La récursivité Une procédure est dite récursive si, et seulement si, elle fait appel à elle-même, soit directement soit indirectement Djamal Rebaïne Djamal Rebaïne 1

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- (vision itérative) Un escalier de hauteur h c’est : Un exemple - (vision itérative) Un escalier de hauteur h c’est : une séquence de h marches - (vision récursive) Un escalier de hauteur h c’est : une marche suivie d’un escalier de hauteur h − 1 Djamal Rebaïne

Version itérative : static void monter_escalier( int h ) { for (int i = 1; i <= h; i++) monter_marche(); } Version récursive : void monter_escalier( int h ) if (h > 0) monter_escalier( h-1 ); Djamal Rebaïne

• Que fait l’appel monter escalier( 3 ) ? monter_escalier( 3 ) = Récursivité en action • Que fait l’appel monter escalier( 3 ) ? monter_escalier( 3 ) = monter_marche(); monter_escalier( 2 ); monter_escalier( 1 ); • Même effet que la version itérative, c’est-à-dire 3 appels à monter marche() Djamal Rebaïne

Recette de récursivité • S’assurer que le problème peut se décomposer en un ou plusieurs sous-problèmes de même nature • Identifier le cas de base qui est le plus petit problème qui ne se décompose pas en sous-problèmes • Résoudre(P) = • si P est un cas de base, le résoudre directement • sinon • décomposer P en sous-problèmes P1, P2,... • résoudre récursivement P1, P2,... • combiner les résultats obtenus pour P1, P2, …, pour obtenir la solution pour avoir la solution au problème de départ. Djamal Rebaïne

Fonctionnement d’une fonction récursive Création d’une pile pour la sauvegarde entre autres des paramètres d’appels de la procédure et la l’adresse de retour. Djamal Rebaïne

Calculer le factoriel de n, noté n! Le problème est: Calculer le factoriel d'un nombre entier donné en entrée. En entrée: Nous avons n nombre entiers qui sont plus grands ou égaux à 0. Sortie: Nous avons un nombre entier qui représente le factoriel de n. Djamal Rebaïne

si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon Fonction principale entier n nfact lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon nfact factoriel(n) écrire “la factorielle de ” n “est” nfact où factoriel satisfait le prototype entier factoriel(entier) Djamal Rebaïne

int factoriel(entier n) { si (n < 1) retourner 1 Fonction factoriel int factoriel(entier n) { si (n < 1) retourner 1 retourner n * factoriel(n-1) } Djamal Rebaïne

Comment le faire en assembleur? On a besoin d’une pile! En effet, à chaque appel récursif, la valeur du paramètre n est sauvegardée dans la pile de travail. Ce processus d’empilement est répété jusqu’à ce que le paramètre actuel (de l’appel) n atteigne la valeur 0. Cela correspond à la fin de l’exécution de la fonction appelante. Ensuite, commence le dépilement, et l’exécution de la prochaine instruction de la fonction appelante est entamée. Ce processus de dépilement est répété jusqu’à ce qu’on atteigne la valeur de départ du paramètre n. Djamal Rebaïne

Cela se traduit par le programme assembleur suivant TITLE factoriel PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepile equ this word PILE ends Data segment N dw 4 fact dw ? Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP mov BX,n; sauvegarde la valeur de n mov AX,BX Push AX call factoriel Fin: pop AX; le résultat calculé par la fonction factoriel est dans AX mov fact, AX mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaine

Factoriel proc near ; en utilisant la pile CMP AX,0 JA DEPILE MOV AX,1 JMP fin DEPILE: ; dépiler jusqu’à ce n = 0 DEC AX PUSH AX ; factoriel(n-1) CALL FACTORIAL RetourResultat: POP BX MUL BX fin: ret factoriel endp ; fin de la procédure code ends end debut ; fin du programme code Djamal Rebaïne

Calcul d’une somme par récursivité Title sommerecursive; pour totaliser la somme de 1 jusqu’à n. PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepile equ this word PILE ends Data segment N dw 12 som dw ? Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP Djamal Rebaïne Djamal Rebaïne 14

mov CX,n; sauvegarde la valeur de n XOR AX,AX CALL sommerecursive Fin: pop AX; le résultat calculé par la fonction factoriel est dans AX mov fact, AX mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaïne

sommerecursive proc near ; CMP CX,0 JNZ fin mov cx, 0 Fin: push cx dec cx CALL sommerecursive; resultat est dans cx pop ax add ax,cx fin: ret factoriel endp ; fin de la procédure code ends end debut ; fin du programme code Djamal Rebaïne

