Circuits et nombres 2-adiques Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013

Source du cours Ce cours reprend la théorie et la pratique de Jean Vuillemin (Digital Equipment  X  ENS) J. Vuillemin. On circuits and numbers, IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900) R est une complétion de Q. Est-ce la seule? Non : nombres p-adiques pour p premier nombre infinis écrits poids faibles d’abord Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32 Alain Connes / JP Changeux Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon Jean Vuillemin : modèle des circuits numériques En un sens, nous allons créer leur physique Ils unifient l’arithmétique infinie calculable et la logique Booléenne G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

2 Z : anneau des entiers 2-adiques x  2 x0 x1 x2 … poids faibles d’abord opérations  et  de gauche à droite 0  200000...  2 (0) 1  210000...  21(0) 2  201000...  201(0) 1  211111...  2 (1) 2  201111...  2 0(1) x  2101010...  2 (10) y  2010101...  2 (01) y  2 x y   2/3 ou x  y   1 x  2100000...  2001010... x  1  4x x  1/3 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

L’anneau des 2-adiques  p / q existe pour p, q entiers ssi q est impair (cf. Euclide) 1 / 2 n’existe pas car la somme de bits x0x0 ne peut pas valoir 1 Pas d’ordre compatible avec les opérations 1  0  1 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

2 Z comme algèbre Booléenne 2-adique x vu comme l’ensemble { i | xi 1 } exemple: 1/3  2101010...  { i | i pair } Opérations Booléennes point par point x  y x  y  x (x  y)n  x n  yn etc. x   x  1 Relation arithmético-logique fondamentale 2100011... 2011100... 2111111... G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Espace Métrique de Cantor d(x,x)  0 d(x,y)  2n n min t.q. xn  yn Exemple : d (201111..., 201101...  1/8) Lemme : 2 Z est ultramétrique : d(x,z)  max (d(x,y), d(y,z)) x y  z d(x,z)  min (d(x,y), d(y,z)) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Espace Métrique de Cantor Base d’ouverts : préfixes finis x0 x1...xn  { 2 x0 x1...xn y0 y1...yn... | y  2 Z } 1 ex. ouvert de préfixe 210010 Compact – très différent des réels ! G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

préservation de la finitude de l’information Fonctions continues Lemme : f : 2 Z  2 Z continue ssi f(x)n ne dépend que d’un nombre fini de xm 2 x0 x1......xm... 2 y0 y1...yn... Continuité  préservation de la finitude de l’information G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Fonctions synchrones x f(x) x0 x1...xn... 0 x0 x1...xn... G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Fonctions synchrones et contractantes x f(x) Définition : f : 2 Z  2 Z synchrone ssi calculable par un circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie) Théorème f : 2 Z  2 Z est synchrone si et seulement si f(x)n ne dépend que de x0x1...xn, i.e., est contractante  x,y. d(f(x),f(y))  d(x,y) Preuve : « seulement si » trivial, Preuve : pour « si » voir la construction SDD diapo G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Circuits de Moore et contraction strictes Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre Circuit de Moore Une fonction f : 2 Z  2 Z est strictement contractante ssi f(x)n dépend seulement de x0x1...xn1  x,y. d(f(x),f(y))  d(x,y) Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Rebouclage des circuits de Moore x f(x) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Rebouclage des circuits de Moore f(x) f(x)  x  x,y. d(f(x),f(y))  d(x,y)   x,y. d(f(x),f(y))  0,6 d(x,y) Lifschitz Théorème de Banach : toute fonction Lifschitzienne sur un compact a un point fixe unique G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

L’addition dans l’espace r = 0 + s a + b + 1 a b s r s  a  b mais en temps infini ! continuité : couper à n bits pour n bits de sortie + 2 a b s r 3 x2n  x mod 2n s2n1  a2n  b2n  G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Additionneur 3 bits (Full Adder) oux ou et s a + a s b b r c c r bits a  b  c  s  2 r Einsten et l’épaisseur de l’instant. Passer du continu au discret et du non-déterminisme au détermininme s  a oux b oux c r  (a et b) ou (b et c) ou (c et a) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Opérateurs 2-adiques de base + a s b a  b  c  s  2 r r c 2 x0 x1...xn... 2 0 x0 x1...xn... x 2 x 2 x0 x1...xn... 2 1 x0 x1...xn... x 1 2 x G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Addition et soustraction dans le temps + a b s r + a b s r 2r 12 r a  b  2 r  s  2 r a  b  1  2 r  s  2 r b  b  1 s  a  b b  1  b même équation que dans l’espace ! a  b  s tick ! s  a  b G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Addition mixte espace / temps x y  2 x0 y0 x1 y1... + ap bp sp a  ap ai b  bp bi s  sp si rp + ai bi si tick ! s  a  b 2ri ri toujours la même équation ! Code source constant pour tous les échanges espace / temps G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Addition stéréo sp si  (ap ai) (bp bi) additionneur stéréo + s b + sp si  (ap ai) (bp bi) r additionneur stéréo Alterne deux additions dans le temps stéréo  canal gauche  canal droit G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Addition et soustraction dans le temps + a b s + a b s a a  s  s b b tick ! G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Multiplication et division par une constante  x 3 x preuve : x  2 x  3 x _ x y  x / 3 preuve : y  x  2 y division seulement par des entiers impairs! G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

