Information, Calcul, Communication Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module du cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notions d’entropie et de compression de signaux. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 1: Echantillonnage Clip 4: Filtres O. Lévêque, commentaire: P. Janson

Plan de la leçon 2.1 Signaux Fréquences, bande passante, spectre Filtrage Echantillonnage Fréquence d’échantillonnage Ce 3e clip explique la notion de filtrage de signaux.

Filtrage d’un signal Filtre Lorsqu’un signal (Z(t), t ∈ ℝ) passe par un filtre il en ressort déformé (Ẑ(t), t ∈ ℝ) Z(t) Ẑ(t) Alors pourquoi vouloir filtrer un signal ? Typiquement pour supprimer (ou atténuer) le « bruit » présent dans le signal Il existe de multiples types de filtres Une catégorie particulière nous intéresse: les filtres « passe-bas » 1 Le propre d’un filtre est de transformer un signal entrant en un signal sortant. Lorsqu’un signal (Z(t), le temps t ∈ R) passe par un filtre il en ressort donc transformé en un signal Ẑ(t) comme esquissé dans cette figure simplifiée. 2 La question légitime est de savoir pourquoi il peut être intéressant de faire subir un quelconque filtrage à un signal ? A quoi cela peut-il servir? Typiquement cela sert à supprimer (ou atténuer) le « bruit », c’est à-dire les perturbations et imperfections présentes dans le signal. 3 On peut imaginer et fabriquer un grand nombre de filtres différents. Un type de filtre est particulièrement utile et nous allons nous y intéresser ici: les filtres « passe-bas ». Filtre

Filtre passe-bas idéal => Supprime du signal les sources typiques de bruit c’est-à-dire les hautes fréquences présentes dans le signal original => Si Z(t) est une somme de sinusoïdes le filtre supprime toutes les composantes de Z(t) dont la fréquence f > fc (= fréquence de coupure propre au filtre donné) 1 L’objectif d’un filtre passe-bas est de supprimer du signal d’entrée les parasites typiques qu’on appelle le bruit. Ce bruit reconnaissable aux craquements qui affectent un signal acoustique par exemple est causé par de hautes fréquences parasitiques qu’on désire éliminer du signal. 2 Appliquer un filtre passe-bas à un signal Z(t) composé d’une somme de sinusoïdes en supprime toutes les composantes dont la fréquence f >fc, où fc est appelée la fréquence de coupure du filtre utilisé.

Filtre passe-bas idéal – Exemple Considérons le signal contenant les fréquences f = 1, 4 et 32 Hz Z(t) = sin(2πt) + 1/2 sin(8πt) + 1/10 sin(64πt) => Après passage au travers d’un filtre passe-bas avec fc = 30 Hz la composante du signal à 32 Hz disparaît et le signal devient Ẑ(t) = sin(2πt)+ 1/2 sin(8πt) 1 Considérons par exemple un signal Z(t) résultant de la somme de 3 sinusoïdes de fréquences respectives 1, 4 et 32 Hz, et représenté par la fonction Z(t) = sin(2πt) + 1/2 sin(8πt) + 1/10 sin(64πt). Ce signal correspond à la courbe bleue de la figure ci-dessous à gauche. 2 Après passage au travers d’un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure fc serait de 30 Hz la composante à 32 Hz du signal original serait supprimée et le signal deviendrait Ẑ(t) = sin(2πt)+ 1/2 sin(8πt), comme représenté par la courbe rouge du graphique ci-dessous à droite. On y voit bien que les menues oscillations à la fréquence de 32 Hz ont été «limées» du signal original, ce qui donne une courbe plus douce que celle du signal original.

Filtre passe-bas idéal dans l’espace des fréquences Exemple: un filtre passe-bas idéal avec fréquence de coupure fc = 2 Hz Dans l’espace des fréquences, un filtre passe-bas idéal dont la fréquence de coupure serait de 2 Hz peut être visualisé par la présente figure qui indique que le filtre laisse passer 100% des fréquences inférieures à 2 Hz mais bloque intégralement celles supérieures à 2 Hz. En pratique les filtres qu’on peut effectivement construire ne sont jamais aussi parfaits. Ils laissent certes passer 100% des basses fréquences et rien des hautes fréquences. Par contre aux alentours de leur fréquence de coupure, la chute de 100% à 0% n’est jamais parfaite. Elle s’étale sur un domaine de fréquences aussi réduit que possible mais jamais nul.

