MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS Introduction Notations tensorielles Cinématique Equilibre Thermodynamique Lois de bilan Loi de comportement Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS Initiation à la MMC, F. Golay 1/27

Notion de milieu continu Fluide: «  qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément » Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou » Liquide: «  tout corps qui coule ou tend à couler » Petit Robert Milieu continu: «  milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe » J. Coirier Initiation à la MMC, F. Golay 2/27

Notations: Notation indicielle Vecteur & convention de sommation Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel Produit contracté Produit doublement contracté Dérivation gradient divergence Initiation à la MMC, F. Golay 3/27

Notations: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 4/27

Notion de configuration, Euler /Lagrange Application linéaire tangente Cinématique: Notion de configuration, Euler /Lagrange Application linéaire tangente Notion de déformation Tenseur des déformations Hypothèse des petites perturbations Dérivation Initiation à la MMC, F. Golay 5/27

Notion de configuration Cinématique: Notion de configuration O Configuration de référence à l’instant t0 W0 M0 Configuration actuelle à l’instant t W(t) M ,t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide) X ,t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides) x Dérivée particulaire Application: Accélération Initiation à la MMC, F. Golay 6/27

Application linéaire tangente Cinématique: Application linéaire tangente O Configuration de référence à l’instant t0 Configuration actuelle à l’instant t W0 W(t) Transport d’un élément de volume O W0 W(t) dV0 dV Transport d’un élément de surface O W0 W(t) dS dS0 Initiation à la MMC, F. Golay 7/27

Cinématique: Notion de déformation Initiation à la MMC, F. Golay 8/27

Tenseur des déformations Cinématique: Tenseur des déformations O Configuration de référence à l’instant t0 Configuration actuelle à l’instant t W0 W(t) ÷ ø ö ç è æ - = e 1 F 2 T O O Initiation à la MMC, F. Golay 9/27

Hypothèse des petites perturbations Cinématique: Hypothèse des petites perturbations ( ) u 2 1 T HPP Ñ + = e Initiation à la MMC, F. Golay 10/27

Cinématique: Dérivées Application: Conservation de la masse !! ï î í ì = r + ¶ ) v ( div t ou dt d òòò W dV (**) Initiation à la MMC, F. Golay 11/27

Cinématique: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 12/27

Équilibre: Notion Contrainte Principe fondamental Initiation à la MMC, F. Golay 13/27

système ( ) Équilibre: Notion de contrainte Efforts extérieurs Photo extraite de Le Rugby P. VILLEPREUX Cours de J.Salençon Polytechnique Efforts extérieurs Efforts intérieurs M ds dF ( ) t , x s Tenseur des contraintes de Cauchy Initiation à la MMC, F. Golay 14/27

Torseur des action extérieures Équilibre: Principe Fondamental O Principe Fondamental de la dynamique Torseur dynamique = Torseur des action extérieures Forme locale de l’équation d’équilibre Initiation à la MMC, F. Golay 15/27

Thermodynamique: Premier principe Équation de la chaleur Initiation à la MMC, F. Golay 16/27

Thermodynamique: Premier principe Premier principe: conservation de l’énergie Énergie interne Énergie cinétique Puissance des efforts extérieurs Taux de chaleur reçu Forme locale du premier principe Initiation à la MMC, F. Golay 17/27

Thermodynamique: Équation de la chaleur Initiation à la MMC, F. Golay 18/27

+ Lois de bilan: Lois de Bilan en M.M.C. Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement Conservation du moment cinétique Conservation de l’énergie + Lois de Comportement Initiation à la MMC, F. Golay 19/27

Loi de comportement élastique linéaire Le problème d’élasticité Essai de traction Expérience Loi de comportement élastique linéaire Le problème d’élasticité Initiation à la MMC, F. Golay 20/27

Élasticité: Essai de traction Essai de traction Initiation à la MMC, F. Golay 21/27

Élasticité: Expérience Plasticité irréversible F Élasticité réversible Déformation permanente F S L DL Élasticité réversible DL Initiation à la MMC, F. Golay 22/27

Élasticité: Élasticité linéaire Loi générale Élasticité isotrope l,m coefficients de Lamé n coefficients de Poisson, E module d’Young Thermoélasticité isotrope a coefficients de dilatation thermique Application à l’essai de traction Élasticité orthotrope Initiation à la MMC, F. Golay 23/27

Le problème d’élasticité Formulation en déplacement: Équation de Navier Formulation en contrainte: Équation de Michel Initiation à la MMC, F. Golay 24/27

Élasticité: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 25/27

Élasticité: Exemple: résolution Problème thermique Problème mécanique Initiation à la MMC, F. Golay 26/27

Mécanique des fluides: Fluide newtonien épaississant fluidifiant Fluide à seuil Fluide viscoplastique Fluide newtonien Initiation à la MMC, F. Golay 27/27