LES-gPC. Large-scale parallel numerical simulations. Applications: Different sources of uncertainty: - advection velocity (écoulement aux bords) - Source term - Initial conditions - physical properties of the structure - geometry - Boundary conditions Incompressible 2D & 3D turbulent flows in complex stationary or moving geometry. Linear & nonlinear structural models, higher Re numbers. Objectifs: Propager et quantifier les incertitudes dans le contexte de phénomènes couplés d’interaction fluide-structure. (longueur de corrélation, longueur de formation, longueur d’onde et fréquence vibratoire dominante, masse ajoutée) (amélioration du design, optimisation de forme, prévention des défaillances mécaniques). Approche technique: Utilisation intrusive ou non-intrusive des polynômes de chaos généralisés (non limitée aux incertitudes gaussiennes) et représentation de Karhunen-Loève (pour les processus stochastiques d'entrée à covariance connue). S’appuie sur des méthodes spectrales déterministes (polynômes spectraux orthogonaux) Couplage fluide-structure: formulation ALE (2D et 3D) ou Mapping (3D avec une direction homogène) Codes de calcul déterministes (LES-DNS) et stochastiques (DNS-PCg) à haute précision déjà existants et fiables. Calculateurs parallèles haute performance. Applications: Incertitudes à différents niveaux: Vitesse advective (écoulement aux bords) Terme source Propriétés physique de la structure Géométrie Conditions aux bords Conditions initiales Ecoulements incompressibles turbulents 2D et 3D en géométrie complexes stationnaires ou variables. Interaction fluide-structure pour structure linéaires et non-linéaires. Interaction fluide-structure à haut nombre de Reynolds (DNS: Re≃10,000 et LES: Re≃100,000). DNS: Dong & Karniadakis, JFS, (2005).

Turbulence et simulation aux grandes échelles (LES) Objectifs: Propager et quantifier les incertitudes dans les petites échelles (sous-maille) de l'écoulement. Quel est l’espace engendré par un modèle sous-maille? Quelles sont les quantités statistiques les moins sensibles (les plus robustes) donc les plus fiables? Construction de nouveaux modèles sous-maille. Etude de la sensibilité de la solution aux différents paramètres des modèles sous-maille. Approche technique: Utilisation intrusive ou non-intrusive des polynômes de chaos généralisés et représentation de Karhunen-Loève. Ecriture d’un code de calcul stochastique (LES-PCg) et comparaison/validation avec un code (DNS-PCg) existant. Calculateurs parallèles haute performance. Applications: Ecoulements turbulents ouverts (de type sillage) et écoulements pariétaux à haut nombre de Reynolds. Maintenant, je passe à la description de mon projet de recherche et d’insertion au LMM que je propose au CNRS. C’est un projet qui se positionne en extension et en prolongation des travaux que j’ai menés aux Etats-Unis et qui a été proposé pour le programme des Chaires d’Excellence. Les 2 thématiques fortes du projet qui se sont dégagées suite aux discussions que j’ai pu avoir au sein du LMM sont une thématique d’approche couplée LES/Quantification d’incertitudes et une thématique d’interaction fluide-structure également dans un contexte incertain. Objectifs: je propose également la construction de nouveaux modeles sous-maille: parametrant la surface de reponse des flux sous-maille (ou directement le terme de forcage) dans les equations de quantite de mouvement. Ceci nous permettra de mieux comprendre les problemes de back-scatter de l’energie et l’influence des petites echelles sur les grandes. Etude de la sensibilité de la solution aux différents paramètres de modèles sous-maille. Obtention de surfaces de réponse à partir de la LES. Approche technique: (non limitée aux incertitudes gaussiennes) pour les processus stochastiques à covariance connue. S’appuie sur des méthodes spectrales déterministes (polynômes spectraux orthogonaux) Développement de méthodes PCg de type hp adaptatives pour les solutions discontinues dans l’espace des paramètres. Comparaison et validation avec une famille de codes stochastiques spectraux (DNS-PCg) déjà existant. Applications: Validation et investigation ... ecoulement instationnaire turbulent Ecoulements turbulents ouverts (de type sillage) à haut nombre de Re≃100,000 (cylindre: crise de la trainée). Par exemple, en paramétrant la surface de réponse des flux sous-maille ou directement le terme de forçage. impact: permettra de combiner mon experience des polynomes de chaos et de la quantification d’incertitude avec l’expertise du LMM sur les thèmes de la turbulence et la LES. Cette thématique aura un impact considérable en posant les jalons d’une approche combinée LES-PCg qui n’existe pas à ce jour.

