Impédance caractéristique Le modèle électrique d’un tronçon de ligne (éléments localisés)

Détermination des équations de la tension et du courant Par application des lois de Kirchhoff et en posant: V(x+dx)= V(x) + dV I(x+dx)=I(x)+dI On trouve: V(x) = (jLωdx+Rdx)I(x) + V(x+dx) V(x) = (jLωdx+Rdx)I(x) + V(x) + dV dV = -((jLωdx+Rdx)I(x) dV/dx = -(R + jLω)I(x) …………………………………………(1) I(x) = V(x+dx)(Gdx + jCωdx) + I(x) + dI dI = -V(x+dx)(Gdx + jCωdx) dI ~ -(Gdx + jCωdx)V(x) dI/dx = -(G + jCω)V(x) ………………………………………..(2)

Equations des télégraphistes Les équations (1) et (2) sont appelées équations des télégraphistes. Dérivons (1) : d2V/dx2 = -(R + jLω)dI(x) /dx Introduisons, maintenant, (2) dans cette dernière équation : d2V/dx2 = (R + jLω) (G + jCω)V(x) = γ2V(x) …………………………………………………..(3) avec γ2= (R + jLω) (G + jCω) γ est définie comme étant la constante de propagation de la ligne.

Impédance caractéristique de la ligne

Solutions de l’équation de propagation des ondes La ligne étant chargée par l’impédance Z, on peut écrire qu’au point d’abscisse x0 : V(x0) = Z.I(x0) et aussi que V(x0) = V0e-γx0 + V’0eγx0 = (V0e-γx0 - V’0eγx0) Zc(V0e-γx0 + V’0eγx0) = Z(V0e-γx0 - V’0eγx0)  V’0(Zc eγx0 + Z eγx0)= V0(Z e-γx0- Zc e-γx0)  V’0= V0(Z e-γx0- Zc e-γx0)/ (Zc eγx0 + Z eγx0)= V0(Z - Zc) e-γx0/ (Zc+ Z) eγx0 V’0 = V0(Z - Zc) e-2γx0/ (Zc+ Z)

On pose alors Γ= (Z - Zc) / (Zc+ Z) Γ (lire gamma) représente le coefficient de réflexion de la charge Z par rapport à l’impédance de référence Zc. Finalement, on obtient les expressions de la tension et du courant : V(x) = V0(e-γx + Γeγ(x-2x0)) I(x) = V0(e-γx - Γeγ(x-2x0))/Zc

Cas des lignes sans pertes γ = = jβ et Zc =(impédance caractéristique purement résistive) L’expression de la tension s’écrit alors : V(x) = V0(e-jβx + Γejβ(x-2x0)) Notons par φ (lire phi) et ψ (lire psi) les phases respectives de V0 et Γ : V0 = |V0|ejφ et Γ= |Γ|ejψ

Calculons v(x, t) : v(x, t) = R{v(x).ejωt} v(x, t) = R{|V0|ejφ (e-jβx + |Γ|ejψ ejβ(x-2x0)) ejωt} v(x, t) = R{|V0|ej(φ-β+ωt) + |V0||Γ|ej(ωt+βx-2βx0+φ+ψ) } v(x, t) = |V0|(Cos(ωt-βx+φ) + |Γ|Cos(ωt+βx-2βx0+φ+ψ)) v(x, t) = |V0|(Cos(ω(t-βx/ω)+φ) + |Γ|Cos(ω(t+βx/ω)-2βx0+φ+ψ))

Dans le premier terme Cos(ω(t-βx/ω)) intervient un temps (t-βx/ω) tel que βx/ω représente un retard du à la propagation de la distance x à la vitesse vprop= ω/β. vprop est aussi appelée vitesse de phase et est notée, dans ce cas, vΦ.

Ce premier terme caractérise donc un phénomène qui se propage selon l’axe OX, suivant les X croissants, du générateur vers la charge à la vitesse vprop= ω/β. Le deuxième terme caractérise, quant à lui, un phénomène qui se propage selon l’axe OX, selon les X décroissants, de la charge vers le générateur à la même vitesse vprop. V(x, t) est donc la superposition de deux signaux se propageant en sens inverse.

L’un des 2 termes dont l’amplitude diminue quand x augmente (déplacement générateur vers récepteur) = onde incidente ou onde progressive. L’autre dont l’amplitude diminue quand x diminue (déplacement récepteur vers générateur) = onde réfléchie ou onde régressive.

En un point donné de la ligne (on fixe x), la tension est une fonction du temps de période : A un instant donné, la tension est une fonction de l’abscisse x (on fixe t), dont la périodicité dans l’espace est la longueur d’onde : λ= 2π/β Cette onde se déplace à une vitesse constante appelée “vitesse de phase” vers les x croissants : vprop= ω/β

Longueur d’onde  La longueur d’onde est, par définition, la distance qui sépare, à un instant donné, deux points d’abscisses x1 et x2 où la phase est la même à 2π près.

ω(t-x1/vprop) = ω(t-x2/vprop) + 2π ω(x2 - x1)/vprop = 2π => x2 - x1= 2π vprop/ω x2 - x1 = 2πω/ωβ = 2π/β (x2 - x1) = λ= 2π/β ou λ= vprop /f

Rapport d’ondes stationnaires Le rapport d'ondes stationnaires (ROS) et le taux d'ondes stationnaires (TOS) expriment la qualité de l'adaptation de la charge (antenne), à une ligne de transmission. ROS= VSWR (Votage Standing Wave Ratio). ROS= (1+|Г|)/(1-|Г|) Le taux d'onde stationnaire (TOS) est, par définition, la valeur de l'amplitude de l'onde réfléchie exprimée comme un pourcentage de celle de l'onde incidente. TOS= 100(ROS-1)/(ROS+1) (en %)

Explication La superposition des ondes incidente (Vi) et réfléchie (Vr) va produire une onde résultante dont l'amplitude va varier le long de la ligne. On observera des maxima aux endroits où l'onde incidente et l'onde réfléchie produisent des interférences constructives: Vmax=Vi+Vr réciproquement, on observera des minima aux endroits où les deux ondes produisent des interférences destructives: Vmin=Vi-Vr ROS= Vmax/Vmin= (Vi+Vr )/ (Vi-Vr ) |Г|= Vr / Vi

Exemples Si dans un système antenne/ligne de transmission, 35 % de la tension incidente est réfléchie, alors le ROS sera : ROS = (100 + 35)/(100 - 35) = 2,08 Pour un ROS de 2,08 on aura un TOS de 35 % et une puissance réfléchie de 12,25 % de la puissance incidente.