? Quasi-inverse  y  1 / (12 x) y  2 x y  1 y  1 2 x y x contractante  synchrone mais mémoire infinie (cf. construction SDD diapo ??) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

sur les bits qui passent ! Quasi-racine carrée y  1 8 x   x z y ça ne nous dit rien sur les bits qui passent ! y  1 4 z y 2  1 8 z  16 z 2 z  x  2 z 2 y 2  1 8 x  16 z 2  16 z 2 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Décomposition spatio-temporelle de f synchrone f 0  premier bit sorti par f pour l’entrée 0... f 1  ... 1... f w  dernier bit sorti par f pour le mot fini w f 0  0-prédicteur : f 0w = f (w0) pour tout mot w f 1  1-prédicteur : f 1w = f (w1) f u  u-prédicteur : f uw = f (wu) pour tout mots w, u G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Automate de x  3 x + x 3 x 0 / 0 1 / 1 0 / 1 1 / 0 00 10 01 11 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Prédicteur 0 de x  3 x + x 3 x 0 / 0 1 / 1 0 / 1 1 / 0 0 / 0 0 / 00 10 01 11 0 / 0 1 / 1 0 / 1 1 / 0 0 / 0 0 / 1 / 1 1 / 00 10 0 / 0 /0 0 / 0 / 0 1 / 1 / 0 0 / 0 / 1 01 11 1 / 1 / 0 1 / 0 1 / G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Etape de décomposition x 1 f 1 f 0 f (x) f 1 f 0 f(x) = mux(x, f 1 2 f 1(x), f 0 2 f 0(x)) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Forme normale SDD de f : 2z2z 1 f11 f10 x f01 f00 f 01 f 00 f 11 f 10 ... f 1 f 0 x 1 f1 f0 f (x) Table de vérité dans l’espace et le temps ultra-rapide : chemin critique  un mux La moitié des bits disparaît à chaque cycle G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

SDD partagé de f : 2z2z à mémoire finie 1 f11 f10 x f01 f00 f 01 f 00 f 11 f 10 ... f 1 f 0 x 1 f1 f0 f (x) f à mémoire finie  nb fini de prédicteurs f u distincts f à n registres  SDD(f ) peut avoir 22 registres n G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Trace d’une fonction synchrone Tr(f)  2 f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f001 ...  f0  2 f1  4 (Tr(f 0) ʘ Tr(f1 )) L’application d’une trace Tr(f) à un argument x est continue  calcul ? Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f)n zn Théorème : f : 2 Z  2 Z est de mémoire finie ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Des traces synchrones aux trancendants Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel 0, f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f001 ... est soit rationnel soit transcendant Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit Cambridge University Press (21 juillet 2003) Cf. aussi cours 5 2010, systèmes finis, http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry/index.htm#|m=course|q=/site/gerard-berry/course-2009-2010.htm|p=../gerard-berry/course-2009-12-16-10h00.htm| G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Des fonctions continues aux circuits f continue mais pas synchrone  dilater le temps nombre 2-adique : < valeur, validité > 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ... 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ... 0 1 1 0 1 Théorème : toute fonction continue peut être réalisée par un circuit synchrone avec validité G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Conclusion Merci à Jean Vuillemin Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?) La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales La structure de l’espace des prédicteurs reste à comprendre La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier (calcul?) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Commutation opérateurs / délais + + a s a s’  s’ b r b r’ r’ c c s’  2 r’  2 (abc) s’  2 r’  2 a  2 b  2 c Utilisation: couper les chemins critiques G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Annexe – optimisation par retiming Commutation opérateurs / registres Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Le retiming, un accélérateur majeur + + Calcule 2s + + + + G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Le retiming, un accélérateur majeur + + Calcule 2s + + Calcule 4s + + G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

Le retiming, un accélérateur majeur + n bits: latence n-1, temps 1 + + + Calcule 4s + + G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013