Etude de deux systèmes chaotiques Pendule Double et Circuit de Chua Bérut Antoine Lopes Cardozo David

Plan Pendule double Circuit de Chua A) Trois circuits de Chua Dispositif expérimental 1) Problèmes mécaniques 2) Problèmes d’acquisition B) Exploitation des données Circuit de Chua A) Trois circuits de Chua B) Résultats escomptés

Montage Butées des potentiomètres : Longueur des barres : 10 tours maximum Longueur des barres : supérieure : 20 cm inférieure 25 cm

Principe de l’acquisition Les potentiomètres varient entre : 0 et 10 kΩ pour l’angle supérieur 0 et 20 kΩ pour l’angle inférieur Pont équilibré dans la position de repos du pendule.

Choix de la position initiale

Vidéo d’un lancé

Premières acquisitions

Tentative de traitement Dérivée brute Avec 70 lissages numériques

Amélioration du circuit d’acquisition Filtre passe-bas à 45Hz Amplification gain 10

Résultats Une des trois séries d’acquisitions (en haut l’angle inférieur, en bas l’angle supérieur)

Traitement numérique Portrait de phase avec un filtre numérique à 2Hz Décalage entre modèle et courbe expérimentale

Portraits de phase (angle 1)

Portraits de phase (angle 2)

Doublement de période (portrait de phase)

Doublement de période (sur les courbes) Angle du portrait de phase précédent Les trois autres angles

Circuit de Chua non autonome C1 = 10 nF, C2 = 100 nF, R = 2kΩ réglable, RN1 = 22 kΩ, RN2 = 22 kΩ, RN3 = 3,3 kΩ, RN4 = 220Ω, RN5 = 220Ω, RN1 = 2,2 kΩ, Deux AO AD712 alimentés à ± 12 V. Source : article « A new non-autonomous version of Chua’s circuit » par Recai Kiliç, Ö. Galip Saraçoglu et Fatma Yildirimb (Journal of the Franklin Institute 2006).

Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua Circuit de Chua simple Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).

Circuit de Chua autonome Source : article “ A simple circuit to demonstrate bifurcation and chaos” par Hobson et Landbury.

Résistance négative non linéaire Schéma d’une résistance négative d’impédance Z (a) et sa caractéristique attendue (b). Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).

Résultats potentiellement atteignables A period-4 attractor The single scroll attractor A period-3 attractor The double scroll attractor

Conclusions Caractéristiques du chaos mises en évidence : Sensibilité aux conditions initiales Doublement de période Données théoriques, non obtenues expérimentalement : Caractère déterministe du chaos Attracteur étrange