Filtre à moyenne mobile Le signal sortant à l’instant t d’un filtre à moyenne mobile est donné par Ẑ 𝑡 = 1 𝑇𝑐 𝑡−𝑇𝑐 𝑡 𝑍 𝑠 𝑑𝑠 Tc est la durée précédant l’instant t sur laquelle on calcule la moyenne du signal => Qu’arrive-t-il à une sinusoïde pure passant par un tel filtre ? Z(t) = sin(2πft) devient Ẑ 𝑡 = 1 𝑇𝑐 𝑡−𝑇𝑐 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2πf𝑠 𝑑𝑠 = cos(2πf(t−Tc)) − cos(2πft) 2π𝑓𝑇𝑐 (f = 2Hz, Tc = 0.25 sec) Un autre type de filtre intéressant est ce qu’on appelle un filtre à moyenne mobile. 1 Le signal sortant à l’instant t d’un filtre à moyenne mobile est donné par la valeur moyenne de ce signal au cours des dernières Tc secondes. Tc est donc l’intervalle pendant lequel on mesure les valeurs du signal pour en calculer la moyenne. Cette valeur moyenne est donc la somme des valeurs accumulées divisée par le nombre de valeurs accumulées, soit en termes continus, l’intégrale du signal Z(t) sur les dernières Tc secondes, divisée par Tc. 2 Un signal sinusoïdal pur Z(t) = sin(2πft) passant par un tel filtre devient donc après filtrage la division par Tc de l ′ intégrale du signal sur les dernières Tc secondes, qui, si on jongle un peu avec le calcul intégral, donne la fonction représentée ci-dessous. Pour une fréquence de signal f = 2Hz et un intervalle de calcul Tc = 0.25 secondes, on obtient les fonctions représentées ici, en bleu pour le signal original et en rouge pour sa version moyenne au cours des dernières Tc Secondes. Il est évident que puisque la moyenne est calculée sur Tc secondes écoulées, le signal filtré sort non seulement «modéré» mais aussi «retardé» de Tc secondes.

Filtre à moyenne mobile – Autre exemple Z(t) → Ẑ(t) => Plus Tc augmente, plus le signal sortant est régulier mais plus le déphasage est grand également Tc = 0.05 sec Tc = 0.1sec Ce phénomène de modération et de retard est d’autant plus visible quand Tc augmente. 1 Comme on le voit sur ces graphiques, le signal filtré sur un intervalle de 0.1 secondes est nettement plus régulier mais aussi nettement plus déphasé que le signal filtré sur un intervalle de 0.05 secondes.

Filtre à moyenne mobile – Autre exemple Global average surface temperature 1880 to 2009 with zero point set at the average temperature between 1961 and 1990 Source: Global Warming Art NB: le signal filtré a été resynchronisé avec l’original (suppression du déphasage) Cette technique est souvent utilisée pour limer les petites fluctuations à court terme et dégager des tendances dominantes dans des fonctions irrégulières. C’est par exemple ce qu’on a réalisé sur ce graphique montrant l’évolution de la moyenne de température globale de 1880 à 2010. Dans le cas présent on a cependant resynchronisé la fonction filtrée avec sa version originale pour «effacer» le déphasage qui n’aurait aucun sens dans ce contexte.

Filtre à moyenne mobile – Effet Revenons à la sinusoïde pure Z(t) = sin(2πft) =>Ẑ 𝑡 = 1 𝑇𝑐 𝑡−𝑇𝑐 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2πf𝑠 𝑑𝑠 = cos(2πf(t−Tc)) − cos(2πft) 2π𝑓𝑇𝑐 => Il en résulte que ∀𝑡 ∈ ℝ max Ẑ 𝑡 ≤ 1+1 2𝜋𝑓𝑇𝑐 = 1 𝜋𝑓𝑇𝑐 => Quand fTc est grand, le signal filtré est de faible amplitude les hautes fréquences sont fortement filtrées => Quand Tc est un multiple entier de la période 1/f de la sinusoïde la valeur de l'intégrale est nulle (car la moyenne d'un sinus sur des périodes entières est nulle ) 1 Si on reprend la formule donnant la fonction filtrée à moyenne mobile d’une sinusoïde pure Z(t) = sin(2πft). 2 … on voit que le maximum de la valeur absolue de cette fonction filtrée est nécessairement inférieure ou égale à la différence entre la valeur maximale du 1er cosinus (1) et la valeur minimale du 2e cosinus (-1), divisée par 2πfTc, c.à.d. 1/πfTc. 3 Il en résulte que plus fTc est grand, plus le signal filtré est de faible amplitude. Et on voit donc que les hautes fréquences sont fortement filtrées 4 Par ailleurs on voit que si Tc est un multiple entier de la période 1/f de la sinusoïde la valeur de l'intégrale est nulle (puisque la moyenne d'un sinus sur des périodes entières est nulle)

Comparaison: filtre passe-bas vs. filtre à moyenne mobile En noir: un filtre passe-bas idéal avec fréquence de coupure fc = 2Hz En bleu: un filtre à moyenne mobile de durée d'intégration Tc = 1/fc = 0.5 sec En rouge: la borne supérieure 1 𝜋𝑓𝑇𝑐 qu’on vient de calculer) Pour plus de détails, voir la vidéo d’O. Lévêque http://moodle.epfl.ch/mod/url/view.php?id=873008 La figure ci-contre illustre bien la différence entre l’effet d’un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure 2 Hz (en noir sur cette figure) et celui d’un filtre calculant une moyenne mobile sur une période de 0.5 sec (en bleu sur cette figure). La fonction rouge correspond à la borne supérieure 1 / 𝜋𝑓𝑇𝑐 qu’on vient de calculer. Pour une illustration plus animée de ce sujet nous recommandons la vidéo du Prof. Lévêque à l’adresse indiquée ci-dessous.