Inversion d’une chaine de caractères Donnée: S une chaine de caractères Question: Afficher S dans le sens inverse Djamal Rebaïne

ecrire “introdroduire la chaîne: ” inverser Fonction principale ecrire “introdroduire la chaîne: ” inverser Djamal Rebaïne

entier factoriel(entier n) Corps: lire car; si car <> `.` Fonction factoriel Entête: entier factoriel(entier n) Corps: lire car; si car <> `.` inverser; afficher car; Djamal Rebaïne

La fonction inverser fonctionne comme suit: Tant que le caractère lu n’est pas le point, continuer la lecture; Arrivé au point, l’affichage commence. Djamal Rebaïne

TITLE INVERSER-CHAINE affiche macro chaine ; mov dx,offset chaine ; mov ah, 09h ; int 21h endm PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepile equ this word PILE ends Data segment Chaine db ‘introduire votre chaine’, 10,13, ‘$’ Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP Affich chaine call inverser; APPEL DE LA FONCTION INVERSER Fin: mov AX,4c00h Djamal Rebaïne

mov ah,1 ; lecture d’un caractère int 21h CMP AL,’.’ inverser Proc near; les appels récursifs sont gérés exclusivement par la pile. mov ah,1 ; lecture d’un caractère int 21h CMP AL,’.’ JNE dépiler; dépiler jusqu’à ce AL = ‘.’ CBW ; convertir le caractère en un mot ; ou alors faire mov AH,0 push AX inverser Depiler: POP AX mov AH,2 int 21 ret inverser; fin de la procédure code ends; fin du programme principal end debut Djamal Rebaïne

; exclusivement par la pile. Continuer: inverser Proc near; dans cette version, les appels récursifs sont gérés ; exclusivement par la pile. Continuer: mov ah,1 ; lecture d’un caractère int 21h CMP AL,’.’ JNE dépiler ; dépiler jusqu’à ce AL = ‘.’ CBW ; convertir le caractère en un mot ; ou alors faire mov AH,0 push AX JMP continuer Depiler: POP AX mov AH,2 int 21 JMP depiler ret inverser; fin de la procédure code ends; fin du programme principal end debut Djamal Rebaïne

Rechercher l’élément C dans un tableau trié dans l’ordre croissant. …………… C? ….. A milieu u L Djamal Rebaïne

Int void recherche(C,L,u:entier; trouve:booleen) { si (u <= L) { milieu = (u - L + 1) div 2; si A[milieu] = C return (milieu); sinon si A[milieu] > C recherche(C,L,milieu-1); sinon recherche(C,milieu+1,u); } sinon return (-1); Djamal Rebaïne

Basdepile equ this word PILE ends Data segment TITLE dichotomique PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepile equ this word PILE ends Data segment tableau db 1, 4, 8, 10, 18 Donnee db 18 Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP Lea SI, tableau; mov BX, SI Add BX, tableau[1] ; adresse du dernier élément du tableau push BX push SI call dichoto Fin: mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaïne

Dichoto proc near; pop SI pop BX CMP SI,BX JL fin ; continuer jusqu’à il n’y ait plus d’élément à rechercher mov AX, BX ADD AX, SI Sub AX, 1 Mov DL,2 DIV DL CBW Mov CX,SI Mov SI, AX CMP [SI], donnee jne appel mov AX,[SI] ret Appel: jg autreappel push BX push SI dichoto jmp fin Autreappel: push SI Fin: ret code ends end debut Djamal Rebaïne

Les nombres de Fibonacci Question: Écrire un programme qui calcule le nombre de Fibonacci défini comme suit: Djamal Rebaïne

TITLE fibonacci SPILE SEGMENT STACK DW 100 DUP(?) SPILE ENDS SDATA SEGMENT n dw 6 SDATA ENDS SCODE SEGMENT ASSUME CS:SCODE,DS:SDATA DEBUT: mov ax,sdata mov ds,ax xor ax,ax xor bx,bx mov ax,n call fibo mov dl,al add dl,30h mov ah,2 int 21h sortie: MOV AX,4C00H INT 21H Djamal Rebaïne

Fibo proc si1: cmp ax, 1 ; comparer ax avec 1 ja else ; si n<= 1, retourner 1 mov ax, 1 ; mettre 1 dans ax ret else: dec ax ; décrémenter ax de 1 c'est-à-dire égal à n-1 push ax ; mettre n-1 sur la pile call Fibo ; résultat dans ax pop bx ; rectifier la pile et bx = n-1 dec bx ; bx = n -2 push ax ; sauvegarder ax = Fibonacci(n-1) sur la pile mov ax,bx ; passe le n-1 à ax pour exécuter Fibonacci(n-2) call Fibo ; résultat dans ax = Fibonacci(n-2) pop bx ; bx = Fibonacci(n-1) add ax, bx ; ax = Fibonacci(n-2) + Fibonacci(n-1) Fibo endp SCODE ENDS END DEBUT Djamal Rebaïne

