Cours de physique générale I Ph 11 31/03/2017 2 Physique I Cours de physique générale I Ph 11 http://jam.bouguechal.free.fr 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Chapitre deux : Calcul de variation, calcul d’incertitude Introduction et rappels Calcul d’incertitude Calcul de petites variations 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I 1. Introduction et rappels La dérivée d’une fonction mesure le taux de variation d’une fonction, elle est définie par : Dérivée  : différentielle de f différentielle de x Il s’agit de l’écriture différentielle de la dérivée 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I La dérivée f’(x) est égale à : c’est la tangente trigonométrique de l’angle que fait la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses x. = tan ( α ) 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I y B yB Δy = yB-yA y0 α A yA Δx = xB-xA x xA x0 xB 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I On peut aussi écrire la variation infinitésimale de f, df suite à une variation infinitésimale de la variable x, dx : df est appelé la différentielle de f. Cette formule est importante car elle permet de déterminer la variation infinitésimale de f. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Dérivées : Différentielle dy 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Dérivées : Différentielle dy 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Dérivées : Différentielle dy 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Dérivées : Différentielle dy 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Dérivées : Différentielle dy 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Pour les fonctions de fonctions, on utilise la formule suivante : 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Dérivées : Fonctions de fonctions 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I La primitive de y = f(x) est la fonction F(x) défini par : 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Primitives : 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Primitives : 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Fonctions simples : f(x) Primitives : 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I 2. Calcul d’incertitude On considère une grandeur physique G. Soit Gm sa mesure, soit Ge sa valeur exacte, la différence entre la valeur mesurée Gm et la valeur exacte Ge est appelée erreur absolue. Cette erreur absolue varie suivant les mesures. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I L’incertitude absolue δG est la limite supérieure de l’erreur absolue. L’erreur absolue et l’incertitude absolue ont une dimension et donc une unité en général. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I On appelle erreur relative le quotient de l’erreur absolue par la valeur exacte. L’incertitude relative est le quotient de l’incertitude absolue δG par la valeur mesurée Gm. L’erreur relative et l’incertitude relative s’expriment en général en pourcentage et n’ont pas de dimension. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I A La conduite d’un calcul d’erreur se fait de la façon suivante. Déterminer l’expression algébrique des erreurs ou des incertitudes d’une grandeur G en calculant les différentielles ou les différentielles logarithmiques. d(ln(x)) = dx/x ceci est la différentielle logarithmique de x : on prend le logarithme népérien et on différencie. d(ln(u)) = du/u 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I B B. Grouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy … etc. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I C C. Passer aux incertitudes absolues (G) en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I D D. Effectuer le calcul numérique et donner l’expression du résultat. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

Physique I 2 Dérivée logarithmique de f 31/03/2017 2 Physique I Dérivée logarithmique de f Différentielle logarithmique de f Exemple 0 : Calculer la dérivée logarithmique ainsi que la différentielle logarithmique des fonctions suivantes. f(x) = 5x ; f(x) = 7x2 ; f(x) = 3e5x ; f(x) = cos(x) 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Exemple 1 : Calculer l’incertitude relative sur la tension U aux bornes d’un conducteur ohmique sachant que l’incertitude relative de la résistance et de la mesure de l’intensité sont connues. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I A Déterminer l’expression algébrique des erreurs ou des incertitudes d’une grandeur G en calculant les différentielles ou les différentielles logarithmiques. , On utilise la loi d’Ohm : U = RI On prend le logarithme népérien de l’expression : On prend la différentielle de l’expression obtenue : On différencie l’expression précédente : 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I B B. Grouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy … etc. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I C C. Passer aux incertitudes absolues (G) en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs. On remplace par δ  : δ U, δ R et δ I sont toujours positifs. On prend les valeurs absolues des coefficients de δU, δR et δI car cela correspond à la valeur maximale que l’on peut avoir sur l’incertitude. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I D D. Effectuer le calcul numérique et donner l’expression du résultat. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Exemple 2 : Déterminer l’incertitude relative du volume δV d’une sphère, suite à une incertitude sur son rayon δr. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I 3. Calcul de petites variations Le calcul de petites variations se fait en utilisant les différentielles ou différentielles logarithmiques. Les petites variations peuvent être positives ou négatives. Les exemples simples suivants montrent l’utilisation des différentielles pour calculer des petites variations. Les variations relatives s’expriment en général en pourcentage et n’ont pas de dimension. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Exemple 1 : Déterminer la variation relative de la période δT/T d’un pendule simple, suite à une petite variation de la longueur du fil δl/l, l’intensité de la pesanteur g étant constante et connue avec une bonne précision. On supposera que l’on a des petites oscillations. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I On sait que la période d’un pendule simple est donnée par : On prend le logarithme népérien de l’expression : On prend la différentielle de l’expression obtenue : Application numérique : δl/l = 1/100 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Exemple 2 : Déterminer la variation relative de la période δT/T d’un pendule simple, suite à une petite variation de la longueur du fil δl/l et suite aussi à une petite variation de l’intensité de la pesanteur δg/g étant constante et connue avec une bonne précision. On supposera que l’on a des petites oscillations. 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I Physique I Fin de la leçon 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 31/03/2017 2 Physique I 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I