Polynômes de Chaos Soit l’espace probabilisé: Processus stochastique du second ordre si: D ́efinition 2.1.1. On appelle espace probabilisable li ́e`al’exp ́erience al ́eatoire E le couple (Ω, B), o`u Ω est l’univers des r ́esultats de E et B la tribu des ́ev`enements li ́es `a E. D ́efinition 2.1.2. Soit Ω un ensemble quelconque. On appelle tribu ou σalg`ebre sur Ω toute partition B⊂Ω v ́erifiant : 1. Ω ∈B; 2. ∀A ∈B, ̄A ∈B(Stabilit ́eparcompl ́ementarit ́e) ; 3. pour toute suite (An)n∈ N d’ ́el ́ements de B, ∞ n=0 An est encore un ́el ́ement de B (Stabilit ́e par union d ́enombrable). D ́efinition 2.1.3. Soit (Ω, B) un espace probabilisable. On appelle probabilit ́esur(Ω, B) toute application P : B−→[0, 1] telle que : 1. P(Ω) = 1 ; 2. Pour toute suite (An)n∈ N d’ ́ev`enements deux `a deux incompatibles on a P ( ∞ n=0 An)=∞ n=0 P(An) (σ-additivit ́edeP). Le tripl et (Ω, B,P) porte le nom d’espace probabilis ́e (associ ́e`al’exp ́erience al ́eatoire donn ́ee). Soit (Ω, B,P) un espace probabilis ́e. On d ́efinit l’espace Θ des fonctions mesurables de Ω `a valeurs r ́eelles : Θ={g/g :Ω−→ R} . (2.3) peut s’exprimer en fonction de avec et Theoreme de Cameron & Martin: PC-homogène converge pour toute fonctionnelle de L2

Polynômes de Chaos (Généralisés) Le schéma Askey

Technique d’utilisation du PC pour la résolution d’équation différentielle stochastique 1/ Discrétiser le processus aléatoire à l’aide de variables aléatoires (indépendantes). 2/ Ecrire la solution et les paramètres d’entrée incertains sous forme de sommes finies de PC et substituer dans l’équation. 3/ Projeter (type Galerkin) sur la base des polynômes orthogonaux considérés. Obtention d’un système linéaire.

Formulation de la Méthode PC pour les équations de Navier-Stokes Stochastiques 3D Décomposition de la solution dans l’espace aléatoire: Expansion de Fourier dans la direction axiale

Formulation de la Méthode PC pour les équations de Navier-Stokes Stochastiques 3D Double représentation spectrale: Fourier/PC Après substitution dans Navier-Stokes: Après avoir pris la transformée de Fourier des équations:

Formulation de la Méthode PC pour les équations de Navier-Stokes Stochastiques 3D Après projection sur la base du PC, pour chaque mode Fourier m, et pour chaque mode chaos n: avec Calcul des corrélations:

Organisation globale du projet et insertion au LMM Mon insertion au LMM au sein de l'équipe Turbulence et application de Pierre Sagaut a deja debutee depuis début Février. Elle passe tout d’abord par l’obtention d’un contrat avec le CEA-DAM sur une thématique incertitude. Puis c’est aussi le montage d’un groupe de travail avec les chercheurs du laboratoire JLLions et des intervenants exterieurs. La premiere session se deroullera a la fin du mois. Je suis egalement en co-tutelle de these avec P. Sagaut sur un sujet LES-PCg. Ces projets n’empechent pas des collaborations internationales et je poursuis également mes collaborations aux Etats-Unis. Le projet aura la chance de s’appuyer sur les moyens en hommes et en materiels procures par l’attibution de la Chaire d’Excellence.