Les tours de Hanoï http://www.multimania.com/fmaire/jeux/hanoi/hanoi.html http://members.aa.net/~wgf/Hanoi/Hanoi.html Djamal Rebaïne

Description du problème: Montrez comment déplacer n disques de tailles distinctes d'une tige A vers une tige B en utilisant comme tampon une tige C. Initialement seule la tige A contient les n disques ordonnés avec le plus petit sur le dessus. On ne doit déplacer qu'un seul disque à la fois. Il est interdit de placer un disque sur un autre plus petit. Djamal Rebaïne

Entrée: Un entier n représentant le nombre de disques. Sortie: Une série d'instructions de la forme " déplacer i vers j" indiquant les déplacements nécessaires pour résoudre le problème. Djamal Rebaïne

où hanoi satisfait le prototype hanoi(entier, entier, entier, entier) Fonction principale entier n lire n hanoi(n,1,2,3) où hanoi satisfait le prototype hanoi(entier, entier, entier, entier) Djamal Rebaïne

déplacer le disque restant de la tour 1 vers la tour 2 Supposons qu’on sache comment déplacer les (n-1) derniers disques de la tour 1 vers la tour 2, en utilisant la tour 3. déplacer le disque restant de la tour 1 vers la tour 2 déplacer maintenant les (n-1) disques de la tour 3 vers la tour 2, en s’aidant de la tour 1. Djamal Rebaïne

hanoi(entier n, entier i, entier j, entier k) Fonction hanoi Entête: hanoi(entier n, entier i, entier j, entier k) (Affiche les instructions pour déplacer n disques de la tige i vers la tige k) Corps: si (n > 0) { hanoi(n-1, i, k, j) écrire "Déplacer i vers k); hanoi(n-1, j, i, k) } Djamal Rebaïne

#include <iostream.h> void hanoi (int,int,int,int) void hanoi(int n,int i,int j,int k) { if (n>0) hanoi(n-1,i,k,j); cout <<“déplacer le disque de haut de la tour<<i<<“ à la tour “<<k; hanoi(n-1,j,k,i); } main() int n; cin>>n; hanoi(n,1,2,3); Djamal Rebaïne

Exemple avec n = 4 disques On obtient la série d’affichages suivants: Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 2 Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 3 Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 3 Déplacer le disque de haut de la tour 3 à la tour 1 Déplacer le disque de haut de la tour 3 à la tour 2 Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 1 Djamal Rebaïne

Voyons cela de plus près Djamal Rebaïne

Pas-à-pas avec n=3 entier n nfact lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(n,1,2,3); entier n . . Djamal Rebaïne

si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(n,1,2,3) entier n lire n nfact si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(n,1,2,3) lire n . . Djamal Rebaïne

si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon entier n lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon n 4 entier hanoi(n,1,2,3) . . Djamal Rebaïne

si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(3,1,2,3) entier entier n nfact lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(3,1,2,3) n 3 entier 1 entier 2 3 si (n £ 0) retourner hanoi(2,3,2,1) hanoi( , , , ) . . Djamal Rebaïne

TITLE hanoi-program SPILE SEGMENT STACK DW 100 DUP(?) SPILE ENDS SDATA SEGMENT n dw 6 SDATA ENDS SCODE SEGMENT ASSUME CS:SCODE,DS:SDATA DEBUT: mov ax,sdata mov ds,ax xor ax,ax xor cx,cx xor dx,dx xor bx,bx mov ax,n mov cl,1; la tour i mov ch,2; la tour j mov dh,3; la tour k call hanoi sortie: MOV AX,4C00H INT 21H Djamal Rebaïne

cmp ax, 0 ; comparer ax avec 0 ja else ; si n> 0, continuer ret hanoi proc near si1: cmp ax, 0 ; comparer ax avec 0 ja else ; si n> 0, continuer ret else: dec ax ; décrémenter ax de 1 c'est-à-dire égal à n-1 mov temp, ch mov ch, dh mov dh, temp push cl ; sauvegarder en premier le i push dh ; sauvegarder en deuxième le k push ch ; sauvegarder en troisième le j push ax ; mettre n -1 sur la pile call hanoi ; appel à hanoi Djamal Rebaïne

; passer au déplacement des tours mov al, cl ; mettre le i dans al mov ah,2 int 21h mov al, 32 ; mettre un blanc dans al mov al, dl ; mettre le k dans al Djamal Rebaïne

pop dh pop ch pop cl push ch push cl push dh call hanoi ret Hanoi endp pop ax ; ax = n-1 pop dh pop ch pop cl push ch push cl push dh call hanoi ret Hanoi endp SCODE ENDS END DEBUT Djamal Rebaïne